En sondaki sayının adı nedir? Dünyanın en büyük rakamları

Bir milyonda kaç tane sıfır olduğunu hiç düşündünüz mü? Bu oldukça basit bir soru. Peki ya bir milyar ya da bir trilyon? Birin ardından dokuz sıfır (1000000000) - sayının adı nedir?

Sayıların kısa bir listesi ve niceliksel tanımları

• On (1 sıfır).
• Yüz (2 sıfır).
• Bin (3 sıfır).
• On bin (4 sıfır).
• Yüz bin (5 sıfır).
• Milyon (6 sıfır).
• Milyar (9 sıfır).
• Trilyon (12 sıfır).
• Katrilyon (15 sıfır).
• Quintilion (18 sıfır).
• Sekstilyon (21 sıfır).
• Septilyon (24 sıfır).
• Sekizli (27 sıfır).
• Nonalion (30 sıfır).
• Çıkartma (33 sıfır).

Sıfırların gruplandırılması

1000000000 - İçinde 9 sıfır bulunan bir sayının adı nedir? Bu bir milyar. Kolaylık sağlamak için, büyük sayılar genellikle birbirlerinden bir boşluk veya virgül veya nokta gibi noktalama işaretleriyle ayrılan üçlü kümeler halinde gruplandırılır.

Bu, niceliksel değerin okunmasını ve anlaşılmasını kolaylaştırmak için yapılır. Örneğin 1000000000 sayısının adı nedir? Bu formda, biraz zorlamaya ve matematik yapmaya değer. Ve 1.000.000.000 yazarsanız, sıfırları değil üçlü sıfırları saymanız gerektiğinden görev görsel olarak hemen kolaylaşır.

Çok sayıda sıfır içeren sayılar

En popülerleri milyon ve milyardır (1000000000). İçinde 100 sıfır bulunan bir sayının adı nedir? Bu Milton Sirotta tarafından adlandırılan bir Googol numarasıdır. Bu çok büyük bir miktar. Sizce bu sayı büyük mü? Peki ya bir googolplex'e, ardından bir sıfırdan oluşan bir googol'e ne dersiniz? Bu rakam o kadar büyük ki, buna bir anlam vermek zor. Aslında sonsuz Evrendeki atom sayısını saymak dışında böyle devlere gerek yok.

1 milyar çok mu?

Kısa ve uzun olmak üzere iki ölçüm ölçeği vardır. Dünya çapında bilim ve finansta 1 milyar 1.000 milyon eder. Bu kısa ölçekte. Buna göre bu 9 sıfırlı bir sayıdır.

Fransa da dahil olmak üzere bazı Avrupa ülkelerinde kullanılan ve daha önce (1971'e kadar) Birleşik Krallık'ta kullanılan, bir milyarın 1 milyon milyon olduğu, yani birin ardından 12 sıfır gelen uzun bir ölçek de vardır. Bu derecelendirmeye aynı zamanda uzun vadeli ölçek de denir. Finansal ve bilimsel konularda artık kısa ölçek hakimdir.

İsveççe, Danca, Portekizce, İspanyolca, İtalyanca, Felemenkçe, Norveççe, Lehçe, Almanca gibi bazı Avrupa dilleri bu sistemde milyar (veya milyar) kullanır. Rusça'da da 9 sıfırlı bir sayı, bin milyonun kısa ölçeği için anlatılır ve trilyon, bir milyon milyondur. Bu gereksiz karışıklığı önler.

Konuşma seçenekleri

Rusça günlük konuşma 1917 olaylarından sonra - Büyük Ekim devrimi- ve 1920'lerin başındaki hiperenflasyon dönemi. 1 milyar rubleye "limard" adı verildi. Ve 1990'lı yıllarda, bir milyar için yeni bir argo ifade olan "karpuz" ortaya çıktı; bir milyona "limon" adı verildi.

"Milyar" kelimesi artık uluslararası alanda kullanılıyor. Bu, ondalık sistemde 10 9 (birin ardından 9 sıfır) olarak gösterilen doğal bir sayıdır. Rusya ve BDT ülkelerinde kullanılmayan başka bir isim daha var - milyar.

Milyar = milyar?

Milyar gibi bir kelime, yalnızca "kısa ölçeğin" temel olarak benimsendiği eyaletlerde bir milyarı belirtmek için kullanılır. Bunlar Rusya Federasyonu, Büyük Britanya ve Kuzey İrlanda Birleşik Krallığı, ABD, Kanada, Yunanistan ve Türkiye gibi ülkelerdir. Diğer ülkelerde milyar kavramı 10 12 sayısı, yani birin ardından 12 sıfır gelmesi anlamına gelir. Rusya dahil “kısa ölçekli” ülkelerde bu rakam 1 trilyona tekabül ediyor.

Fransa'da cebir gibi bir bilimin oluşumunun gerçekleştiği bir dönemde böyle bir kafa karışıklığı ortaya çıktı. Başlangıçta bir milyarda 12 sıfır vardı. Ancak, 1558'de aritmetik üzerine ana kılavuzun (yazar Tranchan) ortaya çıkmasından sonra her şey değişti; burada bir milyar zaten 9 sıfırlı bir sayıdır (bin milyon).

Sonraki birkaç yüzyıl boyunca bu iki kavram birbiriyle eşit olarak kullanıldı. 20. yüzyılın ortalarında, yani 1948'de Fransa, uzun ölçekli sayısal adlandırma sistemine geçti. Bu bakımdan bir zamanlar Fransızlardan alınan kısa skala, bugün kullandıklarından hâlâ farklıdır.

Tarihsel olarak Birleşik Krallık uzun vadeli milyarı kullanıyordu, ancak 1974'ten beri resmi Birleşik Krallık istatistikleri kısa vadeli ölçeği kullanıyor. Kısa vadeli ölçek, 1950'lerden bu yana teknik yazarlık ve gazetecilik alanlarında giderek daha fazla kullanılmaya başlandı, ancak uzun vadeli ölçek hala varlığını sürdürüyor.

O kadar inanılmaz, inanılmaz derecede büyük sayılar var ki, bunları yazmak için bile tüm evreni gerekir. Ama asıl çılgınca olan şey şu: Bu akıl almaz derecede büyük sayıların bazıları dünyayı anlamak için çok önemli.

"Evrendeki en büyük sayı" derken aslında en büyüğünü kastediyorum önemli sayı, bir şekilde yararlı olabilecek mümkün olan maksimum sayı. Bu unvan için pek çok aday var ama sizi hemen uyarayım: Her şeyi anlamaya çalışmanın aklınızı başınızdan alma riski gerçekten var. Üstelik çok fazla matematikle pek eğlenemezsiniz.

Googol ve googolplex

Edward Kasner

Muhtemelen şimdiye kadar duyduğunuz en büyük iki sayıyla başlayabiliriz ve bunlar aslında tanımları genel olarak kabul edilen en büyük iki sayıdır. ingilizce dili. (İstediğiniz kadar büyük sayıları belirtmek için kullanılan oldukça kesin bir terminoloji vardır, ancak bu iki sayıyı günümüzde sözlüklerde bulamazsınız.) Googol, dünyaca ünlü olduğundan beri (hatalarla da olsa, dikkat edin, aslında googol'dür) ) çocukların büyük sayılarla ilgilenmesini sağlamanın bir yolu olarak 1920'de doğan Google biçiminde.

Bu amaçla Edward Kasner (resimde) iki yeğeni Milton ve Edwin Sirott'u New Jersey Palisades'te yürüyüşe çıkardı. Onları herhangi bir fikir üretmeye davet etti ve ardından dokuz yaşındaki Milton "googol"u önerdi. Bu sözü nereden duyduğu bilinmiyor ama Kasner şöyle karar verdi: veya birimin ardından yüz sıfırın geldiği bir sayıya bundan böyle googol adı verilecek.

Ancak genç Milton burada durmadı; daha da büyük bir sayı olan googolplex'i önerdi. Milton'a göre bu, ilk basamağı 1 olan ve yorulmadan önce yazabildiğiniz kadar sıfırın olduğu bir sayıdır. Fikir büyüleyici olsa da Kasner daha resmi bir tanıma ihtiyaç olduğuna karar verdi. 1940 tarihli Matematik ve Hayal Gücü adlı kitabında açıkladığı gibi, Milton'un tanımı, tesadüfi bir soytarının, sırf daha fazla dayanıklılığa sahip olduğu için Albert Einstein'dan daha üstün bir matematikçi olabileceği yönündeki riskli olasılığı açık bırakıyor.

Böylece Kasner, googolplex'in , veya 1 ve ardından sıfırlardan oluşan bir googol olacağına karar verdi. Aksi takdirde, diğer sayılar için ele alacağımız gösterime benzer bir gösterimle googolplex'in olduğunu söyleyeceğiz. Bunun ne kadar büyüleyici olduğunu göstermek için, Carl Sagan bir keresinde googolplex'in tüm sıfırlarını yazmanın fiziksel olarak imkansız olduğunu, çünkü evrende yeterli yer olmadığını belirtmişti. Gözlemlenebilir Evrenin tüm hacmini doldurursak küçük parçacıklar yaklaşık 1,5 mikron boyutunda toz, ardından sayı çeşitli şekillerde bu parçacıkların konumu yaklaşık olarak bir googolplex'e eşit olacaktır.

Dilsel açıdan konuşursak, googol ve googolplex muhtemelen en büyük iki anlamlı sayıdır (en azından İngilizce dilinde), ancak şimdi belirleyeceğimiz gibi, "anlam"ı tanımlamanın sonsuz sayıda yolu vardır.

Gerçek dünya

En büyük anlamlı sayıdan bahsedersek, bunun aslında dünyada var olan değere sahip en büyük sayıyı bulmamız gerektiği anlamına geldiğine dair makul bir argüman var. Şu anda 6920 milyon civarında olan mevcut insan nüfusuyla başlayabiliriz. 2010 yılında dünya GSYİH'sının 61.960 milyar dolar civarında olduğu tahmin ediliyordu, ancak bu sayıların her ikisi de insan vücudunu oluşturan yaklaşık 100 trilyon hücreyle karşılaştırıldığında önemsiz kalıyor. Elbette bu sayıların hiçbiri, genel olarak yaklaşık olarak kabul edilen Evrendeki toplam parçacık sayısıyla kıyaslanamaz ve bu sayı o kadar büyüktür ki dilimizde buna karşılık gelen bir kelime yoktur.

Ölçü sistemleriyle biraz oynayarak sayıları giderek büyütebiliriz. Böylece Güneş'in ton cinsinden kütlesi pound cinsinden daha az olacaktır. Bunu yapmanın harika bir yolu, fizik yasalarının hâlâ geçerli olduğu mümkün olan en küçük ölçüler olan Planck birim sistemini kullanmaktır. Örneğin Evrenin Planck zamanına göre yaşı yaklaşık 0.000'dir. Büyük Patlama'dan sonraki ilk Planck zaman birimine dönersek Evren'in yoğunluğunun o zaman olduğunu görürüz. Gittikçe daha da artıyor ama henüz Googol'e bile ulaşamadık.

Herhangi bir gerçek dünya uygulamasındaki en büyük sayı - veya bu durumda gerçek uygulama Dünyalarda - muhtemelen - çoklu evrendeki evrenlerin sayısına ilişkin en son tahminlerden biri. Bu sayı o kadar büyüktür ki, insan beyni kelimenin tam anlamıyla tüm bu farklı evrenleri algılayamayacaktır, çünkü beyin yalnızca yaklaşık konfigürasyonları yapabilmektedir. Aslında bu sayı muhtemelen en fazla Büyük sayıÇoklu evren fikrini bir bütün olarak hesaba katmadığınız sürece pratik bir anlam ifade etmiyor. Ancak hâlâ orada gizlenen çok daha büyük sayılar var. Ancak bunları bulmak için saf matematiğin alanına girmeliyiz ve başlamak için asal sayılardan daha iyi bir yer yoktur.

Mersenne asal sayıları

Zorluğun bir kısmı “önemli” bir sayının ne olduğuna dair iyi bir tanım bulmaktır. Bunun bir yolu asal ve bileşik sayılar açısından düşünmektir. Asal sayı, muhtemelen okul matematiğinden hatırladığınız gibi, yalnızca kendisine bölünebilen herhangi bir doğal sayıdır (bire eşit olmayan not). Yani ve asal sayılardır ve ve bileşik sayılardır. Bu, herhangi bir bileşik sayının sonuçta asal çarpanlarıyla temsil edilebileceği anlamına gelir. Bazı yönlerden sayı, örneğin 'den daha önemlidir çünkü onu daha küçük sayıların çarpımı cinsinden ifade etmenin bir yolu yoktur.

Açıkçası biraz daha ileri gidebiliriz. örneğin aslında adildir, bu da sayılara ilişkin bilgimizin sınırlı olduğu varsayımsal bir dünyada bir matematikçinin hâlâ sayıyı ifade edebileceği anlamına gelir. Ancak bir sonraki sayı asaldır, bu da şu anlama gelir: tek yol onu ifade etmek onun varlığını doğrudan bilmektir. Bu, bilinen en büyük asal sayıların önemli bir rol oynadığı anlamına gelir, ancak diyelim ki, sonuçta yalnızca sayıların bir koleksiyonu olan ve birlikte çarpılan bir googol aslında bu rol oynamaz. Asal sayılar temelde rastgele olduğundan, inanılmaz derecede büyük bir sayının gerçekten asal olacağını tahmin etmenin bilinen bir yolu yoktur. Bu güne kadar yeni açılışlar asal sayılar- bu zor bir konu.

Matematikçiler Antik Yunan asal sayılar kavramı en azından M.Ö. 500 kadar erken bir tarihte vardı ve 2000 yıl sonra insanlar hangi sayıların asal olduğunu yalnızca 750'ye kadar biliyordu. Öklid'in zamanındaki düşünürler basitleştirmenin mümkün olduğunu gördüler, ancak Rönesans matematikçileri bu sayıları gerçek anlamda hesaplayamadılar. uygulamaya koyduk. Bu sayılara Mersenne sayıları denir ve adını 17. yüzyıl Fransız bilim adamı Marin Mersenne'den alır. Fikir oldukça basit: Mersenne sayısı herhangi bir sayıdır. Yani örneğin, ve bu sayı asaldır, aynı şey için de geçerlidir.

Mersenne asal sayılarını belirlemek diğer asal sayı türlerinden çok daha hızlı ve kolaydır ve bilgisayarlar son altmış yıldır bunları aramak için yoğun bir şekilde çalışmaktadır. 1952 yılına kadar bilinen en büyük asal sayı rakamlı bir sayıydı. Aynı yıl bilgisayar, sayının asal olduğunu ve bu sayının rakamlardan oluştuğunu hesapladı, bu da onu bir googolden çok daha büyük kılıyor.

O zamandan beri bilgisayarlar arayış içinde ve şu anda Mersenne sayısı insanlığın bildiği en büyük asal sayıdır. 2008 yılında keşfedilen bu sayı, neredeyse milyonlarca basamaktan oluşan bir sayıya tekabül ediyor. Bu, daha küçük sayılarla ifade edilemeyen, bilinen en büyük sayıdır ve daha da büyük bir Mersenne sayısını bulma konusunda yardım istiyorsanız, siz (ve bilgisayarınız) her zaman http://www.mersenne.org adresinden aramaya katılabilirsiniz. /.

Eğrilik numarası

Stanley Çarpık

Asal sayılara tekrar bakalım. Söylediğim gibi temelde yanlış davranıyorlar, yani bir sonraki asal sayının ne olacağını tahmin etmenin hiçbir yolu yok. Matematikçiler gelecekteki asal sayıları belirsiz bir şekilde tahmin etmenin bir yolunu bulmak için oldukça fantastik bazı ölçümlere başvurmak zorunda kaldılar. Bu girişimlerden en başarılısı muhtemelen 18. yüzyılın sonlarında efsanevi matematikçi Carl Friedrich Gauss tarafından icat edilen asal sayıları sayma işlevidir.

Sizi daha karmaşık matematikten kurtaracağım - zaten daha yapacak çok şeyimiz var - ama fonksiyonun özü şudur: herhangi bir tamsayı için, 'den küçük kaç asal sayı olduğunu tahmin edebilirsiniz. Örneğin, if işlevi, asal sayıların olması gerektiğini, eğer asal sayıların olması gerektiğini ve if'ten küçük asal sayıların olması gerektiğini öngörür.

Asal sayıların dizilişi aslında düzensizdir ve asal sayıların gerçek sayısının yalnızca bir tahminidir. Aslında 'den küçük asal sayılar, 'den küçük asal sayılar ve 'den küçük asal sayılar olduğunu biliyoruz. Bu elbette mükemmel bir tahmin, ancak her zaman yalnızca bir tahmindir... ve daha spesifik olarak yukarıdan yapılan bir tahmindir.

'a kadar bilinen tüm durumlarda, asal sayıları bulan fonksiyon, 'den küçük asal sayıların gerçek sayısını biraz fazla tahmin eder. Matematikçiler bir zamanlar durumun sonsuza dek böyle olacağını ve bunun hayal edilemeyecek kadar büyük sayılara kesinlikle uygulanacağını düşünüyorlardı; ancak 1914'te John Edensor Littlewood, bilinmeyen, hayal edilemeyecek kadar büyük bir sayı için bu fonksiyonun daha az asal sayı üretmeye başlayacağını kanıtladı. ve daha sonra üst tahmin ile alt tahmin arasında sonsuz sayıda geçiş yapacaktır.

Av, yarışların başlangıç ​​noktası içindi ve ardından Stanley Skewes ortaya çıktı (fotoğrafa bakın). 1933'te asal sayıların sayısına yaklaşan bir fonksiyonun ilk kez daha küçük bir değer üretmesi durumunda üst sınırın sayı olduğunu kanıtladı. Bu sayının gerçekte neyi temsil ettiğini en soyut anlamda bile anlamak zordur ve bu açıdan bakıldığında ciddi bir matematiksel kanıtta şimdiye kadar kullanılan en büyük sayıydı. O zamandan beri matematikçiler üst sınırı nispeten küçük bir sayıya indirmeyi başardılar, ancak orijinal sayı hala Skewes sayısı olarak biliniyor.

Peki, kudretli googolplex'i bile gölgede bırakan sayı ne kadar büyük? Penguen Meraklı ve İlginç Sayılar Sözlüğü'nde David Wells, matematikçi Hardy'nin Skuse sayısının büyüklüğünü kavramsallaştırmanın bir yolunu anlatıyor:

Hardy bunun "şimdiye kadar herhangi bir hizmet verenin sunduğu en büyük sayı" olduğunu düşünüyordu. özel amaç Matematikte'' diyerek, evrenin tüm parçacıklarının parça halinde olduğu bir satranç oyunu oynanırsa, bir hamlenin iki parçacığın yer değiştirmesinden oluşacağını ve aynı pozisyon üçüncü kez tekrarlandığında oyunun duracağını, ardından da evrenin tüm parçacıklarının parça halinde oynandığını öne sürdü. olası tüm tarafların sayısı yaklaşık olarak Skuse sayısına eşit olacaktır''.

Devam etmeden önce son bir şey daha: İki Skewes sayısından küçük olanından bahsetmiştik. Matematikçinin 1955'te keşfettiği başka bir Skuse numarası daha var. İlk sayı, sözde Riemann hipotezinin doğru olduğu gerçeğinden türetilmiştir - bu, matematikte kanıtlanmamış, özellikle zor bir hipotezdir; Hakkında konuşuyoruz asal sayılar hakkında. Ancak Riemann hipotezi yanlışsa Skuse, sıçramaların başlangıç ​​noktasının 'ye yükseldiğini buldu.

Büyüklük sorunu

Skewes sayısını bile küçük gösteren sayıya gelmeden önce ölçekten biraz bahsetmemiz gerekiyor çünkü aksi takdirde nereye gideceğimizi değerlendirmenin bir yolu yok. Öncelikle bir sayı alalım; bu çok küçük bir sayı, o kadar küçük ki insanlar aslında bunun ne anlama geldiğini sezgisel olarak anlayabilirler. Bu tanıma uyan çok az sayıda sayı vardır, çünkü altıdan büyük sayılar ayrı sayılar olmaktan çıkıp "birkaç", "çok" vb. haline gelir.

Şimdi alalım, yani. . Aslında sayı için yaptığımız gibi sezgisel olarak ne olduğunu anlayamasak da, ne olduğunu hayal etmek çok kolaydır. Şimdiye kadar, çok iyi. Peki ya taşınırsak ne olur? Bu, veya'ya eşittir. Bu miktarı, diğer çok büyük miktarlar gibi, hayal etmekten çok uzağız - bir milyon civarında bireysel parçaları kavrama yeteneğimizi kaybediyoruz. (Gerçekten bu çılgınlık çok sayıda Herhangi bir şeyi bir milyona kadar saymak biraz zaman alır ama gerçek şu ki biz hâlâ bu sayıyı algılayabiliyoruz.)

Ancak hayal edemesek de en azından anlayabiliyoruz. Genel taslak, 7600 milyar, belki de ABD GSYİH'sı gibi bir şeyle karşılaştırırsak. Sezgiden temsile, oradan da basit anlayışa geçtik ama en azından sayının ne olduğuna dair anlayışımızda hala bazı boşluklar var. Merdivenin bir basamağını daha yukarı çıkardığımızda bu durum değişmek üzere.

Bunu yapmak için Donald Knuth tarafından ortaya atılan ve ok notasyonu olarak bilinen notasyona geçmemiz gerekiyor. Bu gösterim şu şekilde yazılabilir: Daha sonra adresine gittiğimizde, elde edeceğimiz sayı olacaktır. Bu, üçlerin toplamının olduğu yere eşittir. Şu anda, daha önce bahsettiğimiz diğer tüm rakamları gerçekten çok geride bıraktık. Sonuçta en büyüğünün bile gösterge serisinde yalnızca üç veya dört terimi vardı. Örneğin, süper Skuse sayısı bile "yalnızca"dır - hem tabanın hem de üslerin 'den çok daha büyük olduğu gerçeğini hesaba katsak bile, bir milyar üyesi olan bir sayı kulesinin boyutuyla karşılaştırıldığında kesinlikle hiçbir şey değildir. .

Açıkçası bu kadar büyük sayıları anlamanın bir yolu yok... ama yine de bunların yaratılma süreci hala anlaşılabiliyor. Milyarlarca üçüzlü bir güç kulesinin verdiği gerçek miktarı anlayamadık, ancak temel olarak böyle bir kuleyi birçok terimle hayal edebiliriz ve gerçekten iyi bir süper bilgisayar, bu tür kuleleri hafızasında tutabilir. gerçek değerlerini hesaplayamadık.

Bu giderek daha soyut hale geliyor, ancak daha da kötüleşecek. Üs uzunluğu eşit olan bir derece kulesi olduğunu düşünebilirsiniz (aslında bu yazının önceki versiyonunda tam olarak bu hatayı yapmıştım), ama bu basit. Başka bir deyişle, elementlerden oluşan üçüzlerden oluşan bir güç kulesinin tam değerini hesaplayabildiğinizi ve sonra bu değeri aldığınızı ve içinde şu kadar çok şey bulunan yeni bir kule yarattığınızı hayal edin: .

Bu işlemi sonraki her sayıyla tekrarlayın ( Not sağdan başlayarak) bunu defalarca yapana kadar ve sonunda . Bu inanılmaz derecede büyük bir sayıdır, ancak en azından her şeyi çok yavaş yaparsanız bunu elde etmek için gereken adımlar anlaşılabilir görünür. Artık sayıları anlayamayız veya bunların elde edilme prosedürünü hayal edemeyiz, ancak en azından temel algoritmayı ancak yeterince uzun bir süre sonra anlayabiliriz.

Şimdi zihnimizi gerçekten patlatmaya hazırlayalım.

Graham numarası (Graham)

Ronald Graham

Guinness Dünya Rekorları Kitabı'nda matematiksel ispatta şimdiye kadar kullanılan en büyük sayı olarak yer alan Graham sayısını bu şekilde elde edersiniz. Ne kadar büyük olduğunu hayal etmek kesinlikle imkansızdır ve tam olarak ne olduğunu açıklamak da aynı derecede zordur. Temel olarak Graham sayısı, üçten fazla boyuta sahip teorik geometrik şekiller olan hiperküplerle uğraşırken ortaya çıkar. Matematikçi Ronald Graham (fotoğrafa bakın), bir hiperküpün belirli özelliklerinin en küçük boyutlarda hangi oranda sabit kalacağını bulmak istedi. (Bu kadar muğlak bir açıklama için kusura bakmayın ama eminim hepimizin en az iki akademik dereceler Daha doğru hale getirmek için matematikte.)

Her durumda Graham sayısı bu minimum boyut sayısının üst tahminidir. Peki bu üst sınır ne kadar büyük? Sayıya dönelim, o kadar büyük ki onu elde etmek için gereken algoritmayı ancak belli belirsiz anlayabiliyoruz. Şimdi bir seviye daha yukarıya atlamak yerine, ilk üç ile son üç arasında ok bulunan sayıyı sayacağız. Artık bu sayının ne olduğunu, hatta hesaplamak için ne yapmamız gerektiğini en ufak bir şekilde anlamanın çok ötesindeyiz.

Şimdi bu işlemi bir kez tekrarlayalım ( Not sonraki her adımda ok sayısını yazıyoruz, sayıya eşitönceki adımda elde edilmiştir).

Bayanlar ve baylar, bu Graham'ın sayısıdır ve bu sayı, insanlığın anlayışının çok üzerindedir. Bu, hayal edebileceğiniz herhangi bir sayıdan çok daha büyük bir sayıdır; hayal edebileceğiniz herhangi bir sonsuzluktan çok daha büyüktür; en soyut tanımlamaya bile meydan okur.

Ama burada tuhaf bir şey var. Graham sayısı temelde üçüzlerin çarpımı olduğundan, bazı özelliklerini gerçekte hesaplamadan biliyoruz. Graham sayısını bilinen herhangi bir gösterimle temsil edemeyiz, bunu yazmak için tüm evreni kullansak bile, ancak size şu anda Graham sayısının son on iki basamağını söyleyebilirim: . Ve hepsi bu değil: en azından biliyoruz son rakamlar Graham sayıları.

Elbette bu sayının Graham'ın orijinal probleminde yalnızca bir üst sınır olduğunu hatırlamakta fayda var. İstenilen özelliği elde etmek için gereken gerçek ölçüm sayısının çok çok daha az olması oldukça mümkündür. Aslında, 1980'lerden beri bu alandaki uzmanların çoğuna göre aslında yalnızca altı boyutun var olduğuna inanılıyor; bu sayı o kadar küçük ki sezgisel olarak anlayabiliyoruz. O zamandan beri alt sınır yükseltildi, ancak Graham sorununun çözümünün Graham sayısı kadar büyük bir sayıya yakın olmaması ihtimali hâlâ çok yüksek.

Sonsuzluğa doğru

Peki Graham sayısından daha büyük sayılar var mı? Elbette yeni başlayanlar için Graham sayısı var. İlişkin anlamlı sayı...tamam, matematiğin (özellikle kombinatorik olarak bilinen alan) ve bilgisayar biliminin, Graham sayısından bile daha büyük sayıların oluştuğu son derece karmaşık bazı alanları vardır. Ancak rasyonel olarak açıklanabileceğini umduğum şeyin sınırına neredeyse ulaştık. Daha da ileri gidecek kadar gözüpek olanlar için, riski size ait olmak üzere daha fazla okuma önerilir.

Şimdi Douglas Ray'e atfedilen harika bir alıntı ( Not Dürüst olmak gerekirse kulağa oldukça komik geliyor:

“Akıl mumunun verdiği küçük ışık noktasının arkasında, karanlıkta gizlenmiş belirsiz sayı kümeleri görüyorum. Birbirlerine fısıldıyorlar; kimin ne bildiği hakkında komplo kurmak. Belki de küçük kardeşlerini zihinlerimizde canlandırdığımız için bizi pek sevmiyorlar. Ya da belki de bizim anlayışımızın ötesinde, tek haneli bir yaşam sürüyorlar.

Sayı serilerinin üst sınırı bulunmadığından bu soruya doğru cevap vermek mümkün değildir. Yani daha büyük bir sayı elde etmek için herhangi bir sayıya bir tane eklemeniz yeterlidir. Sayıların kendisi sonsuz olmasına rağmen, çoğu daha küçük sayılardan oluşan isimlerle yetindiğinden çok fazla özel adı yoktur. Yani, örneğin sayıların kendi adları "bir" ve "yüz" vardır ve sayının adı zaten bileşiktir ("yüz bir"). İnsanlığın ödüllendirdiği sonlu sayılar kümesinde olduğu açıktır. kendi adı, en büyük bir sayı olmalı. Peki buna ne denir ve neye eşittir? Bunu anlamaya çalışalım ve aynı zamanda matematikçilerin ne kadar büyük sayılar bulduklarını da öğrenelim.

"Kısa" ve "uzun" ölçek

Chuquet sisteminde, bir milyon ile bir milyar arasındaki bir sayının kendi adı yoktu ve basitçe "bin milyonlar" olarak adlandırılıyordu; benzer şekilde "bin milyar", "bin trilyon" vb. olarak adlandırılıyordu. Bu pek uygun değildi ve 1549'da Fransız yazar ve bilim adamı Jacques Peletier du Mans (1517–1582), bu tür "ara" sayıları aynı Latince öneklerle ancak "-milyar" sonuyla adlandırmayı önerdi. Böylece "milyar", - "bilardo", - "trilyon" vb. olarak anılmaya başlandı.

Chuquet-Peletier sistemi yavaş yavaş popüler hale geldi ve tüm Avrupa'da kullanıldı. Ancak 17. yüzyılda beklenmedik bir sorun ortaya çıktı. Bazı nedenlerden dolayı bazı bilim adamlarının kafalarının karışmaya başladığı ve bu sayıya "milyar" veya "bin milyon" değil, "milyar" demeye başladıkları ortaya çıktı. Kısa süre sonra bu hata hızla yayıldı ve paradoksal bir durum ortaya çıktı - "milyar" aynı anda "milyar" () ve "milyon milyonlarca" () ile eşanlamlı hale geldi.

Bu kafa karışıklığı uzun süre devam etti ve ABD'nin büyük sayıları adlandırmak için kendi sistemini yaratmasına yol açtı. Amerikan sistemine göre, sayıların adları Schuquet sistemindekiyle aynı şekilde oluşturulmuştur - Latince önek ve "milyon" sonu. Ancak bu sayıların büyüklükleri farklıdır. Schuquet sisteminde "ilyon" ile biten isimler bir milyonun katları olan sayıları alıyorsa, Amerikan sisteminde "-ilyon" ile biten isimler binin katlarını alıyordu. Yani, bin milyon () "milyar", () - "trilyon", () - "katrilyon" vb. olarak adlandırılmaya başlandı.

Eski büyük sayıları adlandırma sistemi muhafazakar Büyük Britanya'da kullanılmaya devam etti ve Fransız Chuquet ve Peletier tarafından icat edilmesine rağmen dünya çapında "İngiliz" olarak anılmaya başlandı. Bununla birlikte, 1970'lerde Birleşik Krallık resmi olarak “Amerikan sistemine” geçti, bu da bir sistemi Amerikan ve diğerini İngiliz olarak adlandırmanın bir şekilde tuhaf hale gelmesine yol açtı. Sonuç olarak, Amerikan sistemi artık genel olarak "kısa ölçek", İngiliz veya Chuquet-Peletier sistemi ise "uzun ölçek" olarak anılıyor.

Karışıklığı önlemek için özetleyelim:

Ülkemizde kısa ölçeğe son geçişin ancak 20. yüzyılın ikinci yarısında meydana gelmesi ilginçtir. Örneğin Yakov Isidorovich Perelman (1882–1942) “Eğlenceli Aritmetik” adlı eserinde SSCB'de iki ölçeğin paralel varlığından bahseder. Perelman'a göre kısa ölçek günlük yaşamda ve finansal hesaplamalarda, uzun ölçek ise astronomi ve fizikle ilgili bilimsel kitaplarda kullanılıyordu. Ancak artık Rusya'da rakamlar çok olmasına rağmen uzun skalanın kullanılması yanlış.

Ama en büyük sayıyı aramaya geri dönelim. Desilyondan sonra öneklerin birleştirilmesiyle sayı adları elde edilir. Bu, undesilyon, duodesilyon, tredesilyon, quattordesilyon, quindesilyon, seksdesilyon, septemdesilyon, oktodesilyon, novemdesilyon vb. gibi sayılar üretir. Ancak kendi bileşik olmayan ismine sahip en büyük sayıyı bulma konusunda anlaştığımız için bu isimler artık bizim için ilgi çekici değil.

Latince dilbilgisine dönersek, Romalıların ondan büyük sayılar için yalnızca üç bileşik olmayan adı olduğunu görürüz: viginti - "yirmi", centum - "yüz" ve mille - "bin". Romalıların binden büyük sayılar için kendi isimleri yoktu. Örneğin bir milyon () Romalılar buna "decies centena milia", yani "on kere yüz bin" adını verdiler. Chuquet kuralına göre geriye kalan bu üç Latin rakamı bize sayılara "vigintilyon", "centilyon" ve "milyon" gibi isimler veriyor.

Böylece, "kısa ölçekte" kendi adı olan ve daha küçük sayıların birleşimi olmayan maksimum sayının "milyon" () olduğunu öğrendik. Rusya sayıları adlandırmak için "uzun bir ölçek" benimsemiş olsaydı, kendi adıyla en büyük sayı "milyar" () olurdu.

Ancak daha büyük sayılar için de isimler vardır.

Sistem dışındaki numaralar

17. yüzyıla kadar Rusya, sayıları adlandırmak için kendi sistemini kullanıyordu. On binlercesine "karanlık", yüz binlercesine "lejyon", milyonlarına "leoder", on milyonlarcasına "kuzgun" ve yüz milyonlarcasına "deste" adı verildi. Yüz milyonlara varan bu sayıya "küçük sayım" adı verildi ve bazı elyazmalarında yazarlar, büyük sayılar için aynı isimlerin farklı bir anlamla kullanıldığı "büyük sayım"ı da değerlendirdiler. Yani “karanlık” artık on bin değil, bin bin anlamına geliyordu. () , “lejyon” - bunların karanlığı () ; "leodr" - lejyonların lejyonu () , "kuzgun" - leodr leodrov (). Bazı nedenlerden dolayı, büyük Slav sayımında "güverte", "kuzgun kuzgunu" olarak adlandırılmıyordu. () , ancak yalnızca on "kuzgun", yani (tabloya bakın).

Numara adı	"Küçük sayım"ın anlamı	"Büyük sayım"ın anlamı	Tanım
Karanlık
Lejyon
Leodre
Kuzgun (kargalı)
Güverte
Konuların karanlığı

Googol'den daha büyük bir sayının adı, bilgisayar biliminin babası Claude Elwood Shannon (1916–2001) sayesinde 1950'de ortaya çıktı. "Bir Bilgisayarı Satranç Oynamak İçin Programlamak" adlı makalesinde bu sayıyı tahmin etmeye çalıştı. olası seçenekler Satranç oyunu. Buna göre, her oyun ortalama hamle sayısıyla sürüyor ve oyuncu her hamlede, oyun seçeneklerine karşılık gelen (yaklaşık olarak eşit) seçenekler arasından ortalama bir seçim yapıyor. Bu çalışma geniş çapta tanındı ve verilen numara Shannon sayısı olarak bilinmeye başlandı.

M.Ö. 100 yılına dayanan ünlü Budist eseri Jaina Sutra'da “asankheya” sayısı eşit olarak bulunur. Bu sayının nirvanaya ulaşmak için gereken kozmik döngü sayısına eşit olduğuna inanılıyor.

Dokuz yaşındaki Milton Sirotta, yalnızca googol sayısını bulduğu için değil, aynı zamanda başka bir sayı önerdiği için de matematik tarihine geçti; "googolplex", "gücüne eşit" googol", yani googol'ü sıfır olan bir.

Güney Afrikalı matematikçi Stanley Skewes (1899–1988) Riemann hipotezini kanıtlarken googolplex'ten daha büyük iki sayı daha önerdi. Daha sonra "Skuse sayısı" olarak anılacak olan ilk sayı, üssün kuvvetine, yani ,'ye eşittir. Ancak “ikinci Skewes sayısı” daha da büyüktür ve .

Açıkçası, kuvvetlerde ne kadar çok kuvvet varsa sayıları yazmak ve okurken anlamlarını anlamak o kadar zor olur. Üstelik, derece dereceleri sayfaya sığmadığında bu tür sayıları bulmak mümkündür (ve bu arada, bunlar zaten icat edilmiştir). Evet, sayfada var! Tüm Evren büyüklüğündeki bir kitaba bile sığmazlar! Bu durumda bu tür sayıların nasıl yazılacağı sorusu ortaya çıkıyor. Neyse ki sorun çözülebilir ve matematikçiler bu tür sayıları yazmak için çeşitli ilkeler geliştirdiler. Doğru, bu problemi merak eden her matematikçi kendi yazma yöntemini buldu ve bu da pek çok farklı problemin varlığına yol açtı. ilgili arkadaş Büyük sayıları yazmanın diğer yolları Knuth, Conway, Steinhaus vb. notasyonlarıdır. Şimdi bunlardan bazılarıyla ilgilenmemiz gerekiyor.

Diğer gösterimler

"üçgen içinde" "" anlamına gelir,
"Kare", "üçgenlerde" anlamına gelir
"daire içinde", "kareler halinde" anlamına gelir.

Bu notasyon yöntemini açıklayan Steinhaus, daire içinde eşit olan "mega" sayısını ortaya çıkarıyor ve bunun "kare" veya üçgenlerde eşit olduğunu gösteriyor. Bunu hesaplamak için, onu kuvvetine yükseltmeniz, elde edilen sayıyı kuvvetine yükseltmeniz, ardından elde edilen sayıyı elde edilen sayının kuvvetine yükseltmeniz ve bu şekilde devam ederek çarpının kuvvetine yükseltmeniz gerekir. Örneğin MS Windows'taki bir hesap makinesi iki üçgende bile taşma nedeniyle hesaplama yapamıyor. Bu devasa sayı yaklaşık olarak .

"Mega" sayısını belirleyen Steinhaus, okuyucuları bir daire içinde eşit olan başka bir sayıyı - "medzon" u bağımsız olarak tahmin etmeye davet ediyor. Kitabın başka bir baskısında Steinhaus, medzone yerine daha da büyük bir sayının (bir daire içinde eşit olan "megiston") tahmin edilmesini öneriyor. Ben de Steinhaus'un izinden giderek okuyucuların bu metinden bir süreliğine uzaklaşıp, bu sayıların devasa büyüklüklerini hissedebilmek için sıradan güçler kullanarak kendilerinin yazmaya çalışmasını tavsiye ediyorum.

Ancak büyük sayılara verilen isimler de vardır. Böylece, Kanadalı matematikçi Leo Moser (Leo Moser, 1921–1970), megistondan çok daha büyük sayılar yazmak gerekirse, zorluklar ve rahatsızlıkların ortaya çıkacağı gerçeğiyle sınırlı olan Steinhaus notasyonunu değiştirdi. iç içe birçok daire çizmek gerekiyor. Moser, karelerden sonra daire değil, beşgen, sonra altıgen vb. çizmeyi önerdi. Ayrıca sayıların karmaşık resimler çizmeden yazılabilmesi için bu çokgenler için resmi bir gösterim önerdi. Moser notasyonu şuna benzer:

"üçgen" = =;
"kare" = = "üçgenler" = ;
"beşgen şeklinde" = = "kare şeklinde" = ;
"-gon içinde" = = "-gon içinde" = .

Böylece Moser'in notasyonuna göre Steinhaus'un "mega"sı , "medzone"u , "megiston"u ise . Ek olarak, Leo Moser, kenar sayısı mega - "megagon" a eşit olan bir çokgenin çağrılmasını önerdi. Ve bir numara önerdim « megagon'da", yani. Bu sayı Moser sayısı veya kısaca "Moser" olarak bilinmeye başlandı.

Ancak “Moser” bile en büyük sayı değil. Yani matematiksel ispatta şimdiye kadar kullanılan en büyük sayı "Graham sayısı"dır. Bu sayı ilk kez Amerikalı matematikçi Ronald Graham tarafından 1977'de Ramsey teorisindeki bir tahmini kanıtlarken, yani belirli bir sayının boyutunu hesaplarken kullanıldı. -boyutlu bikromatik hiperküpler. Graham'ın numarası ancak Martin Gardner'ın 1989 tarihli From Penrose Mosaics to Reliable Ciphers adlı kitabında anlatıldıktan sonra meşhur oldu.

Graham sayısının ne kadar büyük olduğunu açıklamak için, büyük sayıları yazmanın 1976'da Donald Knuth tarafından ortaya atılan başka bir yolunu açıklamamız gerekiyor. Amerikalı profesör Donald Knuth, okların yukarıyı gösterecek şekilde yazılmasını önerdiği süper güç kavramını ortaya attı.

Sıradan aritmetik işlemler (toplama, çarpma ve üs alma) doğal olarak aşağıdaki gibi bir hiperoperatör dizisine genişletilebilir.

Doğal sayıların çarpımı, tekrarlanan toplama işlemiyle ("bir sayının kopyalarını ekleme") tanımlanabilir:

Örneğin,

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek, tekrarlanan bir çarpma işlemi ("bir sayının kopyalarının çarpılması") olarak tanımlanabilir ve Knuth'un gösteriminde bu gösterim, yukarıyı gösteren tek bir oka benzer:

Örneğin,

Bu tek yukarı ok, Algol programlama dilinde derece simgesi olarak kullanıldı.

Örneğin,

Burada ve aşağıda, ifade her zaman sağdan sola değerlendirilir ve Knuth'un ok operatörleri (üstel alma işleminin yanı sıra) tanım gereği sağ ilişkilendirilebilirliğe (sağdan sola sıralama) sahiptir. Bu tanıma göre,

Bu zaten oldukça büyük sayılara yol açıyor, ancak gösterim sistemi burada bitmiyor. Üçlü ok operatörü, çift ok operatörünün tekrarlanan üssünü yazmak için kullanılır (aynı zamanda pentasyon olarak da bilinir):

Daha sonra “dörtlü ok” operatörü:

Vesaire. Genel kuralŞebeke "-BEN ok", sağ ilişkiselliğe uygun olarak sıralı bir dizi operatörde sağa doğru devam eder « ok." Sembolik olarak bu şu şekilde yazılabilir:

Örneğin:

Gösterim formu genellikle oklarla gösterim için kullanılır.

Bazı sayılar o kadar büyük ki Knuth'un oklarıyla yazmak bile çok hantallaşıyor; bu durumda -arrow operatörünün kullanılması tercih edilir (ve ayrıca değişken sayıda ok içeren açıklamalar için) veya hiper operatörlere eşdeğerdir. Ancak bazı sayılar o kadar büyük ki, böyle bir gösterim bile yetersiz kalıyor. Örneğin Graham'ın numarası.

Knuth's Arrow notasyonu kullanılarak Graham sayısı şu şekilde yazılabilir:

Her katmandaki okların sayısı, üstten başlayarak bir sonraki katmandaki sayıya göre belirlenir; yani okun üst simgesi toplam ok sayısını gösterir. Başka bir deyişle, adımlarla hesaplanır: ilk adımda üçlüler arasındaki dört okla, ikincisinde üçlüler arasındaki oklarla, üçüncü adımda üçlüler arasındaki oklarla vb. hesaplıyoruz; sonunda üçlülerin arasındaki oklarla hesaplama yapıyoruz.

Bu, üst simge y'nin işlev yinelemelerini belirttiği şekilde yazılabilir.

"İsimleri" olan diğer sayılar karşılık gelen nesne sayısıyla eşleştirilebiliyorsa (örneğin, Evrenin görünür kısmındaki yıldızların sayısı sekstilyon olarak tahmin edilmektedir - ve atomları oluşturan atomların sayısı) Toprak onikilik sırasına sahipse), o zaman googol zaten "sanaldır", Graham sayısından bahsetmeye bile gerek yok. Yukarıdaki gösterimin anlaşılması nispeten kolay olmasına rağmen, tek başına ilk terimin ölçeği o kadar büyüktür ki anlaşılması neredeyse imkansızdır. Her ne kadar bu sadece formüldeki kulelerin sayısı olsa da, bu sayı halihazırda gözlemlenebilir evrende (yaklaşık olarak) bulunan Planck hacimlerinin sayısından (mümkün olan en küçük fiziksel hacim) çok daha fazladır. Hızla büyüyen diziye ilk üyeden sonra bir üye daha bekliyoruz.

Herhangi bir sayıdan sonra sıfır koyun veya keyfi bir kuvvete yükseltilmiş onlarla çarpın. Yeterli görünmeyecek. Çok gibi görünecek. Ancak çıplak kayıtlar hala çok etkileyici değil. Beşeri bilimlerde sıfırların birikmesi, hafif bir esneme kadar sürpriz yaratmaz. Her durumda, dünyada hayal edebileceğiniz en büyük sayıya her zaman bir tane daha ekleyebilirsiniz... Ve sayı daha da büyük çıkacaktır.

Peki Rusça'da veya başka bir dilde çok büyük sayıları ifade edecek kelimeler var mı? Bir milyondan, bir milyardan, bir trilyondan, bir milyardan fazla olanlar? Ve genel olarak bir milyar ne kadardır?

Sayıları adlandırmak için iki sistem olduğu ortaya çıktı. Ama Arap, Mısır ya da diğer eski medeniyetler değil, Amerikan ve İngiliz.

Amerikan sisteminde sayılar şu şekilde çağrılır: Latin rakamını + - illion (sonek) alın. Bu sayıları verir:

Trilyon - 1.000.000.000.000 (12 sıfır)

Katrilyon - 1.000.000.000.000.000 (15 sıfır)

Quintillion - 1 ve ardından 18 sıfır

Sekstilyon - 1 ve 21 sıfır

Septilyon - 1 ve 24 sıfır

oktilyon - 1 ve ardından 27 sıfır

Nonilyon - 1 ve 30 sıfır

Desilyon - 1 ve 33 sıfır

Formül basit: 3 x+3 (x bir Latin rakamıdır)

Teorik olarak, anilyon sayıları da olmalıdır (unus in Latince- bir) ve duolion (ikili - iki), ancak bence bu tür isimler hiç kullanılmıyor.

İngilizce numara adlandırma sistemi daha yaygın.

Burada da Latin rakamı alınmış ve ona -milyon eki eklenmiştir. Ancak bir öncekinden 1000 kat daha büyük olan bir sonraki sayının adı aynı Latin numarası ve illiard son eki kullanılarak oluşturulmuştur. Demek istediğim:

Trilyon - 1 ve 21 sıfır (Amerikan sisteminde - sekstilyon!)

Trilyon - 1 ve 24 sıfır (Amerikan sisteminde - septilyon)

Katrilyon - 1 ve 27 sıfır

Katrilyon - 1 ve ardından 30 sıfır

Quintillion - 1 ve 33 sıfır

Quinilliard - 1 ve 36 sıfır

Sekstilyon - 1 ve 39 sıfır

Sekstilyon - 1 ve 42 sıfır

Sıfır sayısını saymak için formüller şunlardır:

- Milyon - 6 x+3 ile biten sayılar için

- milyar - 6 x+6 ile biten sayılar için

Gördüğünüz gibi karışıklık mümkündür. Ama korkmayalım!

Rusya'da kabul edildi Amerikan sistemi sayıların adları. Milyar sayısının adını İngiliz sisteminden aldık - 1.000.000.000 = 10 9

"Değerli" milyar nerede? - Ama bir milyar bir milyardır! Amerikan stili. Ve biz Amerikan sistemini kullanmamıza rağmen İngiliz sisteminden “milyar”ı aldık.

Sayıların Latince adlarını ve Amerikan sistemini kullanarak sayıları adlandırıyoruz:

- vigintilyon- 1 ve 63 sıfır

- sentilyon- 1 ve 303 sıfır

- milyon- bir ve 3003 sıfır! Oh-ho-ho...

Ancak görünen o ki hepsi bu değil. Sistem dışı numaralar da vardır.

Ve muhtemelen bunlardan ilki sayısız- yüz yüzler = 10.000

Google(ünlü onun şerefine arama sistemi) - bir ve yüz sıfır

Budist incelemelerinden birinde bu sayının adı verilmiştir. Asankheya- bir ve yüz kırk sıfır!

Numara adı Googolplex(googol gibi) İngiliz matematikçi Edward Kasner ve dokuz yaşındaki yeğeni - birim c - sevgili anne tarafından icat edildi! - googol sıfırları!!!

Ama hepsi bu değil...

Matematikçi Skuse, Skuse sayısına kendi adını verdi. Anlamı e bir dereceye kadar e bir dereceye kadar eüssü 79, yani e e e 79

Ve sonra büyük bir zorluk ortaya çıktı. Sayılara isimler verebilirsiniz. Ama bunları nasıl yazmalı? Derece derece sayısı zaten sayfadan kaldırılamayacak şekildedir! :)

Ve sonra bazı matematikçiler sayıları yazmaya başladı geometrik şekiller Ah. Ve bu kayıt yöntemini ilk bulan kişinin seçkin yazar ve düşünür Daniil Ivanovich Kharms olduğunu söylüyorlar.

Peki yine de DÜNYANIN EN BÜYÜK NUMARASI nedir? - STASPLEX denir ve G 100'e eşittir,

burada G, Graham sayısıdır; matematiksel kanıtta şimdiye kadar kullanılan en büyük sayıdır.

Bu sayı - stasplex - harika bir insan, yurttaşımız tarafından icat edildi Stas Kozlovski, Seni yönlendirdiğim LJ :) - ctac

17 Haziran 2015

“Akıl mumunun verdiği küçük ışık noktasının arkasında, karanlıkta gizlenmiş belirsiz sayı kümeleri görüyorum. Birbirlerine fısıldıyorlar; kimin ne bildiği hakkında komplo kurmak. Belki de küçük kardeşlerini zihinlerimizde canlandırdığımız için bizi pek sevmiyorlar. Ya da belki de bizim anlayışımızın ötesinde, tek haneli bir yaşam sürüyorlar.
Douglas Ray

Biz bizimkine devam ediyoruz. Bugün sayılarımız var...

Er ya da geç herkes en büyük sayının ne olduğu sorusuyla işkence görür. Bir çocuğun sorusuna milyonlarca cevap vardır. Sıradaki ne? Trilyon. Ve daha da ilerisi? Aslında en büyük sayılar nelerdir sorusunun cevabı basittir. Sadece en büyük sayıya bir ekleyin, artık en büyük sayı olmayacaktır. Bu prosedüre süresiz olarak devam edilebilir.

Ama şu soruyu sorarsanız: Var olan en büyük sayı nedir ve onun özel adı nedir?

Artık her şeyi öğreneceğiz...

Numaraları adlandırmak için iki sistem vardır - Amerikan ve İngilizce.

Amerikan sistemi oldukça basit bir şekilde inşa edilmiştir. Tüm büyük sayıların isimleri şu şekilde inşa edilir: Başlangıçta Latince bir sıra numarası vardır ve sonuna -million son eki eklenir. Bunun bir istisnası, bin sayısının adı olan "milyon" adıdır (lat. mil) ve büyütme son eki -illion (tabloya bakınız). Trilyon, katrilyon, kentilyon, sekstilyon, septilyon, oktilyon, nonilyon ve desilyon rakamlarını bu şekilde elde ederiz. Amerika sistemi ABD, Kanada, Fransa ve Rusya'da kullanılmaktadır. Amerikan sistemine göre yazılmış bir sayıdaki sıfır sayısını 3 x + 3 (burada x bir Latin rakamıdır) basit formülünü kullanarak bulabilirsiniz.

İngilizce adlandırma sistemi dünyada en yaygın olanıdır. Örneğin Büyük Britanya ve İspanya'nın yanı sıra eski İngiliz ve İspanyol kolonilerinin çoğunda kullanılır. Bu sistemdeki sayıların adları şu şekilde oluşturulmuştur: şu şekilde: Latin rakamına -million eki eklenir, bir sonraki sayı (1000 kat daha büyük) - aynı Latin rakamı, ancak son ek - prensibine göre oluşturulur - milyar. Yani, İngiliz sisteminde bir trilyondan sonra bir trilyon gelir ve ancak o zaman bir katrilyon, ardından bir katrilyon vb. gelir. Dolayısıyla İngiliz ve Amerikan sistemlerine göre bir katrilyon tamamen farklı sayılardır! İngiliz sistemine göre yazılan ve -million son ekiyle biten bir sayıdaki sıfır sayısını 6 x + 3 formülünü (burada x bir Latin rakamıdır) ve sayılar için 6 x + 6 formülünü kullanarak öğrenebilirsiniz. - milyarla bitiyor.

Yalnızca İngiliz sisteminden Rus diline geçen milyar sayısı (10 9), Amerikan sistemini benimsediğimiz için Amerikalıların buna milyar olarak adlandırılması daha doğru olur. Ama ülkemizde kim her şeyi kurallara göre yapar! ;-) Bu arada, bazen Rusça'da trilyon kelimesi kullanılıyor (bunu Google veya Yandex'de bir arama yaparak kendiniz görebilirsiniz) ve görünüşe göre 1000 trilyon anlamına geliyor, yani. katrilyon.

Amerikan veya İngiliz sistemine göre Latin önekleri kullanılarak yazılan sayıların yanı sıra, sistem dışı numaralar olarak adlandırılan numaralar da bilinmektedir. Latince öneki olmayan, kendi adlarına sahip sayılar. Bu tür birkaç sayı var, ancak size biraz sonra onlar hakkında daha fazla bilgi vereceğim.

Latin rakamlarını kullanarak yazmaya dönelim. Sonsuza kadar sayıları yazabilecekleri görülüyor ama bu tamamen doğru değil. Şimdi nedenini açıklayacağım. Öncelikle 1'den 10 33'e kadar olan sayıların ne isimlendirildiğine bakalım:

Ve şimdi soru ortaya çıkıyor, bundan sonra ne olacak? Desilyonun arkasında ne var? Prensip olarak, önekleri birleştirerek, andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion ve novemdecillion gibi canavarlar oluşturmak elbette mümkündür, ancak bunlar zaten bileşik isimler olacaktır ve biz de kendi isim sayılarımızla ilgileniyoruz. Bu nedenle, bu sisteme göre, yukarıda belirtilenlere ek olarak, yalnızca üç özel isim alabilirsiniz - vigintilyon (Lat.viginti- yirmi), centillion (enlem.yüzde- yüz) ve milyon (enlem.mil- bin). Romalıların sayılar için binden fazla özel adı yoktu (bini aşan tüm sayılar bileşikti). Örneğin Romalılar bir milyona (1.000.000) diyorlardı.centena milia'yı deciesyani "on yüz bin." Ve şimdi aslında tablo:

Dolayısıyla böyle bir sisteme göre sayılar 10'dan büyüktür. 3003 kendine ait, bileşik olmayan bir isme sahip olanın elde edilmesi imkansızdır! Ancak yine de bir milyonun üzerinde sayılar biliniyor - bunlar aynı sistemik olmayan sayılardır. Son olarak onlardan bahsedelim.

Bu tür en küçük sayı sayısızdır (hatta Dahl'ın sözlüğünde bulunur), bu da yüz yüzler, yani 10.000 anlamına gelir. Ancak bu kelime modası geçmiş ve pratikte kullanılmıyor, ancak "onbinlerce" kelimesinin Yaygın olarak kullanılan, kesinlikle belirli bir sayı anlamına gelmez, bir şeyin sayılamayan, sayılamayan çokluğu anlamına gelir. Sayısız kelimesinin Avrupa dillerine eski Mısır'dan geldiğine inanılıyor.

Bu sayının kökenine ilişkin olarak farklı görüşler. Bazıları bunun Mısır'da ortaya çıktığına inanıyor, bazıları ise sadece Antik Yunan'da doğduğuna inanıyor. Öyle olsa bile, sayısız insan tam da Yunanlılar sayesinde ün kazandı. Myriad 10.000'in adıydı, ancak on binden büyük sayıların adı yoktu. Bununla birlikte, Arşimed "Psammit" (yani kum hesabı) notunda keyfi olarak büyük sayıların sistematik olarak nasıl oluşturulacağını ve adlandırılacağını gösterdi. Özellikle, bir haşhaş tohumunun içine 10.000 (sayısız) kum tanesi yerleştirerek, Evren'de (çok sayıda Dünya çapında bir çapa sahip bir top) (bizim notasyonumuza göre) en fazla 10'un sığabileceğini bulur. 63 kum taneleri Görünür Evrendeki atom sayısına ilişkin modern hesaplamaların 10 sayısını bulması ilginçtir. 67 (toplamda sayısız kat daha fazla). Arşimed sayılara şu isimleri önerdi:
1 sayısız = 10 4 .
1 di-sayısız = sayısız sayısız = 10 8 .
1 üç-sayısız = di-sayısız di-sayısız = 10 16 .
1 tetra-sayısız = üç-sayısız üç-sayısız = 10 32 .
vesaire.

Googol (İngilizce googol'den gelir) on üzeri yüzüncü kuvvettir, yani birden sonra yüz sıfır gelir. "Googol" hakkında ilk kez 1938 yılında Amerikalı matematikçi Edward Kasner'ın Scripta Mathematica dergisinin Ocak sayısındaki "Matematikte Yeni İsimler" başlıklı makalesinde bahsedildi. Ona göre, büyük sayıya "googol" denmesini öneren kişi dokuz yaşındaki yeğeni Milton Sirotta'ydı. Bu numara, adını taşıyan arama motoru sayesinde genel olarak tanındı. Google. Lütfen "Google"ın marka ve googol bir sayıdır.

Edward Kasner.

İnternette sıklıkla bundan bahsedildiğini görebilirsiniz - ancak bu doğru değil...

MÖ 100 yılına dayanan ünlü Budist eseri Jaina Sutra'da asankheya sayısı (Çince'den. asenzi- sayılamayan), 10 140'a eşit. Bu sayının nirvanaya ulaşmak için gereken kozmik döngü sayısına eşit olduğuna inanılıyor.

Googolplex (İngilizce) Googolplex) - Kasner ve yeğeni tarafından da icat edilen ve googol'ü sıfır olan bir, yani 10 anlamına gelen bir sayı 10100 . Kasner bu "keşfi" şu şekilde tanımlıyor:

Bilgelik dolu sözler çocuklar tarafından da en az bilim adamları kadar sıklıkla söylenir. "Googol" adı, çok büyük bir sayıya, yani arkasında yüz tane sıfır olan 1'e bir isim bulması istenen bir çocuk (Dr. Kasner'ın dokuz yaşındaki yeğeni) tarafından icat edildi. bu sayı sonsuz değildi ve dolayısıyla bir adı olması gerektiği de aynı derecede kesindi. aynısı"Googol"ü önerdiğinde daha da büyük bir sayıya bir isim verdi: "Googolplex." Bir googolplex, bir googolden çok daha büyüktür, ancak ismin mucidinin hemen işaret ettiği gibi yine de sonludur.

Matematik ve Hayal Gücü(1940), Kasner ve James R. Newman.

Googolplex'ten daha büyük bir sayı olan Skewes sayısı 1933'te Skewes tarafından önerildi. J. Londra Matematik. Sos. 8, 277-283, 1933.) asal sayılarla ilgili Riemann hipotezini kanıtlarken. Anlamı e bir dereceye kadar e bir dereceye kadar e 79'un kuvveti, yani ee e 79 . Daha sonra te Riele, H. J. J. "Farkın İşareti Üzerine" P(x)-Li(x)." Matematik. Hesapla. 48, 323-328, 1987) Skuse sayısını ee'ye düşürdü 27/4 , yaklaşık olarak 8.185·10 370'e eşittir. Skuse sayısının değerinin sayıya bağlı olduğu açıktır. e, o zaman bu bir tam sayı değildir, bu yüzden onu dikkate almayacağız, aksi takdirde diğer doğal olmayan sayıları - pi sayısını, e sayısını vb. - hatırlamamız gerekirdi.

Ancak matematikte Sk2 olarak adlandırılan ve ilk Skuse sayısından (Sk1) bile daha büyük olan ikinci bir Skuse numarasının olduğunu da belirtmek gerekir. İkinci Skewes numarası, aynı makalede J. Skuse tarafından Riemann hipotezinin geçerli olmadığı bir sayıyı belirtmek için tanıtıldı. Sk2 eşittir 1010 10103 yani 1010 101000 .

Anladığınız gibi dereceler ne kadar fazlaysa hangi sayının büyük olduğunu anlamak o kadar zor olur. Örneğin Skewes sayılarına bakıldığında özel hesaplamalar yapılmadan bu iki sayıdan hangisinin daha büyük olduğunu anlamak neredeyse imkansızdır. Bu nedenle süper büyük sayılar için kuvvetlerin kullanılması elverişsiz hale gelir. Üstelik, derece dereceleri sayfaya sığmadığında bu tür sayıları bulabilirsiniz (ve bunlar zaten icat edilmiştir). Evet, sayfada var! Tüm Evren büyüklüğündeki bir kitaba bile sığmazlar! Bu durumda bunların nasıl yazılacağı sorusu ortaya çıkıyor. Anladığınız gibi problem çözülebilir ve matematikçiler bu tür sayıları yazmak için çeşitli ilkeler geliştirdiler. Doğru, bu sorunu soran her matematikçi kendi yazma yöntemini buldu, bu da birbiriyle ilgisi olmayan birkaç sayı yazma yönteminin varlığına yol açtı - bunlar Knuth, Conway, Steinhouse, vb.'nin gösterimleridir.

Hugo Stenhouse'un (H. Steinhaus. Matematiksel Anlık Görüntüler, 3. baskı. 1983), ki bu oldukça basittir. Stein House, üçgen, kare ve daire gibi geometrik şekillerin içine büyük sayılar yazmayı önerdi:

Steinhouse iki yeni süper büyük sayı buldu. Numaraya Mega, numaraya da Megiston adını verdi.

Matematikçi Leo Moser, Stenhouse'un notasyonunu geliştirdi; bu notasyon, bir megistondan çok daha büyük sayıları yazmak gerekirse, birçok dairenin iç içe çizilmesi gerektiğinden zorluklar ve rahatsızlıkların ortaya çıkmasıyla sınırlıydı. Moser, karelerden sonra daire değil, beşgen, sonra altıgen vb. çizmeyi önerdi. Ayrıca sayıların karmaşık resimler çizmeden yazılabilmesi için bu çokgenler için resmi bir gösterim önerdi. Moser notasyonu şuna benzer:

Böylece Moser'in notasyonuna göre Steinhouse'un mega'sı 2, megiston 10 olarak yazılmıştır. Ayrıca Leo Moser, kenar sayısı mega - megagon'a eşit olan bir çokgen çağırmayı önerdi. Ve Megagon'da 2 sayısını yani 2 sayısını önerdi. Bu sayı Moser sayısı ya da kısaca Moser olarak bilinmeye başlandı.

Ancak Moser en büyük sayı değil. Matematiksel bir kanıtta şimdiye kadar kullanılan en büyük sayı, ilk kez 1977'de Ramsey teorisindeki bir tahminin kanıtlanmasında kullanılan ve Graham sayısı olarak bilinen sınırlayıcı niceliktir. Bikromatik hiperküplerle ilişkilendirilir ve özel 64 seviyeli sistem olmadan ifade edilemez. 1976'da Knuth tarafından tanıtılan özel matematiksel semboller.

Ne yazık ki Knuth notasyonuyla yazılan bir sayı Moser sisteminde notaya dönüştürülemiyor. Dolayısıyla bu sistemi de açıklamamız gerekecek. Prensip olarak bunda da karmaşık bir şey yok. Donald Knuth (evet, evet, bu “Programlama Sanatı”nı yazan ve TeX editörünü yaratan Knuth'la aynı), yukarıyı gösteren oklarla yazmayı önerdiği süper güç kavramını ortaya attı:

İÇİNDE Genel görünümşuna benziyor:

Sanırım her şey açık, o yüzden Graham'ın numarasına dönelim. Graham sözde G-sayılarını önerdi:

1. G1 = 3..3, süper güç oklarının sayısı 33'tür.


2. G2 = ..3, burada süper güç oklarının sayısı G1'e eşittir.


3. G3 = ..3, burada süper güç oklarının sayısı G2'ye eşittir.



4. G63 = ..3, burada süper güç oklarının sayısı G62'dir.

G63 numarasına Graham numarası denmeye başlandı (genellikle basitçe G olarak belirtilir). Bu sayı dünyada bilinen en büyük sayıdır ve hatta Guinness Rekorlar Kitabı'nda bile listelenmiştir. Ve burada