Asal katlar. Bölenler ve katlar: tanımlar ve örnekler

§ 1 Bölen ve çoklu – kavramların tanımı

Bu derste bölenin ne olduğunu, doğal sayıların katlarının ne olduğunu ve bunları nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Hangi sayılara doğal sayılar denildiğini hatırlayalım mı? Bunlar sayarken kullanılan sayılardır, örneğin: 1, 2, 3, 4...

Sorunu çözelim:

Yazın üç çocuk balığa çıktı ve 9 mızrak yakaladı. Bütün avı tek bir kovaya koydular. Turna balığını eşit olarak bölmeye karar verdiler. Her çocuğa kaç balık verilecek?

Bu nedenle her çocuğa 3 balık verilecek.

9, 3'e kalansız bölünebildiği için 3'ün 9 sayısının böleni olduğunu söylüyorlar.

Şimdi üç değil de dört erkek çocuk olursa ne olacağını görelim.

Bu durumda tüm balıkların dörde bölünmesi gerekir.

9:4=2 (1 arta kalan), yani. her çocuğa 2 turna verilecek ve kovada bir balık kalacak. Bu, 4 sayısının 9 sayısının böleni olmadığı anlamına gelir, çünkü 9, 4'e kalansız bölünemez.

Bölücü doğal sayı a, a'nın kalansız bölünebildiği doğal sayıdır.

Ayrıca herhangi bir doğal sayının bire kalansız bölünebildiğini, dolayısıyla 1'in tüm doğal sayılar için en küçük bölen olduğunu unutmayın. Ve herhangi bir doğal sayının en büyük böleni sayının kendisidir.

Dolayısıyla 9 doğal sayısının üç böleni vardır: 1, 3, 9.

Bu sayılara göre 9, kalansız bölünebilir. 9:1=9, 9:3=3, 9:9=1.

Şimdi sorunumuzun koşullarına dönelim:

Üç adam 9 turnayı kendi aralarında eşit olarak paylaştırdı ve her biri 3 balık aldı.

9, 3'e kalansız bölünebildiği için 9 sayısının 3'ün katı olduğunu söylüyorlar.

Sorun koşullarını biraz değiştirelim:

Ya 10 turna balığı yakalarlarsa? Kişi başına kaç balık düşer?

10:3=3 (1 kaldı)

Bu durumda her çocuğa 3 balık verilecek ve kovada 1 turna balığı kalacaktır. 10 sayısı 3'ün katı değildir çünkü 10, 3'e kalansız bölünemez.

Bir doğal sayının katı, a'ya kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır.

§ 2 Bölen ve katını bulma

Çoklu ve çoklu sözcüklerini doğru kullanmak gerekir.

Genellikle şöyle derler: Dokuz sayısı üçün katıdır veya dokuz sayısı üçün katıdır.

"Çoklu" kelimesini kullanırken: dokuz sayısı üçün katıdır veya dokuz sayısı üçün katıdır.

3'e kalansız bölünebilen birçok doğal sayı vardır; örneğin: 3, 12, 39, 96, vb. Bu sayıların hepsi 3'ün katıdır.

Bunları elde etmek çok kolaydır; 3'ü 1, 2, 3, 4 vb. ile çarpmanız gerekir.

Örneğin: 3*1=3, 3*2=6, 3*3=9, 3*4=12, vb.

Dolayısıyla herhangi bir doğal sayının sonsuz sayıda katı vardır. Herhangi bir doğal sayının en küçük katının sayının kendisi olduğunu unutmayın.

Ancak aynı zamanda 3 sayısı 3, 6, 9, 12 vb. sayılar içindir. bölen olacak. Bazı sayıların aynı zamanda bölenleri olan sayılara ortak bölenleri denir.

Böylece derste doğal sayıların bölen ve katı kavramlarını tanıdık ve bulmayı öğrendik.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Matematik. 6. sınıf. Ders kitabı. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. ve diğerleri, 2013. - 288 s.
2. Hatasız hesaplıyoruz. Matematik 5-6. Sınıflarda kendi kendine test ile çalışın. Minaeva S.S. - 2014.
3. Matematik. 6. sınıf. I.I. Zubareva, A.G. Mordkoviç. 2009.

Bu makale bölenler ve katlar hakkındadır. Burada bu kavramları açıklayacağız, tanımları formüle edeceğiz, bölenlere ve çeşitli katlara örnekler vereceğiz (şimdilik sadece tam sayıları ele alacağız). 1 ve - 1 bölenlerinin yanı sıra 0'ın bölenleri ve katları üzerinde ayrı ayrı duralım.

Temel tanımlar

İlk önce bir tam sayının tanımlarını formüle edelim.

Tanım 1

Bir a tam sayısının böleni, a'nın kalansız bölünebildiği bir b sayısıdır.

Bölünebilirlik gibi bir kavramı hatırlarsak, bu formülasyonu biraz değiştirebiliriz.

Tanım 2

Bir a tam sayısının böleni, bir q sayısıyla birlikte eşitliği doğru kılan bir b sayısıdır a = bq.

Bir b sayısının bir a tamsayısının böleni olduğundan bahsettiğimizde bu, b'nin a'yı böldüğü anlamına gelir ve kısaca b | a veya b\a.

Tam sayıların tanımına ve tam sayıların çarpım özelliklerine göre, herhangi bir tam sayı bire ve kendisine bölünebilir, yani bir = bir 1 Ve bir = 1 bir. Çarpmanın özelliklerini bildiğimizden eşitlikleri de elde edebiliriz. a = (− a) · (− 1) Ve a = (− 1) · (− a). Bunlardan, a'nın - a ve - 1'e eşit iki böleni daha olacağı sonucu çıkar. Bu nedenle a tamsayısını her zaman a, − a, 1 ve 1'e bölebiliriz. − 1 . Örneğin 12 sayısı 12'ye, -12'ye, 1'e ve -1'e bölünebilir.

Sıfır, bir ve eksi bir gibi sayıların bölenlerine odaklanalım. Bölünebilme özelliklerine aşina olduğumuz için, herhangi bir tam sayının (0'ın kendisi dahil) 0'ın böleni olabileceği ve bir ve eksi birin yalnızca sırasıyla 1 ve -1'e eşit bölenleri olduğu sonucuna varabiliriz.

Dolayısıyla, 0'ın her zaman tamsayı biçiminde sonsuz sayıda böleni olacaktır (buna sıfır da dahildir) ve 1 ve - 1'in yalnızca 2 böleni olacaktır - bir ve eksi bir. Herhangi bir a tamsayısı için minimum bölen sayısı dörttür. Bunlar arasında a, − a, 1 ve − 1 .

Tamsayılar durumunda bölenlere başka hangi örnekler verilebilir?

örnek 1

Böylece eşitlik olduğundan 8 -2'ye bölünebilir. 8 = (− 2) · (− 4) düzeltin (gerekirse tam sayıların çarpılmasıyla ilgili materyali tekrarlayın). Sekizi − 8, − 4, − 1, 1, 2, 4, 8'e de bölebiliriz, ancak - 3 bölenlere dahil değildir, çünkü q sayıları eşitlik sağlar 8 = (− 3) q doğru olurdu, mevcut değil. Yani 8'i -3'e ancak kalanla bölebiliriz. Belirtilen bölenler dışında, sekizi kalansız hiçbir tam sayıya bölemeyiz.

Yukarıda tartışılan örnekler bize, yalnızca pozitif değil, aynı zamanda negatif tam sayıların da bir tam sayının bölenleri olarak hareket edebileceğini göstermektedir. Bu olasılık, bölünebilirliğin özelliklerinden biriyle doğrulanır: eğer b, bir a tamsayısının böleni ise, o zaman karşıt b sayısı da onun böleni olacaktır. Bu nedenle, yalnızca pozitif bölenleri olan durumları dikkate alabilir ve sonuçları basitçe negatif olanlara genişletebiliriz.

Ayrıca, bir b tamsayısı a'nın böleni ise a'nın - b'ye bölünebileceğini, dolayısıyla pozitif ve negatif a'nın bölen kümelerinin çakışacağını belirten başka bir bölünebilirlik özelliğini de hatırlayalım. Bu kural, hesaplamaların basitliği ve kısalığı için yalnızca pozitif sayılarla çalışma olasılığını bir kez daha doğrulamaktadır.

Birinin yalnızca bir pozitif böleni vardır - birimin kendisi. Bu, 1'i diğer doğal sayılardan farklı kılar, çünkü diğerlerinin en az 2 böleni vardır: bire ek olarak kendilerine eşit sayılara bölünebilirler. Sayının kendisi ve birimi dışında bölenlerin bulunup bulunmadığına göre asal ve bileşik sayılar arasında ayrım yapılır.

Bir sayının en küçük pozitif böleni birdir (a sayısının kendisi 1'e eşit değilse),
ve a sayısı kendisinin en büyük pozitif bölenidir (üç veya daha fazla doğal sayının karşılaştırılması hakkında daha fazlasını ayrı bir makalede yazdık). Dolayısıyla, herhangi bir a doğal sayısı için pozitif bölen b, 1 ≤ b ≤ a koşuluna karşılık gelecektir. Burada ayrıca tartışacağımız en büyük ortak bölen (BEB) de önemli bir rol oynar.

Kat kavramı

Her zaman olduğu gibi bir tanımla başlayalım.

Tanım 3

Bir a sayısına, b'ye kalansız bölünebiliyorsa, b'nin katı denir.

Başka bir deyişle, b'nin katı eşitliğin doğru olacağı bir a sayısıdır a = bq(burada q bir tamsayıdır). Eğer elimizde b'nin katı olan bir a varsa, a'nın b'nin katı olduğunu söyleriz. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz: a ⋮ b.

Çok olan ile bölünebilen arasında çok kesin bir bağlantı vardır. Aslında a, b'nin katıysa b bir bölen olacaktır verilen numara ve tam tersi.

Birkaç kat örneğini ele alalım.

Örnek 2

Yani -12 üçün katı olacak çünkü − 12 = 3 (− 4). Üçün başka birçok katı vardır, örneğin 0, 3, − 3, 6, − 6, 9, − 9 vb. Ve eşitliğin doğru olacağı bir q olmadığından 5, 3'ün katı olmayacaktır. 7 = 3ç.

Katların tanımına göre 0, sıfır dahil herhangi bir b'nin katı olacaktır. Kanıt eşitliktir 0 = b 0çünkü herhangi bir sayıyı sıfırla çarpmak sıfırla sonuçlanır.

Ayrıca herhangi bir b tamsayısı için sonsuz sayıda katın bulunduğunu ve çarpıma karşılık gelen herhangi bir tam sayının bulunduğunu da açıklığa kavuşturalım. bq, Nerede Q– herhangi bir tamsayı b'nin katı olacaktır.

Pozitif bir sayının en küçük pozitif katı sayının kendisidir. Bu durumda en küçük katın en küçük ortak kat (LCM) ile karıştırılmaması gerektiğini unutmayın.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Talimatlar

Çoğu zaman, bir sayıyı asal çarpanlara ayırmanız gerekir. Bunlar, orijinal sayıyı kalansız bölen ve aynı zamanda kendileri de kalansız olarak yalnızca kendilerine ve bire bölünebilen sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 vb. sayılar). . Üstelik seride herhangi bir desen bulunamadı. Bunları özel bir tablodan alın veya "Eratosthenes eleği" adı verilen bir algoritma kullanarak bulun.

İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayılar denir. Ne sayılar bileşik olabilirler mi?
Çünkü sayılar 2'ye bölünüyorsa hepsi çifttir sayılar, hariç sayılar 2'si kompozit olacak. Aslında 2:2 bölümünde iki kendine bölünür, yani sadece iki böleni vardır (1 ve 2) ve bir asal sayıdır.

Bakalım çift olan var mı sayılar başka türlü bölücüler. Önce bunu 2'ye bölelim. Çarpma işleminin değişmeli yapısından, elde edilen bölümün de bölen olacağı açıktır. sayılar. Daha sonra elde edilen bölüm tam sayı ise bu bölümü tekrar 2'ye bölüyoruz. O zaman ortaya çıkan yeni bölüm y = (x:2):2 = x:4 aynı zamanda orijinal bölümün de böleni olacaktır. sayılar. Aynı şekilde 4 de orijinal sayının böleni olacaktır. sayılar.

Bu zinciri sürdürerek kuralı genelleştirelim: Bölüm tek sayıya eşit oluncaya kadar önce sırasıyla sonra elde edilen bölümleri 2'ye böleriz. Bu durumda, elde edilen tüm bölümler bunun bölenleri olacaktır. sayılar. Ayrıca bunun bölenleri sayılar olacak sayılar 2^k burada k = 1...n, burada n bu zincirdeki adım sayısıdır. Örnek: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 tek sayıdır. Bu nedenle 12, 6 ve 3 bölücüler sayılar 24. Bu zincirde 3 basamak vardır dolayısıyla bölenler sayılar 24 de olacak sayılar 2^1 = 2 (zaten pariteden biliniyordu) sayılar 24), 2^2 = 4 ve 2^3 = 8. Böylece, sayılar 1,2,3,4,6,8,12 ve 24 sayıları bölen olacak sayılar 24.

Ancak tüm çift sayılar için bu her şeyi veremez. bölücüler sayılar. Mesela 42 sayısını düşünün. 42:2 = 21. Ancak bilindiği gibi, sayılar 3, 6 ve 7 de bölen olacak sayılar 42.
Bölünebilme özelliği var sayılar. Bunlardan en önemlilerini ele alalım:
3'e bölünebilme testi: rakamların toplamı sayılar 3'e kalansız bölünebilir.
5'e bölünebilme testi: son rakam ne zaman sayılar 5 veya 0.
7'ye bölünebilme testi: çift çıkarmanın sonucu son rakam bundan sayılar Son rakamı olmadan 7'ye bölünür.
9'a bölünebilme testi: rakamların toplamı sayılar 9'a kalansız bölünebilir.
11'e bölünebilme testi: Tek basamaklarda bulunan rakamların toplamı çift basamaklarda bulunan rakamların toplamına eşit olduğunda veya bundan 11'e bölünebilen bir sayıya eşit olduğunda.
Ayrıca 13, 17, 19, 23 ve diğer sayılara bölünebilme işaretleri de vardır sayılar.

Hem çift hem de tek sayılar için, belirli bir sayıya göre bölme işaretlerini kullanmanız gerekir. Sayıyı bölerek şunları belirlemelisiniz: bölücüler elde edilen bölüm vb. (zincir, yukarıda açıklanan çift sayıların 2'ye bölünmesiyle oluşan zincire benzer).

Kaynaklar:

• Bölünebilirlik işaretleri

Dört temel matematik işlemi arasında en yoğun kaynak kullanan işlem bölme işlemidir. Manuel olarak (bir sütun halinde), çeşitli tasarımlara sahip hesap makinelerinde ve ayrıca bir hesap cetveli kullanılarak yapılabilir.

Talimatlar

Bir sayıyı bir sütun kullanarak diğerine bölmek için önce bölüneni, sonra böleni yazın. Aralarına dikey bir çizgi yerleştirin. Ayırıcının altına yatay bir çizgi çizin. Tutarlı bir şekilde, sanki düşük sıradaki rakamları kaldırırsanız, bölenden daha büyük bir sayı elde edersiniz. 0'dan 9'a kadar olan sayıları bölenlerle sırayla çarparsak en büyüğünü buluruz sayılarönceki aşamada elde edilenden daha az. Bu rakamı bölümün ilk rakamı olarak yazın. Bu rakamı bölenin altındaki bölenle çarpmanın sonucunu bir basamak sağa kaydırarak yazın. Çıkarma işlemini yapın ve sonucuyla birlikte bölümün tüm rakamlarını bulana kadar aynı işlemleri yapın. Bölen sırasını bölen sırasını çıkararak virgülün yerini belirleyin.

Sayılar birbirine bölünemiyorsa iki durum mümkündür. Bunlardan ilkinde bir rakam veya birkaç rakamın birleşimi sonsuza kadar tekrarlanacaktır. O zaman hesaplamaya devam etmenin bir anlamı yok - bu sayıyı veya bir periyottaki sayılar zincirini almak yeterlidir. İkinci durumda ise özelde hiçbir düzenlilik mümkün olmayacaktır. Ardından, sonucun istenen doğruluğunu elde ettikten sonra bölmeyi bırakın ve sonuncuyu yuvarlayın.

Bir aritmetik hesap makinesi (hem temel hem de mühendislik) kullanarak bir sayıyı diğerine bölmek için, sıfırlama düğmesine basın, böleni girin, bölme düğmesine basın, böleni girin ve ardından eşittir işareti düğmesine basın. Formül gösterimi olan bir hesap makinesinde, eşit işaretli anahtarın örneğin Enter veya Exe olabileceğini dikkate alarak aynı şekilde bölün. Bu türdeki modern cihazlar iki satırlıdır: üst satıra yazılır ve sonuç altta daha büyük sayılarla görüntülenir. Ans tuşunu kullanarak bu sonuç bir sonraki hesaplamada kullanılabilir. Her durumda sonuç, hesap makinesinin rakam tablosunda otomatik olarak yuvarlanır.

Ters Lehçe gösterimi olan bir hesap makinesinde, önce sıfırlama düğmesine basın, ardından temettüyü girin ve Enter tuşuna basın (bu yazı yerine yukarı doğru bir ok olabilir). Sayı yığın hücresinde sona erecektir. Şimdi böleni girin ve bölme tuşuna basın. Yığındaki sayı, daha önce göstergede görüntülenen sayıya bölünecektir.

Çok az doğruluğun gerekli olduğu durumlarda sürgülü hesap cetveli kullanın. Her ikisinden de kaldır sayılar ve ardından her birinden en anlamlı iki rakamı alın. A ölçeğinde böleni bulun ve ardından bunu B ölçeğindeki bölenle eşleştirin. Daha sonra ikincideki birimi bulun - hemen üstünde A ölçeğinde yer alacaktır özel. Virgülün konumunu sütunda olduğu gibi belirleyin.

Kaynaklar:

• Sütun bölme sırası
• özel numaralar

Okul çocukları matematik ödevleri arasında sıklıkla şu formülasyonla karşılaşırlar: "Sayıların en küçük ortak katını bulun." Bunu yapabilmek için mutlaka nasıl yapılacağını öğrenmeniz gerekir. çeşitli eylemler eşit olmayan paydalara sahip kesirler ile.

En Küçük Ortak Katın Bulması: Temel Kavramlar

LCM'nin nasıl hesaplanacağını anlamak için öncelikle "çoklu" teriminin anlamını belirlemelisiniz.

A'nın katı, A'ya kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır. Dolayısıyla, 5'in katı olan sayılar 15, 20, 25 vb. olarak kabul edilebilir.

Belirli bir sayının sınırlı sayıda böleni olabilir, ancak sonsuz sayıda katı vardır.

Doğal sayıların ortak katı, kendilerine kalan bırakmadan bölünebilen sayıdır.

Sayıların (iki, üç veya daha fazla) en küçük ortak katı (LCM), bu sayıların tümüne bölünebilen en küçük doğal sayıdır.

LOC'yi bulmak için çeşitli yöntemler kullanabilirsiniz.

Küçük sayılar için, aralarında ortak bir şey bulana kadar bu sayıların tüm katlarını bir satıra yazmak uygundur. Gösterimde katlar belirtilmiştir büyük harfİLE.

Örneğin 4'ün katları şu şekilde yazılabilir:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Böylece 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 24 sayısı olduğunu görebilirsiniz. Bu gösterim şu şekilde yapılır:

LCM(4, 6) = 24

En büyük toplam bölücü- bu, önerilen sayıların her birinin bölünebileceği maksimum sayıdır. Bu terim genellikle hem payın hem de paydanın aynı sayıya bölünmesi gereken karmaşık kesirleri azaltmak için kullanılır. Bazen en büyük ortak noktayı belirlemek mümkündür. bölücü gözle, ancak çoğu durumda onu bulmak için bir dizi matematiksel işlem yapmanız gerekecektir.

İhtiyacın olacak

• Bunu yapmak için bir parça kağıda veya hesap makinesine ihtiyacınız olacak.

Talimatlar

Her karmaşık sayıyı asal sayıların veya faktörlerin çarpımına ayırın. Örneğin, 60 ve 80 (60, 2*2*3*5'e ve 80, 2*2*2*2*5'e eşittir), kullanılarak daha basit bir şekilde yazılabilir. Bu durumda, ikincide ikinin beş ve üçle çarpımı gibi görünecektir ve ikincisi, dördüncüde iki ve beşin çarpımı olacaktır.

Şimdi her ikisinin de ortak sayılarını yazın. Bizim versiyonumuzda bu iki ve beştir. Ancak diğer durumlarda bu sayı bir, iki veya üç basamaklı veya hatta olabilir. Daha sonra çalışmanız gerekiyor. Her çarpan için en küçük olanı seçin. Örnekte ikinin ikinci kuvveti ve beşin birinci kuvvetidir.

Son olarak, ortaya çıkan sayıları çarpmanız yeterlidir. Bizim durumumuzda her şey son derece basittir: ikinin beşle çarpımı 20'ye eşittir. Dolayısıyla 20 sayısı, 60 ve 80'in en büyük ortak böleni olarak adlandırılabilir.

Konuyla ilgili video

Not

Asal faktörün yalnızca 2 böleni olan bir sayı olduğunu unutmayın: biri ve sayının kendisi.

Yararlı tavsiye

Hariç Bu methodÖklid algoritmasını da kullanabilirsiniz. Geometrik formda sunulan tam açıklaması Öklid'in "Elementler" kitabında bulunabilir.

İlgili makale

Genellikle denklemleri bulabilirsiniz. Örneğin, 350: X = 50; burada 350 bölen, X bölen ve 50 de bölümdür. Bu örnekleri çözmek için bilinen sayılarla belirli bir dizi işlemin gerçekleştirilmesi gerekmektedir.

İhtiyacın olacak

• - kurşun kalem veya tükenmez kalem;
• - bir sayfa kağıt veya defter.

Talimatlar

Bilinmeyen, yani basit bir denklem yazın. X çocuk sayısını, 5 her çocuğa verilen şeker sayısını, 30 ise satın alınan şeker sayısını göstermektedir. Böylece şunu elde etmelisiniz: 30: X = 5. Bu durumda matematiksel ifade 30'a bölünen denir, X bölendir ve elde edilen bölüm 5'tir.

Şimdi çözmeye başlayın. Bilinmektedir: Bir bölen bulmak için, temettüyü bölüme bölmeniz gerekir. Görünüşe göre: X = 30: 5; 30: 5 = 6; X = 6.

Ortaya çıkan sayıyı denklemde değiştirerek kontrol edin. Yani 30: X = 5, bilinmeyen böleni buldunuz, yani. X = 6, dolayısıyla: 30: 6 = 5. İfade doğrudur ve bundan denklemin çözüldüğü sonucu çıkar. Asal sayıları içeren örnekleri çözerken elbette kontrole gerek yoktur. Ancak denklemler üç basamaklı, dört basamaklı vb. numaraları, kendinizi kontrol ettiğinizden emin olun. Sonuçta fazla zaman almaz ancak elde edilen sonuca mutlak güven verir.

Not

“Bölenler ve katlar” - Matematik ders kitabı, 6. sınıf (Vilenkin)

Kısa Açıklama:

Bu bölümde hangi sayıya kat, hangisine bölen denildiğini öğreneceksiniz. Bu tanımları iyi öğrenmeniz gerekiyor çünkü o zaman sürekli kullanacaksınız.
Ama önce doğal sayılar dediğimiz sayıları tekrarlayalım. Doğal sayılar, farklı nesnelerin sayısını sayabildiğimiz sayılardır. Örneğin masada beş muz var. Onları nasıl sayıyoruz: bir muz, iki, üç, dört, beş. Muzları saydıktan sonra 5 rakamını elde ettik ki bu da doğaldır. Hemen şu soru ortaya çıkıyor: Sıfır bir doğal sayı mıdır? Hayır değil. Muzları sıfırdan saymaya başlamadık: sıfır muz, bir, iki. Bu nedenle doğal sayılar birden başlar.
Hangi sayıya bir doğal sayının böleni diyebiliriz? Tanıma göre bir doğal sayının böleni (buna Büyük diyelim), Büyük'ün tamamen, yani tamamen, yani kalansız, tamamen, tamamen kalansız bölündüğü bir doğal sayıdır. Örneğin 10 kız ve 9 erkek balo salonu dansına gidiyor. Her kızın bir partneri olacak şekilde erkekleri bölmek mümkün müdür? Hayır, erkekler rollerini paylaşmazlar, dolayısıyla 1 erkek aynı anda yalnızca 1 kızla dans edebilir. Bütün kızların bir partneri olacak mı? Hayır, bir kız partnersiz kalacak - o kalacak. Ve eğer başka bir erkek gelirse ve 10 tane varsa, o zaman 10 erkek ve 10 kız mükemmel bir şekilde eşleşecek, yani hiçbir kız kalmayacak ve erkeklerin parçalara ayrılması gerekmeyecek. Yani 10, 10'a kalansız bölünürse, 10 sayısının 10 sayısının böleni olduğu ortaya çıkar. Bu tanımı nasıl hatırlayalım? Basit. Bölen, bir şeyi bölen sayıdır.
Katlarla biraz daha karmaşık. Çoklu bizimdir Büyük sayı, bölene göre bölünmeye hazırdır, ancak yalnızca kalan yoktur. Örneğin her Bounty paketinde 2 şeker bulunur. Annem onları okula götürmeme izin verdi ama bir şartla: Şekerler bir pakette olmalı. Arkadaşlarınıza ikram etmek için 5 şeker almak istiyorsunuz ancak paketi olmayan şekeri okula götüremiyorsunuz ve bu nedenle 3 paket yani 6 şeker almanız gerekiyor. Bu durumda 6 sayısı 2'nin katıdır çünkü 2'ye kalansız bölünebilmektedir. Bir katın ne olduğunu başka nasıl hatırlayabiliriz: her zaman bölenden büyüktür. Hatta soru bile sorabilirsiniz. Bölen bir kata kaç kez sığar? Bu nedenle, herhangi bir doğal sayının çok sayıda katı vardır ve bunların en küçüğü bu sayıdır. Örneğin 10 sayısının en küçük katı 10 sayısıdır (bölenin katlara kaç kez yerleştirildiği - 1 kez).

Bu yazıda tartışacağız bölenler ve katlar. Burada bölen ve çarpan tanımlarını vereceğiz. Bu tanımlar çeşitli tamsayıların bölenlerine ve katlarına örnekler vermemize olanak sağlayacaktır. Bir ve eksi birin bölenlerini ayrı ayrı ele alacağız, ayrıca sıfırın bölenleri ve katları hakkında da konuşacağız.

Sayfada gezinme.

Sayı bölenleri - tanım, örnekler

Önce verelim bölen tanımı bütün sayı.

Tanım.

Bölücü a tamsayısı, a'nın bir tam sayıya bölünebildiği b tamsayıdır.

Doğal sayı 1'in tek bir pozitif böleni vardır - 1 sayısı. Bu gerçek, bir doğal sayıyı diğer doğal sayılardan ayırır; çünkü birden dışındaki doğal sayıların kendisi ve 1 olmak üzere en az iki böleni vardır. Doğal sayının kendisi ve bir dışındaki bölenlerin yokluğuna veya varlığına bağlı olarak asal ve bileşik sayılar ayırt edilir.

Bir, bir a doğal sayısının 1 dışındaki en küçük pozitif böleni, a sayısının kendisi ise en büyük pozitif bölendir (Bölümde en büyük ve en küçük sayılardan bahsetmiştik). Yani herhangi bir a doğal sayısı için pozitif bölenlerinden herhangi biri b koşulu sağlar.

Katlar – tanım, örnekler

Hadi verelim çoklu tanımı.

Tanım.

Çoklu b tamsayısı, b'ye bölünebilen bir a tamsayıdır.

Başka bir deyişle, bir b tam sayısının katı, a=b·q biçiminde temsil edilebilen bir a tamsayıdır; burada q bir tam sayıdır.

Eğer a, b'nin tam katı ise a'ya b'nin katı olduğu söylenir. Bu durumda ab gösterimi kullanılır.

Çoklu ve bölünebilir tanımı, aralarındaki bağlantıyı açıkça göstermektedir. Aslında, tanım gereği, eğer a, b'nin bir katı ise, o zaman b, a'nın bir böleni olacaktır ve tam tersi, eğer b, a'nın bir böleni ise, o zaman a, b'nin bir katıdır.

Hadi verelim kat örnekleri. Örneğin, −12=3·(−4) olduğundan −12 tam sayısı 3'ün katıdır. 3'ün diğer katları 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9 vb. tam sayılardır. Ancak 7 sayısı 3 tam sayısının katı değildir, çünkü 7, 3'e kalansız bölünemez, yani 7=3·q eşitliğini sağlayacak bir q tam sayısı yoktur.

Bir katın tanımından sıfırın, sıfır da dahil olmak üzere herhangi bir b tam sayısının katı olduğu açıktır. Bu durumda 0=b·0 eşitliği çok ikna edici görünüyor.

Sonsuz sayıda tamsayı olduğundan ve b·q çarpımına eşit herhangi bir tamsayı (q isteğe bağlı bir tamsayı olmak üzere) b'nin bir katı olduğundan, herhangi bir b tamsayısının sonsuz sayıda katının bulunduğunu unutmayın.

Belirli bir pozitif a sayısının en küçük pozitif katı, a sayısının kendisidir. Ayrıca, en küçük pozitif katın, birkaç sayının en küçük ortak katı (LCM) ile karıştırılmaması gerektiğine de dikkat etmek önemlidir.

Ayrıca pozitif tam sayıların yalnızca doğal katlarını dikkate alabiliriz. Bunu bu makalenin ilk paragrafında belirttiğimiz nedenlerle yapabiliriz ve sunumun genelliği ihlal edilmeyecektir.

Kaynakça.

• Vilenkin N.Ya. ve diğerleri Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı.
• Vinogradov I.M. Sayı teorisinin temelleri.
• Mikhelovich Sh.H. Sayı teorisi.
• Kulikov L.Ya. ve diğerleri Cebir ve sayılar teorisinde problemlerin toplanması: Fizik ve matematik öğrencileri için ders kitabı. pedagoji enstitülerinin uzmanlık alanları.