§ 1 Koncept poenostavitve dobesednega izraza

V tej lekciji se bomo seznanili s pojmom "podobni izrazi" in se na primerih naučili reducirati podobne izraze in tako poenostaviti dobesedne izraze.

Ugotovimo pomen pojma "poenostavitev". Beseda "poenostavitev" izhaja iz besede "poenostaviti". Poenostaviti pomeni narediti preprosto, preprostejše. Zato poenostaviti črkovni izraz pomeni, da ga skrajšamo z minimalnim številom dejanj.

Razmislite o izrazu 9x + 4x. To je dobesedni izraz, ki je vsota. Izrazi so tukaj predstavljeni kot produkti števila in črke. Številčni faktor takih izrazov se imenuje koeficient. V tem izrazu bosta koeficienta števili 9 in 4. Upoštevajte, da je faktor, ki ga predstavlja črka, enak v obeh členih te vsote.

Spomnimo se distribucijskega zakona množenja:

Če želite pomnožiti vsoto s številom, lahko vsak člen pomnožite s tem številom in seštejete nastale produkte.

IN splošni pogled zapisana takole: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Ta zakon velja v obe smeri ac + bc = (a + b) ∙ c

Uporabimo to za naš dobesedni izraz: vsota zmnožkov 9x in 4x je enaka zmnožku, katerega prvi faktor je enak vsoti 9 in 4, drugi faktor je x.

9 + 4 = 13, to je 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Namesto treh dejanj v izrazu je ostalo samo eno dejanje - množenje. To pomeni, da smo naš dobesedni izraz poenostavili, tj. poenostavil.

§ 2 Zmanjšanje podobnih pogojev

Izraza 9x in 4x se razlikujeta le v svojih koeficientih - taka izraza imenujemo podobna. Črkovni del podobnih izrazov je enak. Podobni izrazi vključujejo tudi števila in enake izraze.

Na primer, v izrazu 9a + 12 - 15 bosta podobni členi števili 12 in -15, v vsoti produkta 12 in 6a pa število 14 in produkt 12 in 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) enaki členi, ki jih predstavlja produkt 12 in 6a.

Pomembno je omeniti, da izrazi, katerih koeficienti so enaki, a črkovni faktorji različni, niso podobni, čeprav je včasih koristno zanje uporabiti distribucijski zakon množenja, na primer vsota produktov 5x in 5y je enak zmnožku števila 5 in vsote x in y

5x + 5y = 5(x + y).

Poenostavimo izraz -9a + 15a - 4 + 10.

Podobna člena sta v tem primeru člena -9a in 15a, saj se razlikujeta le v koeficientih. Njun množitelj črk je enak, izraza -4 in 10 pa sta si podobna, saj sta števili. Dodajte podobne izraze:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Dobimo: 6a + 6.

S poenostavitvijo izraza smo našli vsote podobnih členov, v matematiki se temu reče redukcija podobnih členov.

Če je dodajanje takih izrazov težko, si lahko zanje izmislite besede in dodate predmete.

Na primer, upoštevajte izraz:

Za vsako črko vzamemo svoj predmet: b-jabolko, c-hruška, potem dobimo: 2 jabolki minus 5 hrušk plus 8 hrušk.

Ali lahko odštejemo hruške od jabolk? Seveda ne. Lahko pa dodamo 8 hrušk minus 5 hruškam.

Predstavimo podobne izraze -5 hrušk + 8 hrušk. Podobni izrazi imajo enak črkovni del, zato je pri vnašanju podobnih izrazov dovolj, da seštejemo koeficiente in rezultatu dodamo črkovni del:

(-5 + 8) hrušk - dobiš 3 hruške.

Če se vrnemo k našemu dobesednemu izrazu, imamo -5 s + 8 s = 3 s. Tako po vnosu podobnih členov dobimo izraz 2b + 3c.

Torej, v tej lekciji ste se seznanili s pojmom "podobni izrazi" in se naučili, kako poenostaviti črkovne izraze z zmanjšanjem podobnih izrazov.

Seznam uporabljene literature:

1. Matematika. 6. razred: učni načrti za učbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // avtor-prevajalec L.A. Topilina. Mnemozina 2009.
2. Matematika. 6. razred: učbenik za učence izobraževalne ustanove. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. 6. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove / G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov in drugi / uredil G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Ruska akademija znanosti, Ruska akademija za izobraževanje. M.: "Razsvetljenje", 2010.
4. Matematika. 6. razred: študij za splošne izobraževalne ustanove / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matematika. 6. razred: učbenik/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Uporabljene slike:

Prva stopnja

Pretvarjanje izrazov. Podrobna teorija (2019)

Pogosto slišimo ta neprijeten stavek: "poenostavite izraz." Običajno vidimo takšno pošast:

"Veliko bolj preprosto je," rečemo, a tak odgovor običajno ne deluje.

Zdaj te bom naučil, da se ne boš takih nalog.

Poleg tega boste na koncu lekcije sami poenostavili ta primer na (samo!) navadno številko (ja, k vragu s temi črkami).

Toda preden začnete s to dejavnostjo, morate biti sposobni obravnavati ulomke in faktorski polinomi.

Zato, če tega še niste storili, obvezno obvladajte teme "" in "".

Ste ga prebrali? Če da, potem ste zdaj pripravljeni.

Gremo! (Gremo!)

Pomembna opomba!Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) oz Cmd+R (na Macu).

Osnovne operacije poenostavljanja izrazov

Zdaj pa si poglejmo osnovne tehnike, ki se uporabljajo za poenostavitev izrazov.

Najenostavnejši je

1. Prinašanje podobnih

Kaj so podobni? To ste vzeli v 7. razredu, ko so se v matematiki prvič pojavile črke namesto številk.

Podobno- to so izrazi (monomi) z enakim črkovnim delom.

Na primer, v vsoti so podobni izrazi in.

Ali se spomniš?

Daj podobno- pomeni dodajanje več podobnih izrazov med seboj in pridobitev enega izraza.

Kako lahko sestavimo črke skupaj? - vprašate.

To je zelo enostavno razumeti, če si predstavljate, da so črke nekakšni predmeti.

Na primer, pismo je stol. Čemu je potem enak izraz?

Dva stola in trije stoli, koliko jih bo? Tako je, stoli: .

Zdaj poskusite ta izraz: .

Da ne bi prišlo do zmede, naj različne črke predstavljajo različne predmete.

Na primer, - je (kot običajno) stol in - je miza.

stoli mize stol mize stoli stoli mize

Številke, s katerimi se pomnožijo črke v takih izrazih, se imenujejo koeficientov.

Na primer, v monomu je koeficient enak. In v tem je enakovreden.

Torej, pravilo za prinašanje podobnih je:

Primeri:

Daj podobne:

odgovori:

2. (in podobno, saj imata torej ti izrazi isti črkovni del).

2. Faktorizacija

To je običajno najpomembnejši del pri poenostavljanju izrazov.

Potem ko ste dali podobne, je najpogosteje potreben nastali izraz faktorizirati, torej predstavljeno v obliki izdelka.

Še posebej to pomembno v ulomkih: navsezadnje, da bi lahko zmanjšali ulomek, Števec in imenovalec morata biti predstavljena kot produkt.

Metode faktoriziranja izrazov ste podrobno pregledali v temi “”, zato si morate tukaj samo zapomniti, kaj ste se naučili.

Če želite to narediti, rešite več primerov (razložiti jih morate na faktorje)

Primeri:

rešitve:

3. Zmanjšanje ulomka.

No, kaj je lahko bolj prijetnega kot prečrtati del števca in imenovalca in ju vreči iz svojega življenja?

To je lepota zmanjševanja.

Preprosto je:

Če sta v števcu in imenovalcu enaka faktorja, ju je mogoče zmanjšati, torej odstraniti iz ulomka.

To pravilo izhaja iz osnovne lastnosti ulomka:

To pomeni, da je bistvo redukcijske operacije to Števec in imenovalec ulomka delimo z istim številom (ali z enakim izrazom).

Če želite zmanjšati ulomek, potrebujete:

1) števec in imenovalec faktorizirati

2) če števec in imenovalec vsebujeta skupni dejavniki, jih je mogoče prečrtati.

Primeri:

Mislim, da je načelo jasno?

Rad bi vas opozoril na eno stvar tipična napaka pri sklepanju pogodb. Čeprav je ta tema preprosta, veliko ljudi počne vse narobe, ne da bi tega razumeli zmanjšati- to pomeni razdelitištevec in imenovalec sta enako število.

Brez okrajšav, če je števec ali imenovalec vsota.

Na primer: moramo poenostaviti.

Nekateri ljudje to počnejo: kar je popolnoma narobe.

Drug primer: zmanjšaj.

"Najpametnejši" bodo naredili tole:

Povej mi, kaj je tukaj narobe? Zdi se: - to je multiplikator, kar pomeni, da ga je mogoče zmanjšati.

Ampak ne: - to je faktor samo enega člena v števcu, sam števec kot celota pa ni faktoriziran.

Tu je še en primer: .

Ta izraz je faktoriziran, kar pomeni, da ga lahko zmanjšate, to je, da števec in imenovalec delite z in nato z:

Takoj ga lahko razdelite na:

Da bi se izognili takim napakam, si zapomnite enostaven način kako ugotoviti, ali je izraz faktoriziran:

Aritmetična operacija, ki se izvede zadnja pri izračunu vrednosti izraza, je »glavna« operacija.

Se pravi, če zamenjate nekaj (poljubnih) številk namesto črk in poskušate izračunati vrednost izraza, potem če je zadnje dejanje množenje, potem imamo produkt (izraz je faktoriziran).

Če je zadnje dejanje seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da izraz ni faktoriziran (in ga zato ni mogoče zmanjšati).

Da bi to podkrepili, sami rešite nekaj primerov:

Primeri:

rešitve:

1. Upam, da niste takoj pohiteli rezati in? Še vedno ni bilo dovolj, da bi tako "zmanjšali" enote:

Prvi korak bi morala biti faktorizacija:

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov je znana operacija: iščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in seštevamo/odštevamo števce.

Spomnimo se:

odgovori:

1. Imenovalca in sta relativno praštevilna, to pomeni, da nimata skupnih faktorjev. Zato je LCM teh števil enak njihovemu produktu. To bo skupni imenovalec:

2. Tukaj je skupni imenovalec:

3. Tukaj najprej pretvorimo mešane ulomke v nepravilne, nato pa po običajni shemi:

Povsem druga stvar je, če ulomki vsebujejo črke, na primer:

Začnimo z nečim preprostim:

a) Imenovalci ne vsebujejo črk

Tu je vse enako kot pri navadnih številskih ulomkih: poiščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in števce seštejemo/odštejemo:

Zdaj lahko v števcu navedete podobne, če obstajajo, in jih faktorizirate:

Poskusite sami:

odgovori:

b) Imenovalci vsebujejo črke

Spomnimo se načela iskanja skupnega imenovalca brez črk:

· najprej določimo skupne faktorje;

· nato enega za drugim izpišemo vse skupne faktorje;

· in jih pomnožite z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Da določimo skupne faktorje imenovalcev, jih najprej faktoriziramo v prafaktorje:

Poudarimo skupne dejavnike:

Zdaj pa izpišimo skupne faktorje enega za drugim in jim dodamo vse neobičajne (nepodčrtane):

To je skupni imenovalec.

Vrnimo se k črkam. Imenovalci so podani na povsem enak način:

· razčlenimo imenovalce;

· ugotavljanje skupnih (enakih) faktorjev;

· enkrat izpiši vse skupne faktorje;

· pomnožite jih z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Torej po vrsti:

1) faktoriziraj imenovalce:

2) določite skupne (enake) dejavnike:

3) enkrat izpiši vse skupne faktorje in jih pomnoži z vsemi drugimi (nepodčrtanimi) faktorji:

Tukaj je torej skupni imenovalec. Prvi ulomek je treba pomnožiti z, drugi - z:

Mimogrede, obstaja en trik:

Na primer: .

V imenovalcih vidimo iste dejavnike, le da so vsi z različnimi kazalci. Skupni imenovalec bo:

do stopnje

do stopnje

do stopnje

do stopnje.

Zapletimo nalogo:

Kako doseči, da imajo ulomki enak imenovalec?

Spomnimo se osnovne lastnosti ulomka:

Nikjer ne piše, da je mogoče isto število odšteti (ali prišteti) od števca in imenovalca ulomka. Ker ni res!

Prepričajte se sami: vzemite na primer kateri koli ulomek in števcu in imenovalcu prištejte neko število, na primer . Kaj si se naučil?

Torej, še eno neomajno pravilo:

Ko ulomke reducirate na skupni imenovalec, uporabite samo operacijo množenja!

Toda s čim morate pomnožiti, da dobite?

Torej pomnožite s. In pomnožite z:

Izraze, ki jih ni mogoče faktorizirati, bomo imenovali "elementarni faktorji".

Na primer, - to je osnovni dejavnik. - Enako. Ampak ne: lahko se faktorizira.

Kaj pa izraz? Ali je osnovno?

Ne, ker se lahko faktorizira:

(o faktorizaciji ste že prebrali v temi “”).

Torej so osnovni faktorji, na katere razčleniš izraz s črkami, analog preprostih faktorjev, na katere razčleniš števila. In z njimi bomo ravnali na enak način.

Vidimo, da imata oba imenovalca množitelja. Šlo bo na skupni imenovalec do stopnje (se spomnite, zakaj?).

Faktor je elementaren in nimata skupnega faktorja, kar pomeni, da bo treba prvi ulomek preprosto pomnožiti z njim:

Še en primer:

rešitev:

Preden panično pomnožite te imenovalce, morate razmisliti, kako jih faktorizirati? Oba predstavljata:

Super! Nato:

Še en primer:

rešitev:

Kot običajno razložimo imenovalce na faktorje. V prvi imenovalec preprosto damo iz oklepaja; v drugem - razlika kvadratov:

Zdi se, da skupnih dejavnikov ni. A če dobro pogledaš, sta si podobna ... In res je:

Torej zapišimo:

Se pravi, izkazalo se je tako: znotraj oklepaja smo zamenjali izraze, hkrati pa se je znak pred ulomkom spremenil v nasprotno. Upoštevajte, to boste morali početi pogosto.

Zdaj pa ga spravimo na skupni imenovalec:

Razumem? Preverimo zdaj.

Naloge za samostojno reševanje:

odgovori:

Tu se moramo spomniti še ene stvari - razlike med kockami:

Upoštevajte, da imenovalec drugega ulomka ne vsebuje formule "kvadrat vsote"! Kvadrat vsote bi izgledal takole: .

A je tako imenovani nepopolni kvadrat vsote: drugi člen v njem je produkt prvega in zadnjega in ne njun dvojni produkt. Delni kvadrat vsote je eden od dejavnikov pri razširitvi razlike kock:

Kaj storiti, če so že trije ulomki?

Ja, isto! Najprej se prepričajmo, da je največje število faktorjev v imenovalcih enako:

Upoštevajte: če spremenite znake znotraj enega oklepaja, se znak pred ulomkom spremeni v nasprotnega. Ko zamenjamo predznake v drugem oklepaju, se predznak pred ulomkom spet spremeni v nasprotnega. Zaradi tega se (znak pred ulomkom) ni spremenil.

Celoten prvi imenovalec izpišemo na skupni imenovalec, nato pa mu prištejemo vse še nezapisane faktorje iz drugega, nato iz tretjega (in tako naprej, če je ulomkov več). Se pravi, izkaže se takole:

Hmm ... Jasno je, kaj storiti z ulomki. Kaj pa oba?

Preprosto je: veste, kako seštevati ulomke, kajne? Torej moramo narediti, da dva postane ulomek! Spomnimo se: ulomek je operacija deljenja (števec delimo z imenovalcem, če ste pozabili). In ni nič lažjega kot deliti število s. V tem primeru se sama številka ne bo spremenila, ampak se bo spremenila v ulomek:

Točno to, kar je potrebno!

5. Množenje in deljenje ulomkov.

No, najtežjega dela je zdaj konec. In pred nami je najpreprostejše, a hkrati najpomembnejše:

Postopek

Kakšen je postopek za izračun številskega izraza? Z izračunom si zapomnite pomen tega izraza:

Ste šteli?

Moralo bi delovati.

Torej, naj vas spomnim.

Prvi korak je izračun stopnje.

Drugi je množenje in deljenje. Če je več množenj in deljenj hkrati, jih lahko izvajamo v poljubnem vrstnem redu.

In na koncu izvedemo seštevanje in odštevanje. Spet v poljubnem vrstnem redu.

Toda: izraz v oklepaju je ovrednoten izven reda!

Če med seboj pomnožimo ali delimo več oklepajev, najprej izračunamo izraz v vsakem od oklepajev, nato pa jih pomnožimo ali delimo.

Kaj pa, če je znotraj oklepajev več oklepajev? No, pomislimo: v oklepaju je zapisan neki izraz. Kaj morate najprej narediti pri računanju izraza? Tako je, izračunajte oklepaje. Pa smo ugotovili: najprej izračunamo notranje oklepaje, potem pa vse ostalo.

Torej, postopek za zgornji izraz je naslednji (trenutno dejanje je označeno z rdečo, to je dejanje, ki ga trenutno izvajam):

V redu, vse je preprosto.

Ampak to ni isto kot izraz s črkami?

Ne, isto je! Samo namesto aritmetičnih operacij morate opraviti algebraične, to je dejanja, opisana v prejšnjem razdelku: prinašanje podobnih, seštevanje ulomkov, zmanjševanje ulomkov itd. Edina razlika bo dejanje faktoriziranja polinomov (to pogosto uporabljamo pri delu z ulomki). Najpogosteje morate za faktoriziranje uporabiti I ali preprosto dati skupni faktor iz oklepaja.

Običajno je naš cilj predstaviti izraz kot produkt ali količnik.

Na primer:

Poenostavimo izraz.

1) Najprej poenostavimo izraz v oklepajih. Tam imamo razliko ulomkov, naš cilj pa je, da jo predstavimo kot produkt ali količnik. Torej, ulomke spravimo na skupni imenovalec in dodamo:

Tega izraza je nemogoče še bolj poenostaviti, vsi dejavniki so elementarni (se še spomnite, kaj to pomeni?).

2) Dobimo:

Množenje ulomkov: kaj je lahko preprostejšega.

3) Zdaj lahko skrajšate:

OK, zdaj je vsega konec. Nič zapletenega, kajne?

Še en primer:

Poenostavite izraz.

Najprej poskusite rešiti sami in šele nato poglejte rešitev.

rešitev:

Najprej določimo vrstni red dejanj.

Najprej seštejmo ulomke v oklepajih, da namesto dveh ulomkov dobimo enega.

Nato bomo delili ulomke. No, seštejmo rezultat z zadnjim ulomkom.

Korake bom shematično oštevilčil:

Zdaj vam bom pokazal postopek in trenutno dejanje obarval rdeče:

Na koncu vam bom dal dva koristna nasveta:

1. Če obstajajo podobni, jih je treba takoj prinesti. Kjerkoli že se pri nas pojavijo podobni, jih je priporočljivo nemudoma izpostaviti.

2. Enako velja za zmanjševanje ulomkov: takoj ko se pojavi priložnost za zmanjševanje, jo je treba izkoristiti. Izjema so ulomki, ki jih seštevate ali odštevate: če imajo zdaj enake imenovalce, potem zmanjševanje pustite za pozneje.

Tukaj je nekaj nalog, ki jih lahko rešite sami:

In kar je bilo obljubljeno na samem začetku:

odgovori:

Rešitve (na kratko):

Če ste se spopadli z vsaj prvimi tremi primeri, potem ste temo obvladali.

Zdaj pa na učenje!

PRETVORBA IZRAZOV. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije poenostavljanja:

• Prinašanje podobnih: če želite dodati (zmanjšati) podobne izraze, morate sešteti njihove koeficiente in dodeliti črkovni del.
• Faktorizacija: dajanje skupnega faktorja iz oklepaja, njegova uporaba itd.
• Zmanjšanje ulomka: Števec in imenovalec ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, kar ne spremeni vrednosti ulomka.
  1) števec in imenovalec faktorizirati
  2) če imata števec in imenovalec skupne faktorje, ju lahko prečrtamo.

  POMEMBNO: zmanjšati je mogoče le množitelje!

• Seštevanje in odštevanje ulomkov:
  ;
• Množenje in deljenje ulomkov:
  ;

Algebrski izraz, v katerem poleg operacij seštevanja, odštevanja in množenja uporablja tudi deljenje na črkovne izraze, imenujemo ulomljeni algebrski izraz. To so na primer izrazi

Algebrski ulomek imenujemo algebrski izraz, ki ima obliko količnika deljenja dveh celih algebrskih izrazov (na primer monomov ali polinomov). To so na primer izrazi

Tretji izmed izrazov).

Identične transformacije ulomljenih algebrskih izrazov so večinoma namenjene predstavitvi v obliki algebrskega ulomka. Za iskanje skupnega imenovalca se uporablja faktorizacija imenovalcev ulomkov - členov, da bi našli njihov najmanjši skupni večkratnik. Pri zmanjševanju algebrskih ulomkov je lahko kršena stroga identiteta izrazov: izključiti je treba vrednosti količin, pri katerih faktor, s katerim se zmanjša, postane nič.

Navedimo primere identičnih transformacij ulomljenih algebrskih izrazov.

Primer 1: Poenostavite izraz

Vse izraze je mogoče skrčiti na skupni imenovalec (priročno je zamenjati predznak v imenovalcu zadnjega izraza in znak pred njim):

Naš izraz je enak ena za vse vrednosti, razen za te vrednosti; je nedefiniran in zmanjšanje ulomka je nezakonito).

Primer 2. Predstavi izraz kot algebraični ulomek

rešitev. Izraz lahko vzamemo kot skupni imenovalec. Zaporedoma najdemo:

vaje

1. Poiščite vrednosti algebrskih izrazov za navedene vrednosti parametrov:

2. Faktoriziraj.

Prva stopnja

Pretvarjanje izrazov. Podrobna teorija (2019)

Pretvarjanje izrazov

Pogosto slišimo ta neprijeten stavek: "poenostavite izraz." Običajno vidimo takšno pošast:

"Veliko bolj preprosto je," rečemo, a tak odgovor običajno ne deluje.

Zdaj te bom naučil, da se ne boš takih nalog. Poleg tega boste na koncu lekcije sami poenostavili ta primer na (samo!) navadno številko (ja, k vragu s temi črkami).

Toda preden začnete s to lekcijo, morate znati obravnavati ulomke in faktorske polinome. Zato najprej, če tega še niste storili, obvezno obvladajte teme "" in "".

Ste ga prebrali? Če da, potem ste zdaj pripravljeni.

Osnovne operacije poenostavljanja

Zdaj pa si poglejmo osnovne tehnike, ki se uporabljajo za poenostavitev izrazov.

Najenostavnejši je

1. Prinašanje podobnih

Kaj so podobni? To ste vzeli v 7. razredu, ko so se v matematiki prvič pojavile črke namesto številk. Podobni so členi (monomi) z enakim črkovnim delom. Na primer, v vsoti so podobni izrazi in.

Ali se spomniš?

Prinesti podobno pomeni dodati več podobnih izrazov drug drugemu in dobiti en izraz.

Kako lahko sestavimo črke skupaj? - vprašate.

To je zelo enostavno razumeti, če si predstavljate, da so črke nekakšni predmeti. Na primer, pismo je stol. Čemu je potem enak izraz? Dva stola in trije stoli, koliko jih bo? Tako je, stoli: .

Zdaj poskusite ta izraz: .

Da bi se izognili zmedi, naj različne črke predstavljajo različne predmete. Na primer, - je (kot običajno) stol in - je miza. Nato:

stoli mize stol mize stoli stoli mize

Številke, s katerimi se pomnožijo črke v takih izrazih, se imenujejo koeficientov. Na primer, v monomu je koeficient enak. In v tem je enakovreden.

Torej, pravilo za prinašanje podobnih je:

Primeri:

Daj podobne:

odgovori:

2. (in podobno, saj imata torej ti izrazi isti črkovni del).

2. Faktorizacija

To je običajno najpomembnejši del pri poenostavljanju izrazov. Potem ko ste dali podobne, je treba najpogosteje nastali izraz faktorizirati, to je predstaviti kot produkt. To je še posebej pomembno pri ulomkih: da bi lahko ulomek skrčili, morata biti števec in imenovalec predstavljena kot produkt.

Metode faktoriziranja izrazov ste podrobno pregledali v temi “”, zato si morate tukaj samo zapomniti, kaj ste se naučili. Če želite to narediti, se odločite za nekaj primeri(treba je faktorizirati):

rešitve:

3. Zmanjšanje ulomka.

No, kaj je lahko bolj prijetnega kot prečrtati del števca in imenovalca in ju vreči iz svojega življenja?

To je lepota zmanjševanja.

Preprosto je:

Če sta v števcu in imenovalcu enaka faktorja, ju je mogoče zmanjšati, torej odstraniti iz ulomka.

To pravilo izhaja iz osnovne lastnosti ulomka:

To pomeni, da je bistvo redukcijske operacije to Števec in imenovalec ulomka delimo z istim številom (ali z enakim izrazom).

Če želite zmanjšati ulomek, potrebujete:

1) števec in imenovalec faktorizirati

2) če števec in imenovalec vsebujeta skupni dejavniki, jih je mogoče prečrtati.

Mislim, da je načelo jasno?

Opozoril bi vas na eno tipično napako pri krajšanju. Čeprav je ta tema preprosta, veliko ljudi počne vse narobe, ne da bi tega razumeli zmanjšati- to pomeni razdelitištevec in imenovalec sta enako število.

Brez okrajšav, če je števec ali imenovalec vsota.

Na primer: moramo poenostaviti.

Nekateri ljudje to počnejo: kar je popolnoma narobe.

Drug primer: zmanjšaj.

"Najpametnejši" bodo naredili tole: .

Povej mi, kaj je tukaj narobe? Zdi se: - to je multiplikator, kar pomeni, da ga je mogoče zmanjšati.

Ampak ne: - to je faktor samo enega člena v števcu, sam števec kot celota pa ni faktoriziran.

Tu je še en primer: .

Ta izraz je faktoriziran, kar pomeni, da ga lahko zmanjšate, to je, da števec in imenovalec delite z in nato z:

Takoj ga lahko razdelite na:

Da bi se izognili takim napakam, si zapomnite preprost način za ugotavljanje, ali je izraz faktoriziran:

Aritmetična operacija, ki se izvede zadnja pri izračunu vrednosti izraza, je »glavna« operacija. Se pravi, če zamenjate nekaj (poljubnih) številk namesto črk in poskušate izračunati vrednost izraza, potem če je zadnje dejanje množenje, potem imamo produkt (izraz je faktoriziran). Če je zadnje dejanje seštevanje ali odštevanje, to pomeni, da izraz ni faktoriziran (in ga zato ni mogoče zmanjšati).

Za utrjevanje jih nekaj rešite sami primeri:

odgovori:

1. Upam, da niste takoj pohiteli rezati in? Še vedno ni bilo dovolj, da bi tako "zmanjšali" enote:

Prvi korak bi morala biti faktorizacija:

4. Seštevanje in odštevanje ulomkov. Zmanjšanje ulomkov na skupni imenovalec.

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov je znana operacija: iščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in seštevamo/odštevamo števce. Spomnimo se:

odgovori:

1. Imenovalca in sta relativno praštevilna, to pomeni, da nimata skupnih faktorjev. Zato je LCM teh števil enak njihovemu produktu. To bo skupni imenovalec:

2. Tukaj je skupni imenovalec:

3. Tukaj najprej pretvorimo mešane ulomke v nepravilne, nato pa po običajni shemi:

Povsem druga stvar je, če ulomki vsebujejo črke, na primer:

Začnimo z nečim preprostim:

a) Imenovalci ne vsebujejo črk

Tu je vse enako kot pri navadnih številskih ulomkih: poiščemo skupni imenovalec, vsak ulomek pomnožimo z manjkajočim faktorjem in števce seštejemo/odštejemo:

Zdaj lahko v števcu navedete podobne, če obstajajo, in jih faktorizirate:

Poskusite sami:

b) Imenovalci vsebujejo črke

Spomnimo se načela iskanja skupnega imenovalca brez črk:

· najprej določimo skupne faktorje;

· nato enega za drugim izpišemo vse skupne faktorje;

· in jih pomnožite z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Da določimo skupne faktorje imenovalcev, jih najprej faktoriziramo v prafaktorje:

Poudarimo skupne dejavnike:

Zdaj pa izpišimo skupne faktorje enega za drugim in jim dodamo vse neobičajne (nepodčrtane):

To je skupni imenovalec.

Vrnimo se k črkam. Imenovalci so podani na povsem enak način:

· razčlenimo imenovalce;

· ugotavljanje skupnih (enakih) faktorjev;

· enkrat izpiši vse skupne faktorje;

· pomnožite jih z vsemi drugimi neobičajnimi faktorji.

Torej po vrsti:

1) faktoriziraj imenovalce:

2) določite skupne (enake) dejavnike:

3) enkrat izpiši vse skupne faktorje in jih pomnoži z vsemi drugimi (nepodčrtanimi) faktorji:

Tukaj je torej skupni imenovalec. Prvi ulomek je treba pomnožiti z, drugi - z:

Mimogrede, obstaja en trik:

Na primer: .

V imenovalcih vidimo iste dejavnike, le da so vsi z različnimi kazalci. Skupni imenovalec bo:

do stopnje

do stopnje

do stopnje

do stopnje.

Zapletimo nalogo:

Kako doseči, da imajo ulomki enak imenovalec?

Spomnimo se osnovne lastnosti ulomka:

Nikjer ne piše, da je mogoče isto število odšteti (ali prišteti) od števca in imenovalca ulomka. Ker ni res!

Prepričajte se sami: vzemite na primer kateri koli ulomek in števcu in imenovalcu prištejte neko število, na primer . Kaj si se naučil?

Torej, še eno neomajno pravilo:

Ko ulomke reducirate na skupni imenovalec, uporabite samo operacijo množenja!

Toda s čim morate pomnožiti, da dobite?

Torej pomnožite s. In pomnožite z:

Izraze, ki jih ni mogoče faktorizirati, bomo imenovali "elementarni faktorji". Na primer, - to je osnovni dejavnik. - Enako. Ampak ne: lahko se faktorizira.

Kaj pa izraz? Ali je osnovno?

Ne, ker se lahko faktorizira:

(o faktorizaciji ste že prebrali v temi “”).

Torej so osnovni faktorji, na katere razčleniš izraz s črkami, analog preprostih faktorjev, na katere razčleniš števila. In z njimi bomo ravnali na enak način.

Vidimo, da imata oba imenovalca množitelja. Šlo bo na skupni imenovalec do stopnje (se spomnite, zakaj?).

Faktor je elementaren in nimata skupnega faktorja, kar pomeni, da bo treba prvi ulomek preprosto pomnožiti z njim:

Še en primer:

rešitev:

Preden panično pomnožite te imenovalce, morate razmisliti, kako jih faktorizirati? Oba predstavljata:

Super! Nato:

Še en primer:

rešitev:

Kot običajno razložimo imenovalce na faktorje. V prvi imenovalec preprosto damo iz oklepaja; v drugem - razlika kvadratov:

Zdi se, da skupnih dejavnikov ni. A če dobro pogledaš, sta si podobna ... In res je:

Torej zapišimo:

Se pravi, izkazalo se je tako: znotraj oklepaja smo zamenjali izraze, hkrati pa se je znak pred ulomkom spremenil v nasprotno. Upoštevajte, to boste morali početi pogosto.

Zdaj pa ga spravimo na skupni imenovalec:

Razumem? Preverimo zdaj.

Naloge za samostojno reševanje:

odgovori:

Tu se moramo spomniti še ene stvari - razlike med kockami:

Upoštevajte, da imenovalec drugega ulomka ne vsebuje formule "kvadrat vsote"! Kvadrat vsote bi izgledal takole: .

A je tako imenovani nepopolni kvadrat vsote: drugi člen v njem je produkt prvega in zadnjega in ne njun dvojni produkt. Delni kvadrat vsote je eden od dejavnikov pri razširitvi razlike kock:

Kaj storiti, če so že trije ulomki?

Ja, isto! Najprej se prepričajmo, da je največje število faktorjev v imenovalcih enako:

Upoštevajte: če spremenite znake znotraj enega oklepaja, se znak pred ulomkom spremeni v nasprotnega. Ko zamenjamo predznake v drugem oklepaju, se predznak pred ulomkom spet spremeni v nasprotnega. Zaradi tega se (znak pred ulomkom) ni spremenil.

Celoten prvi imenovalec izpišemo na skupni imenovalec, nato pa mu prištejemo vse še nezapisane faktorje iz drugega, nato iz tretjega (in tako naprej, če je ulomkov več). Se pravi, izkaže se takole:

Hmm ... Jasno je, kaj storiti z ulomki. Kaj pa oba?

Preprosto je: veste, kako seštevati ulomke, kajne? Torej moramo narediti, da dva postane ulomek! Spomnimo se: ulomek je operacija deljenja (števec delimo z imenovalcem, če ste pozabili). In ni nič lažjega kot deliti število s. V tem primeru se sama številka ne bo spremenila, ampak se bo spremenila v ulomek:

Točno to, kar je potrebno!

5. Množenje in deljenje ulomkov.

No, najtežjega dela je zdaj konec. In pred nami je najpreprostejše, a hkrati najpomembnejše:

Postopek

Kakšen je postopek za izračun številskega izraza? Z izračunom si zapomnite pomen tega izraza:

Ste šteli?

Moralo bi delovati.

Torej, naj vas spomnim.

Prvi korak je izračun stopnje.

Drugi je množenje in deljenje. Če je več množenj in deljenj hkrati, jih lahko izvajamo v poljubnem vrstnem redu.

In na koncu izvedemo seštevanje in odštevanje. Spet v poljubnem vrstnem redu.

Toda: izraz v oklepaju je ovrednoten izven reda!

Če med seboj pomnožimo ali delimo več oklepajev, najprej izračunamo izraz v vsakem od oklepajev, nato pa jih pomnožimo ali delimo.

Kaj pa, če je znotraj oklepajev več oklepajev? No, pomislimo: v oklepaju je zapisan neki izraz. Kaj morate najprej narediti pri računanju izraza? Tako je, izračunajte oklepaje. Pa smo ugotovili: najprej izračunamo notranje oklepaje, potem pa vse ostalo.

Torej, postopek za zgornji izraz je naslednji (trenutno dejanje je označeno z rdečo, to je dejanje, ki ga trenutno izvajam):

V redu, vse je preprosto.

Ampak to ni isto kot izraz s črkami?

Ne, isto je! Samo namesto aritmetičnih operacij morate opraviti algebraične, to je dejanja, opisana v prejšnjem razdelku: prinašanje podobnih, seštevanje ulomkov, zmanjševanje ulomkov itd. Edina razlika bo dejanje faktoriziranja polinomov (to pogosto uporabljamo pri delu z ulomki). Najpogosteje morate za faktoriziranje uporabiti I ali preprosto dati skupni faktor iz oklepaja.

Običajno je naš cilj predstaviti izraz kot produkt ali količnik.

Na primer:

Poenostavimo izraz.

1) Najprej poenostavimo izraz v oklepajih. Tam imamo razliko ulomkov, naš cilj pa je, da jo predstavimo kot produkt ali količnik. Torej, ulomke spravimo na skupni imenovalec in dodamo:

Tega izraza je nemogoče še bolj poenostaviti, vsi dejavniki so elementarni (se še spomnite, kaj to pomeni?).

2) Dobimo:

Množenje ulomkov: kaj je lahko preprostejšega.

3) Zdaj lahko skrajšate:

OK, zdaj je vsega konec. Nič zapletenega, kajne?

Še en primer:

Poenostavite izraz.

Najprej poskusite rešiti sami in šele nato poglejte rešitev.

Najprej določimo vrstni red dejanj. Najprej seštejmo ulomke v oklepajih, da namesto dveh ulomkov dobimo enega. Nato bomo delili ulomke. No, seštejmo rezultat z zadnjim ulomkom. Korake bom shematično oštevilčil:

Zdaj vam bom pokazal postopek in trenutno dejanje obarval rdeče:

Na koncu vam bom dal dva koristna nasveta:

1. Če obstajajo podobni, jih je treba takoj prinesti. Kjerkoli že se pri nas pojavijo podobni, jih je priporočljivo nemudoma izpostaviti.

2. Enako velja za zmanjševanje ulomkov: takoj ko se pojavi priložnost za zmanjševanje, jo je treba izkoristiti. Izjema so ulomki, ki jih seštevate ali odštevate: če imajo zdaj enake imenovalce, potem zmanjševanje pustite za pozneje.

Tukaj je nekaj nalog, ki jih lahko rešite sami:

In kar je bilo obljubljeno na samem začetku:

Rešitve (na kratko):

Če ste se spopadli z vsaj prvimi tremi primeri, potem ste temo obvladali.

Zdaj pa na učenje!

PRETVORBA IZRAZOV. POVZETEK IN OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije poenostavljanja:

• Prinašanje podobnih: če želite dodati (zmanjšati) podobne izraze, morate sešteti njihove koeficiente in dodeliti črkovni del.
• Faktorizacija: dajanje skupnega faktorja iz oklepaja, njegova uporaba itd.
• Zmanjšanje ulomka: Števec in imenovalec ulomka lahko pomnožimo ali delimo z istim številom, ki ni nič, kar ne spremeni vrednosti ulomka.
  1) števec in imenovalec faktorizirati
  2) če imata števec in imenovalec skupne faktorje, ju lahko prečrtamo.

  POMEMBNO: zmanjšati je mogoče le množitelje!

• Seštevanje in odštevanje ulomkov:
  ;
• Množenje in deljenje ulomkov:
  ;

Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Človek je enačbe uporabljal že v pradavnini, od takrat pa se je njihova uporaba le še povečala. Polinom je algebraična vsota zmnožki števil, spremenljivk in njihovih potenc. Pretvarjanje polinomov običajno vključuje dve vrsti težav. Izraz je treba poenostaviti ali faktorizirati, tj. predstavimo kot produkt dveh ali več polinomov ali monoma in polinoma.

Za poenostavitev polinoma navedite podobne izraze. Primer. Poenostavite izraz \ Poiščite monome z enakim črkovnim delom. Zložite jih. Zapišite dobljeni izraz: \ Polinom ste poenostavili.

Za naloge, ki zahtevajo faktorizacijo polinoma, določite skupni faktor danega izraza. Če želite to narediti, najprej odstranite iz oklepajev tiste spremenljivke, ki so vključene v vse člane izraza. Poleg tega bi morale imeti te spremenljivke najnižji kazalnik. Nato izračunajte največji skupni delitelj vsakega od koeficientov polinoma. Modul dobljenega števila bo koeficient skupnega množitelja.

Primer. Faktoriziraj polinom \ Vzemi ga iz oklepaja \ ker spremenljivka m je vključena v vsak člen tega izraza in njen najmanjši eksponent je dva. Izračunajte skupni množitelj. Enako je pet. Tako je skupni faktor tega izraza \ Zato: \

Kje lahko na spletu rešim polinomsko enačbo?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil reševanje spletnih enačb katere koli zahtevnosti v nekaj sekundah. Vse kar morate storiti je, da preprosto vnesete svoje podatke v reševalec. Ogledate si lahko tudi video navodila in se naučite reševati enačbo na naši spletni strani. In če imate še vedno vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.