Prva stopnja

Pretvarjanje izrazov. Podrobna teorija (2019)

Pretvarjanje izrazov

Pogosto slišimo ta neprijeten stavek: "poenostavite izraz." Običajno vidimo takšno pošast:

"Veliko bolj preprosto je," rečemo, a tak odgovor običajno ne deluje.

Zdaj te bom naučil, da se ne boš takih nalog. Poleg tega boste na koncu lekcije sami poenostavili ta primer na (samo!) navadno številko (ja, k vragu s temi črkami).

Toda preden začnete s to lekcijo, morate znati obravnavati ulomke in faktorske polinome. Zato najprej, če tega še niste storili, obvezno obvladajte teme "" in "".

Ste ga prebrali? Če da, potem ste zdaj pripravljeni.

Osnovne operacije poenostavljanja

Zdaj pa si poglejmo osnovne tehnike, ki se uporabljajo za poenostavitev izrazov.

Najenostavnejši je

1. Prinašanje podobnih

Kaj so podobni? To ste vzeli v 7. razredu, ko so se v matematiki prvič pojavile črke namesto številk. Podobni so členi (monomi) z enakim črkovnim delom. Na primer, če povzamemo, so podobni izrazi in.

Ali se spomniš?

Prinesti podobno pomeni dodati več podobnih izrazov drug drugemu in dobiti en izraz.

Kako lahko sestavimo črke skupaj? - vprašate.

To je zelo enostavno razumeti, če si predstavljate, da so črke nekakšni predmeti. Na primer, pismo je stol. Čemu je potem enak izraz? Dva stola in trije stoli, koliko jih bo? Tako je, stoli: .

Zdaj poskusite ta izraz: .

Da ne bi prišlo do zmede, naj različne črke predstavljajo različne predmete. Na primer, - je (kot običajno) stol in - je miza. Nato:

stoli mize stol mize stoli stoli mize

Številke, s katerimi se pomnožijo črke v takih izrazih, se imenujejo koeficientov. Na primer, v monomu je koeficient enak. In v tem je enakovreden.

Torej, pravilo za prinašanje podobnih je:

Primeri:

Daj podobne:

odgovori:

2. (in podobno, saj imata torej ti izrazi isti črkovni del).

2. Faktorizacija

To je običajno najpomembnejši del pri poenostavljanju izrazov. Potem ko ste dali podobne, je treba najpogosteje nastali izraz faktorizirati, to je predstaviti kot produkt. To je še posebej pomembno pri ulomkih: da bi lahko ulomek skrčili, morata biti števec in imenovalec predstavljena kot produkt.

Metode faktoriziranja izrazov ste podrobno pregledali v temi “”, zato si morate tukaj samo zapomniti, kaj ste se naučili. Če želite to narediti, se odločite za nekaj primeri(treba je faktorizirati):

rešitve:

3. Zmanjšanje ulomka.

No, kaj je lahko bolj prijetnega kot prečrtati del števca in imenovalca in ju vreči iz svojega življenja?

To je lepota zmanjševanja.

Preprosto je:

Če sta v števcu in imenovalcu enaka faktorja, ju je mogoče zmanjšati, torej odstraniti iz ulomka.

To pravilo izhaja iz osnovne lastnosti ulomka:

To pomeni, da je bistvo redukcijske operacije to Števec in imenovalec ulomka delimo z istim številom (ali z enakim izrazom).

Če želite zmanjšati ulomek, potrebujete:

1) števec in imenovalec faktorizirati

2) če števec in imenovalec vsebujeta skupni dejavniki, jih je mogoče prečrtati.

Mislim, da je načelo jasno?

Rad bi vas opozoril na eno stvar tipična napaka pri sklepanju pogodb. Čeprav je ta tema preprosta, veliko ljudi počne vse narobe, ne da bi tega razumeli zmanjšati- to pomeni razdelitištevec in imenovalec sta enako število.

Brez okrajšav, če je števec ali imenovalec vsota.

Na primer: moramo poenostaviti.

Nekateri ljudje to počnejo: kar je popolnoma narobe.

Drug primer: zmanjšaj.

"Najpametnejši" bodo naredili tole: .

Povej mi, kaj je tukaj narobe? Zdi se: - to je multiplikator, kar pomeni, da ga je mogoče zmanjšati.

Ampak ne: - to je faktor samo enega člena v števcu, sam števec kot celota pa ni faktoriziran.

Tu je še en primer: .

Ta izraz je faktoriziran, kar pomeni, da ga lahko zmanjšate, to je, da števec in imenovalec delite z in nato z:

Takoj ga lahko razdelite na:

Da bi se izognili takim napakam, si zapomnite enostaven način kako ugotoviti, ali je izraz faktoriziran:

Aritmetična operacija, ki se izvede zadnja pri izračunu vrednosti izraza, je »glavna« operacija. Se pravi, če zamenjate nekaj (poljubnih) številk namesto črk in poskušate izračunati vrednost izraza, potem, če je zadnje dejanje množenje, potem imamo produkt (izraz je faktoriziran). Če je zadnje dejanje seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da izraz ni faktoriziran (in ga zato ni mogoče zmanjšati).

Za utrjevanje jih nekaj rešite sami primeri:

odgovori:

1. Upam, da niste takoj pohiteli rezati in? Še vedno ni bilo dovolj, da bi tako "zmanjšali" enote:

Prvi korak bi morala biti faktorizacija:

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov je znana operacija: iščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in seštevamo/odštevamo števce. Spomnimo se:

odgovori:

1. Imenovalca in sta relativno praštevilna, to pomeni, da nimata skupnih faktorjev. Zato je LCM teh števil enak njihovemu produktu. To bo skupni imenovalec:

2. Tukaj je skupni imenovalec:

3. Tukaj najprej pretvorimo mešane ulomke v nepravilne, nato pa - po običajni shemi:

Povsem druga stvar je, če ulomki vsebujejo črke, na primer:

Začnimo z nečim preprostim:

a) Imenovalci ne vsebujejo črk

Tu je vse enako kot pri navadnih številskih ulomkih: poiščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in števce seštejemo/odštejemo:

Zdaj lahko v števcu navedete podobne, če obstajajo, in jih faktorizirate:

Poskusite sami:

b) Imenovalci vsebujejo črke

Spomnimo se načela iskanja skupnega imenovalca brez črk:

· najprej določimo skupne faktorje;

· nato enega za drugim izpišemo vse skupne faktorje;

· in jih pomnožite z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Da določimo skupne faktorje imenovalcev, jih najprej faktoriziramo v prafaktorje:

Poudarimo skupne dejavnike:

Zdaj pa izpišimo skupne faktorje enega za drugim in jim dodamo vse neobičajne (nepodčrtane):

To je skupni imenovalec.

Vrnimo se k črkam. Imenovalci so podani na povsem enak način:

· razčlenimo imenovalce;

· ugotavljanje skupnih (enakih) faktorjev;

· enkrat izpiši vse skupne faktorje;

· pomnožimo jih z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Torej po vrsti:

1) faktoriziraj imenovalce:

2) določite skupne (enake) dejavnike:

3) enkrat izpiši vse skupne faktorje in jih pomnoži z vsemi drugimi (nepoudarjenimi) faktorji:

Tukaj je torej skupni imenovalec. Prvi ulomek je treba pomnožiti z, drugi - z:

Mimogrede, obstaja en trik:

Na primer: .

V imenovalcih vidimo iste dejavnike, le da so vsi z različnimi kazalci. Skupni imenovalec bo:

do stopnje

do stopnje

do stopnje

do stopnje.

Zapletimo nalogo:

Kako doseči, da imajo ulomki enak imenovalec?

Spomnimo se osnovne lastnosti ulomka:

Nikjer ne piše, da je mogoče isto število odšteti (ali prišteti) od števca in imenovalca ulomka. Ker ni res!

Prepričajte se sami: vzemite na primer kateri koli ulomek in števcu in imenovalcu prištejte neko število, na primer . Kaj si se naučil?

Torej, še eno neomajno pravilo:

Ko ulomke reducirate na skupni imenovalec, uporabite samo operacijo množenja!

Toda s čim morate pomnožiti, da dobite?

Torej pomnožite s. In pomnožite z:

Izraze, ki jih ni mogoče faktorizirati, bomo imenovali "elementarni faktorji". Na primer, - to je osnovni dejavnik. - Enako. Ampak ne: lahko se faktorizira.

Kaj pa izraz? Je osnovno?

Ne, ker se lahko faktorizira:

(o faktorizaciji ste že prebrali v temi “”).

Torej so osnovni faktorji, na katere razčleniš izraz s črkami, analog preprostih faktorjev, na katere razčleniš števila. In z njimi bomo ravnali na enak način.

Vidimo, da imata oba imenovalca množitelja. Šlo bo na skupni imenovalec do stopnje (se spomnite, zakaj?).

Faktor je elementaren in nimata skupnega faktorja, kar pomeni, da bo treba prvi ulomek preprosto pomnožiti z njim:

Še en primer:

rešitev:

Preden panično pomnožite te imenovalce, morate razmisliti, kako jih faktorizirati? Oba predstavljata:

Super! Nato:

Še en primer:

rešitev:

Kot običajno razložimo imenovalce na faktorje. V prvi imenovalec preprosto damo iz oklepaja; v drugem - razlika kvadratov:

Zdi se, da skupnih dejavnikov ni. A če dobro pogledaš, sta si podobna ... In res je:

Torej zapišimo:

Se pravi, izkazalo se je tako: znotraj oklepaja smo zamenjali izraze, hkrati pa se je znak pred ulomkom spremenil v nasprotno. Upoštevajte, to boste morali pogosto početi.

Zdaj pa ga spravimo na skupni imenovalec:

Razumem? Preverimo zdaj.

Naloge za samostojno reševanje:

odgovori:

Tu se moramo spomniti še ene stvari - razlike med kockami:

Upoštevajte, da imenovalec drugega ulomka ne vsebuje formule "kvadrat vsote"! Kvadrat vsote bi izgledal takole: .

A je tako imenovani nepopolni kvadrat vsote: drugi člen v njem je produkt prvega in zadnjega in ne njun dvojni produkt. Delni kvadrat vsote je eden od dejavnikov pri razširitvi razlike kock:

Kaj storiti, če so že trije ulomki?

Ja, isto! Najprej se prepričajmo, da je največje število faktorjev v imenovalcih enako:

Upoštevajte: če spremenite znake znotraj enega oklepaja, se znak pred ulomkom spremeni v nasprotnega. Ko zamenjamo predznake v drugem oklepaju, se predznak pred ulomkom spet spremeni v nasprotnega. Zaradi tega se (znak pred ulomkom) ni spremenil.

Celoten prvi imenovalec izpišemo na skupni imenovalec, nato pa mu prištejemo še nezapisane faktorje iz drugega, nato iz tretjega (in tako naprej, če je ulomkov več). Se pravi, izkaže se takole:

Hmm ... Jasno je, kaj storiti z ulomki. Kaj pa oba?

Preprosto je: veste, kako seštevati ulomke, kajne? Torej moramo narediti, da dva postane ulomek! Spomnimo se: ulomek je operacija deljenja (števec delimo z imenovalcem, če ste pozabili). In ni nič lažjega kot deliti število s. V tem primeru se sama številka ne bo spremenila, ampak se bo spremenila v ulomek:

Točno to, kar je potrebno!

5. Množenje in deljenje ulomkov.

No, najtežjega dela je zdaj konec. In pred nami je najpreprostejše, a hkrati najpomembnejše:

Postopek

Kakšen je postopek za izračun številskega izraza? Z izračunom si zapomnite pomen tega izraza:

Ste šteli?

Moralo bi delovati.

Torej, naj vas spomnim.

Prvi korak je izračun stopnje.

Drugi je množenje in deljenje. Če je več množenj in deljenj hkrati, jih lahko izvajamo v poljubnem vrstnem redu.

In na koncu izvedemo seštevanje in odštevanje. Spet v poljubnem vrstnem redu.

Toda: izraz v oklepaju je ovrednoten izven reda!

Če med seboj pomnožimo ali delimo več oklepajev, najprej izračunamo izraz v vsakem od oklepajev, nato pa jih pomnožimo ali delimo.

Kaj pa, če je znotraj oklepajev več oklepajev? No, pomislimo: v oklepaju je zapisan neki izraz. Kaj morate najprej narediti pri računanju izraza? Tako je, izračunajte oklepaje. Pa smo ugotovili: najprej izračunamo notranje oklepaje, nato pa vse ostalo.

Torej, postopek za zgornji izraz je naslednji (trenutno dejanje je označeno z rdečo, to je dejanje, ki ga trenutno izvajam):

V redu, vse je preprosto.

Ampak to ni isto kot izraz s črkami?

Ne, isto je! Samo namesto aritmetičnih operacij morate opraviti algebraične, to je dejanja, opisana v prejšnjem razdelku: prinašanje podobnih, seštevanje ulomkov, zmanjševanje ulomkov itd. Edina razlika bo dejanje faktoriziranja polinomov (to pogosto uporabljamo pri delu z ulomki). Najpogosteje morate za faktoriziranje uporabiti I ali preprosto dati skupni faktor iz oklepaja.

Običajno je naš cilj predstaviti izraz kot produkt ali količnik.

Na primer:

Poenostavimo izraz.

1) Najprej poenostavimo izraz v oklepajih. Tam imamo razliko ulomkov, naš cilj pa je, da jo predstavimo kot produkt ali količnik. Torej, ulomke spravimo na skupni imenovalec in dodamo:

Tega izraza je nemogoče še bolj poenostaviti; vsi dejavniki so elementarni (se še spomnite, kaj to pomeni?).

2) Dobimo:

Množenje ulomkov: kaj je lahko preprostejšega.

3) Zdaj lahko skrajšate:

OK, zdaj je vsega konec. Nič zapletenega, kajne?

Še en primer:

Poenostavite izraz.

Najprej poskusite rešiti sami in šele nato poglejte rešitev.

Najprej določimo vrstni red dejanj. Najprej seštejmo ulomke v oklepajih, da namesto dveh ulomkov dobimo enega. Nato bomo delili ulomke. No, seštejmo rezultat z zadnjim ulomkom. Korake bom shematično oštevilčil:

Zdaj vam bom pokazal postopek in trenutno dejanje obarval rdeče:

Na koncu vam bom dal dva koristna nasveta:

1. Če obstajajo podobni, jih je treba takoj prinesti. Kjerkoli že se pri nas pojavijo podobni, jih je priporočljivo nemudoma izpostaviti.

2. Enako velja za zmanjševanje ulomkov: takoj ko se pojavi priložnost za zmanjševanje, jo je treba izkoristiti. Izjema so ulomki, ki jih seštevate ali odštevate: če imajo zdaj enake imenovalce, potem zmanjševanje pustite za pozneje.

Tukaj je nekaj nalog, ki jih lahko rešite sami:

In kar je bilo obljubljeno na samem začetku:

Rešitve (na kratko):

Če ste se spopadli z vsaj prvimi tremi primeri, potem ste temo obvladali.

Zdaj pa na učenje!

PRETVORBA IZRAZOV. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije poenostavljanja:

• Prinašanje podobnih: če želite dodati (zmanjšati) podobne izraze, morate sešteti njihove koeficiente in dodeliti črkovni del.
• Faktorizacija: dajanje skupnega faktorja iz oklepaja, njegova uporaba itd.
• Zmanjšanje ulomka: Števec in imenovalec ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, kar ne spremeni vrednosti ulomka.
  1) števec in imenovalec faktorizirati
  2) če imata števec in imenovalec skupne faktorje, ju lahko prečrtamo.

  POMEMBNO: zmanjšati je mogoče le množitelje!

• Seštevanje in odštevanje ulomkov:
  ;
• Množenje in deljenje ulomkov:
  ;

Lekcija in predstavitev na temo: "Pretvorba racionalnih izrazov. Primeri reševanja problemov"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 8. razred
Priročnik za učbenik Muravin G.K. Priročnik za učbenik Makarycheva Yu.N.

Koncept racionalnega izražanja

Pri reševanju številnih nalog v osnovnih razredih smo po izvajanju aritmetičnih operacij dobili določene številske vrednosti, največkrat ulomke. Po izvedbi operacij bomo dobili algebraične ulomke. Fantje, ne pozabite: če želite dobiti pravilen odgovor, morate čim bolj poenostaviti izraz, s katerim delate. Pridobiti je treba najmanjšo možno diplomo; enake izraze v števcih in imenovalcih je treba zmanjšati; z izrazi, ki jih je mogoče strniti, morate to storiti. To pomeni, da bi morali po izvedbi niza dejanj dobiti najpreprostejši možni algebraični ulomek.

Postopek z racionalnimi izrazi

Dokazati identiteto pomeni dokazati, da sta za vse vrednosti spremenljivk desna in leva stran enaki. Primerov dokazovanja identitete je veliko.

Glavni načini reševanja identitet vključujejo.

• Preoblikujte levo stran, da bo enaka desni strani.
• Preoblikujte desno stran, da bo enaka levi.
• Preoblikujte levo in desno stran ločeno, dokler ne dobite enakega izraza.
• Desna stran se odšteje od leve in rezultat mora biti nič.

Pretvarjanje racionalnih izrazov. Primeri reševanja problemov

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

rešitev.
Očitno moramo preoblikovati levo stran.
Najprej naredimo korake v oklepajih:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

Poskusite čim bolj uporabiti skupne dejavnike.
2) Transformiraj izraz, s katerim delimo:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Izvedite operacijo dodajanja:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Desni in levi del sta sovpadala. To pomeni, da je identiteta dokazana.
Fantje, pri reševanju tega primera smo potrebovali poznavanje številnih formul in operacij. Vidimo, da se je po preobrazbi velik izraz spremenil v zelo majhnega. Pri reševanju skoraj vseh problemov transformacije običajno vodijo do preprostih izrazov.

Primer 2.
Poenostavite izraz:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

rešitev.
Začnimo s prvimi oklepaji.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Preoblikujte druge oklepaje.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Naredimo delitev.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

Odgovor: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Primer 3.
Sledite tem korakom:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Zdaj pa naredimo delitev.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Uporabimo lastnost: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Izvedimo operacijo odštevanja.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Članek govori o transformaciji racionalnih izrazov. Oglejmo si vrste racionalnih izrazov, njihove transformacije, združevanja in oklepaje skupnega faktorja. Naučimo se predstaviti ulomljene racionalne izraze v obliki racionalnih ulomkov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definicija in primeri racionalnih izrazov

Izrazi, ki so sestavljeni iz števil, spremenljivk, oklepajev, potenc z operacijami seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja s prisotnostjo ulomkov, se imenujejo racionalni izrazi.

Na primer, imamo, da je 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Se pravi, to so izrazi, ki niso razdeljeni na izraze s spremenljivkami. Učenje racionalnih izrazov se začne v 8. razredu, kjer se imenujejo ulomki racionalnih izrazov. Posebna pozornost je namenjena ulomkom v števcu, ki se transformirajo s transformacijskimi pravili.

To nam omogoča, da nadaljujemo s transformacijo racionalnih ulomkov poljubne oblike. Takšen izraz lahko obravnavamo kot izraz s prisotnostjo racionalnih ulomkov in celih izrazov z znaki dejanj.

Glavne vrste transformacij racionalnih izrazov

Racionalni izrazi se uporabljajo za izvajanje identičnih transformacij, združevanje v skupine, prinašanje podobnih in izvajanje drugih operacij s števili. Namen takih izrazov je poenostavitev.

Primer 1

Pretvorite racionalni izraz 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

rešitev

Vidimo lahko, da je tak racionalen izraz razlika med 3 x x y - 1 in 2 x x y - 1. Opazimo, da je njun imenovalec enak. To pomeni, da bo zmanjšanje podobnih pogojev v obliki

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

odgovor: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Primer 2

Pretvori 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .

rešitev

Na začetku izvedemo dejanja v oklepajih 3 · x − x = 2 · x. Ta izraz predstavimo v obliki 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Pridemo do izraza, ki vsebuje operacije z enim korakom, torej ima seštevanje in odštevanje.

Oklepajev se znebimo z lastnostjo deljenja. Potem dobimo, da je 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.

Številske faktorje združujemo s spremenljivko x, po kateri lahko izvajamo operacije s potencami. To razumemo

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

odgovor: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

Primer 3

Pretvori izraz v obliki x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

rešitev

Najprej preoblikujemo števec in imenovalec. Nato dobimo izraz v obliki (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 in najprej se izvedejo dejanja v oklepajih. V števcu se izvajajo operacije in združujejo faktorje. Nato dobimo izraz v obliki x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Formulo razlike kvadratov pretvorimo v števec, potem dobimo to

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Odgovori: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Predstavitev racionalnega ulomka

Algebraične ulomke pri reševanju največkrat poenostavimo. Vsako racionalno je reducirano na to različne poti. Vse je treba narediti potrebna dejanja s polinomi, tako da lahko racionalni izraz na koncu da racionalen ulomek.

Primer 4

Predstavi kot racionalni ulomek a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

rešitev

Ta izraz lahko predstavimo kot 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Množenje poteka predvsem po pravilih.

Začeti bi morali z množenjem, potem to dobimo

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Dobljeni rezultat predstavljamo z originalnim. To razumemo

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Zdaj pa naredimo odštevanje:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Po tem je očitno, da bo prvotni izraz dobil obliko 16 a 2 - 9.

odgovor: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Primer 5

Izrazi x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x kot racionalni ulomek.

rešitev

Podani izraz je zapisan kot ulomek, katerega števec ima x x + 1 + 1, imenovalec pa 2 x - 1 1 + x. Potrebno je narediti transformacije x x + 1 + 1 . Če želite to narediti, morate sešteti ulomek in število. Dobimo, da je x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Iz tega sledi, da je x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Dobljeni ulomek lahko zapišemo kot 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.

Po deljenju pridemo do racionalnega ulomka oblike

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1) ) = 2 x + 1 2 x - 1

To lahko rešite drugače.

Namesto da bi delili z 2 x - 1 1 + x, pomnožimo z obratnim številom 1 + x 2 x - 1. Uporabimo lastnost distribucije in ugotovimo to

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

odgovor: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ta članek je posvečen transformacija racionalnih izrazov, večinoma frakcijsko racionalen, je eno ključnih vprašanj pri tečaju algebre v 8. razredu. Najprej se spomnimo, katere vrste izrazov imenujemo racionalni. Nato se bomo osredotočili na izvajanje standardnih transformacij z racionalnimi izrazi, kot je združevanje izrazov, dajanje skupnih faktorjev iz oklepajev, prinašanje podobnih izrazov itd. Na koncu se bomo naučili predstaviti ulomke racionalnih izrazov kot racionalne ulomke.

Navigacija po strani.

Definicija in primeri racionalnih izrazov

Racionalni izrazi so ena od vrst izrazov, ki se preučujejo pri pouku algebre v šoli. Dajmo definicijo.

Opredelitev.

Izrazi, sestavljeni iz števil, spremenljivk, oklepajev, potence s celimi eksponenti, ki so povezani z aritmetičnimi znaki +, −, · in:, pri čemer lahko deljenje označimo z ulomkovo črto, imenujemo racionalni izrazi.

Tu je nekaj primerov racionalnih izrazov: .

Racionalne izraze začnemo namensko preučevati v 7. razredu. Še več, v 7. razredu se spoznajo osnove dela s t.i celotne racionalne izraze, torej z racionalnimi izrazi, ki ne vsebujejo deljenja na izraze s spremenljivkami. Da bi to naredili, se zaporedno preučujejo monomi in polinomi ter načela izvajanja dejanj z njimi. Vse to znanje vam na koncu omogoča izvajanje transformacij celotnih izrazov.

V 8. razredu preidejo na preučevanje racionalnih izrazov, ki vsebujejo deljenje z izrazom s spremenljivkami, imenovanimi ulomki racionalni izrazi. V tem primeru je posebna pozornost namenjena t.i racionalni ulomki(imenujejo se tudi algebrski ulomki), torej ulomke, katerih števec in imenovalec vsebujeta polinome. To na koncu omogoča pretvorbo racionalnih ulomkov.

Pridobljene veščine vam omogočajo prehod na preoblikovanje racionalnih izrazov katere koli oblike. To je razloženo z dejstvom, da se vsak racionalni izraz lahko obravnava kot izraz, sestavljen iz racionalnih ulomkov in celih izrazov, povezanih z znaki aritmetičnih operacij. In že vemo, kako delati s celimi izrazi in algebrskimi ulomki.

Glavne vrste transformacij racionalnih izrazov

Z racionalnimi izrazi lahko izvedete katero koli od osnovnih transformacij identitete, pa naj gre za združevanje izrazov ali faktorjev, prinašanje podobnih izrazov, izvajanje operacij s števili itd. Običajno je namen izvajanja teh transformacij poenostavitev racionalnega izražanja.

Primer.

.

rešitev.

Jasno je, da je ta racionalni izraz razlika med dvema izrazoma in , ta izraza pa sta si podobna, saj imata isti črkovni del. Tako lahko izvedemo zmanjšanje podobnih izrazov:

odgovor:

.

Jasno je, da morate pri izvajanju transformacij z racionalnimi izrazi, pa tudi s katerimi koli drugimi izrazi, ostati znotraj sprejetega vrstnega reda izvajanja dejanj.

Primer.

Izvedite racionalno transformacijo izraza.

rešitev.

Vemo, da se najprej izvedejo dejanja v oklepajih. Zato najprej transformiramo izraz v oklepaju: 3·x−x=2·x.

Zdaj lahko dobljeni rezultat nadomestite z izvirnim racionalnim izrazom: . Tako smo prišli do izraza, ki vsebuje dejanja ene stopnje - seštevanje in množenje.

Znebimo se oklepajev na koncu izraza z uporabo lastnosti deljenja s produktom: .

Končno lahko združimo številske faktorje in faktorje s spremenljivko x, nato izvedemo ustrezne operacije nad številkami in uporabimo :.

S tem je preoblikovanje racionalnega izraza končano in kot rezultat dobimo monom.

odgovor:

Primer.

Pretvori racionalno izražanje .

rešitev.

Najprej preoblikujemo števec in imenovalec. Ta vrstni red transformacije ulomkov je razložen z dejstvom, da je črta ulomka v bistvu druga oznaka za deljenje, prvotni racionalni izraz pa je v bistvu količnik oblike in najprej se izvedejo dejanja v oklepajih.

Torej v števcu izvajamo operacije s polinomi, najprej množenje, nato odštevanje, v imenovalcu pa združujemo številske faktorje in izračunamo njihov produkt: .

Predstavljajmo si tudi števec in imenovalec dobljenega ulomka v obliki produkta: nenadoma je možno skrajšati algebraični ulomek. Da bi to naredili, bomo uporabili v števcu formula razlike kvadratov, in v imenovalcu vzamemo dva iz oklepaja, imamo .

odgovor:

.

Tako lahko začetno seznanitev s transformacijo racionalnih izrazov štejemo za zaključeno. Preidimo tako rekoč na najslajši del.

Predstavitev racionalnega ulomka

Najpogosteje je končni cilj preoblikovanja izrazov poenostavitev njihovega videza. V tej luči najbolj preprost pogled v katerega je mogoče pretvoriti ulomljeno racionalen izraz je racionalni (algebraični) ulomek, v posebnem primeru pa polinom, monom ali število.

Ali je mogoče katerikoli racionalni izraz predstaviti kot racionalni ulomek? Odgovor je pritrdilen. Naj pojasnimo, zakaj je temu tako.

Kot smo že povedali, lahko vsak racionalni izraz obravnavamo kot polinome in racionalne ulomke, povezane z znaki plus, minus, množenje in deljenje. Vse ustrezne operacije s polinomi dajo polinom ali racionalni ulomek. Vsak polinom pa lahko pretvorimo v algebraični ulomek, tako da ga zapišemo z imenovalcem 1. In seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje racionalnih ulomkov povzroči nov racionalni ulomek. Zato po izvedbi vseh operacij s polinomi in racionalnimi ulomki v racionalnem izrazu dobimo racionalni ulomek.

Primer.

Izraz izrazi kot racionalni ulomek .

rešitev.

Prvotni racionalni izraz je razlika med ulomkom in produktom ulomkov oblike . Glede na vrstni red operacij moramo najprej izvesti množenje in šele nato seštevanje.

Začnemo z množenjem algebraičnih ulomkov:

Dobljeni rezultat nadomestimo v prvotni racionalni izraz: .

Prišli smo do odštevanja algebraičnih ulomkov z različnimi imenovalci:

Ko smo torej izvedli operacije z racionalnimi ulomki, ki sestavljajo prvotni racionalni izraz, smo ga predstavili v obliki racionalnega ulomka.

odgovor:

.

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev drugega primera.

Primer.

Racionalni izraz izrazi kot racionalni ulomek.