Kako odpreti dvojne oklepaje. Spletni kalkulator. Poenostavitev polinoma. Množenje polinomov

V tem članku si bomo podrobno ogledali osnovna pravila tako pomembne teme pri tečaju matematike, kot je odpiranje oklepajev. Za pravilno reševanje enačb, v katerih so uporabljeni, morate poznati pravila za odpiranje oklepajev.

Kako pravilno odpreti oklepaj pri seštevanju

Razširite oklepaje, pred katerimi je znak »+«.

To je najpreprostejši primer, saj če je pred oklepajem znak za dodajanje, se znaki v njih ne spremenijo, ko se oklepaji odprejo. primer:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Kako razširiti oklepaje, pred katerimi je znak "-".

V tem primeru morate vse izraze prepisati brez oklepajev, hkrati pa spremeniti vse znake v njih na nasprotne. Predznaki se spremenijo le pri izrazih iz tistih oklepajev, pred katerimi je bil znak »-«. primer:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Kako odpreti oklepaje pri množenju

Pred oklepajem je število množitelja

V tem primeru morate vsak izraz pomnožiti s faktorjem in odpreti oklepaje, ne da bi spremenili znake. Če ima množitelj znak "-", se med množenjem znaki izrazov obrnejo. primer:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Kako odpreti dva oklepaja z znakom za množenje med njima

V tem primeru morate vsak izraz iz prvih oklepajev pomnožiti z vsakim členom iz drugega oklepaja in nato sešteti rezultate. primer:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Kako odpreti oklepaj v kvadratu

Če je vsota ali razlika dveh členov na kvadrat, je treba oklepaje odpreti po naslednji formuli:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

V primeru minusa v oklepaju se formula ne spremeni. primer:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Kako razširiti oklepaje na drugo stopnjo

Če se vsota ali razlika členov dvigne na primer na 3. ali 4. potenco, potem morate samo moč oklepaja razdeliti na "kvadratke". Potenci enakih faktorjev se seštejeta, pri deljenju pa se potenca delitelja odšteje od potence dividende. primer:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Kako odpreti 3 oklepaje

Obstajajo enačbe, v katerih so 3 oklepaji pomnoženi naenkrat. V tem primeru morate najprej pomnožiti člene prvih dveh oklepajev in nato vsoto tega množenja pomnožiti s členi tretjega oklepaja. primer:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Ta pravila za odpiranje oklepajev veljajo enako za reševanje linearnih in trigonometričnih enačb.

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti. Na primer, bo v številskem izrazu \(5·3+7\) najprej izračunan množenje, nato pa seštevek: \(5·3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primer. Razširite oklepaj: \(-(4m+3)\).
rešitev : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primer. Odprite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\), pred oklepajem pa je petica. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \(5\) - na to vas spominjam Znak za množenje med številom in oklepajem v matematiki ni zapisan zaradi zmanjšanja velikosti vnosov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se \(-3x\) in \(5\) v oklepaju pomnožita z \(-2\).

Primer. Poenostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
rešitev : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja z oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj razširiti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi oklepaj - vsak njegov člen pomnožite z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite produkte oklepajev in faktorja, kot je opisano zgoraj:
-Najprej...

Potem drugi.

Korak 3. Zdaj pomnožimo in predstavimo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba opisati tako podrobno, lahko jih takoj pomnožite. Če pa se šele učite odpirati oklepaje, pišite podrobno, bo manj možnosti za napake.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate samo eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Ker če namesto c zamenjate enega, dobite pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

Oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspešno reševanje takšnih nalog potrebujete:
- natančno razumeti gnezdenje oklepajev - kateri je v katerem;
- odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Oglejmo si zgoraj napisano nalogo kot primer.

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
rešitev :

Razširjanje oklepajev je osnovna veščina pri matematiki. Brez te spretnosti je nemogoče imeti oceno nad C v 8. in 9. razredu. Zato priporočam, da dobro razumete to temo.

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes, znanstvena skupnost še ni uspela priti do enotnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Achilles teče z konstantna hitrost. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji različne točke prostora v eni točki časa, vendar je iz njih nemogoče ugotoviti dejstvo gibanja (seveda so za izračune še vedno potrebni dodatni podatki, trigonometrija vam bo pomagala). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo mešati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »pozor, jaz sem v hiši« ali bolje rečeno »matematika preučuje abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.

Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Matematiku razložimo, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enaki elementi. Tu se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: na različnih kovancih obstaja različne količine umazanija, kristalna struktura in atomska razporeditev vsakega kovanca je edinstvena ...

In zdaj imam največ zanimanje Vprašaj: kje je črta, za katero se elementi multimnožice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Katera je pravilna? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih poučujejo šamani, uporabljajo pa jih matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej bo v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, poglejmo številko 26 iz članka o . Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Vsakega koraka ne bomo gledali pod mikroskopom; to smo že storili. Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, bi dobili popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če ista dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine vodijo do različne rezultateče jih primerjamo, pomeni, da nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In mislim, da to dekle ni bedak, ki ne pozna fizike. Samo ima močan stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Zdaj bomo prešli na odpiranje oklepajev v izrazih, v katerih je izraz v oklepaju pomnožen s številom ali izrazom. Oblikujmo pravilo za odpiranje oklepajev, pred katerimi je znak minus: oklepaj skupaj z znakom minus izpustimo, znake vseh izrazov v oklepajih pa nadomestimo z nasprotnimi.

Ena vrsta transformacije izraza je razširitev oklepajev. Številske, dobesedne in spremenljive izraze lahko zapišemo z oklepaji, ki lahko nakazujejo vrstni red dejanj, vsebujejo negativno število itd. Predpostavimo, da so lahko v zgoraj opisanih izrazih namesto števil in spremenljivk poljubni izrazi.

In bodimo pozorni še na eno točko glede posebnosti pisanja rešitve pri odpiranju oklepaja. V prejšnjem odstavku smo se ukvarjali s tem, kar imenujemo odpiranje oklepaja. Če želite to narediti, obstajajo pravila za odpiranje oklepajev, ki jih bomo zdaj pregledali. To pravilo narekuje dejstvo, da se pozitivna števila običajno pišejo brez oklepajev, v tem primeru so oklepaji nepotrebni. Izraz (−3,7)−(−2)+4+(−9) lahko zapišemo brez oklepaja kot −3,7+2+4−9.

Nazadnje, tretji del pravila je preprosto posledica posebnosti zapisovanja negativnih števil na levi v izrazu (ki smo jih omenili v razdelku o oklepajih za zapisovanje negativnih števil). Morda boste naleteli na izraze, sestavljene iz števila, znakov minus in več parov oklepajev. Če odprete oklepaje in se premikate od notranjega k zunanjemu, bo rešitev naslednja: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Kako odpreti oklepaje?

Tukaj je razlaga: −(−2 x) je +2 x, in ker je ta izraz na prvem mestu, lahko +2 x zapišemo kot 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x in −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prvi del zapisanega pravila za odpiranje oklepaja izhaja neposredno iz pravila za množenje negativnih števil. Njegov drugi del je posledica pravila množenja števil z različnimi predznaki. Preidimo na primere odpiranja oklepajev pri zmnožkih in količnikih dveh števil z različnimi predznaki.

Oklepaj: pravila, primeri, rešitve.

Zgornje pravilo upošteva celotno verigo teh dejanj in znatno pospeši postopek odpiranja oklepajev. Isto pravilo omogoča odpiranje oklepajev v izrazih, ki so zmnožki, in delnih izrazih z znakom minus, ki niso vsote in razlike.

Oglejmo si primere uporabe tega pravila. Navedimo ustrezno pravilo. Zgoraj smo že srečali izraza v obliki −(a) in −(−a), ki ju brez oklepaja zapišemo kot −a oziroma a. Na primer −(3)=3 in. Gre za posebne primere navedenega pravila. Zdaj pa si poglejmo primere odpiranja oklepajev, ko vsebujejo vsote ali razlike. Pokažimo primere uporabe tega pravila. Izraz (b1+b2) označimo z b, nakar uporabimo pravilo množenja oklepaja z izrazom iz prejšnjega odstavka, imamo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Z indukcijo lahko to izjavo razširimo na poljubno število členov v vsakem oklepaju. Ostaja, da odpremo oklepaje v nastalem izrazu z uporabo pravil iz prejšnjih odstavkov, na koncu dobimo 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Pravilo v matematiki je odpiranje oklepajev, če sta pred oklepajem (+) in (-).

Ta izraz je produkt treh faktorjev (2+4), 3 in (5+7·8). Oklepaje boste morali odpreti zaporedno. Zdaj uporabimo pravilo za množenje oklepaja s številom, imamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stopnje, katerih osnova so nekateri izrazi, zapisani v oklepaju, z naravnimi eksponenti lahko obravnavamo kot produkt več oklepajev.

Na primer, transformirajmo izraz (a+b+c)2. Najprej ga zapišemo kot zmnožek dveh oklepajev (a+b+c)·(a+b+c), zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem, dobimo a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Rekli bomo tudi, da je za povečanje vsot in razlik dveh števil na naravno potenco priporočljivo uporabiti Newtonovo binomsko formulo. Na primer (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nič manj priročno ni, če deljenje najprej zamenjamo z množenjem, nato pa uporabimo ustrezno pravilo za odpiranje oklepajev v produktu.

Še vedno je treba razumeti vrstni red odpiranja oklepajev z uporabo primerov. Vzemimo izraz (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Te rezultate nadomestimo v prvotni izraz: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Vse kar ostane je, da dokončamo odpiranje oklepajev, kot rezultat imamo −5+3·2:4+6·7. To pomeni, da je pri premikanju z leve strani enakosti na desno prišlo do odpiranja oklepaja.

Upoštevajte, da smo v vseh treh primerih preprosto odstranili oklepaje. Najprej dodajte 445 k 889. To dejanje je mogoče izvesti miselno, vendar ni zelo enostavno. Odprimo oklepaje in ugotovimo, da bo spremenjeni postopek bistveno poenostavil izračune.

Kako razširiti oklepaje na drugo stopnjo

Ponazoritev primera in pravila. Poglejmo primer: . Vrednost izraza lahko najdete tako, da seštejete 2 in 5, nato pa dobljeno število vzamete z nasprotnim predznakom. Pravilo se ne spremeni, če v oklepaju nista dva, ampak trije ali več izrazov. Komentiraj. Predznaki so obrnjeni le pred izrazi. Da bi odprli oklepaje, se moramo v tem primeru spomniti lastnosti distribucije.

Za posamezne številke v oklepajih

Vaša napaka ni v znakih, ampak v nepravilnem ravnanju z ulomki? V 6. razredu smo spoznavali pozitivna in negativna števila. Kako bomo reševali primere in enačbe?

Koliko je v oklepajih? Kaj lahko rečete o teh izrazih? Seveda je rezultat prvega in drugega primera enak, kar pomeni, da lahko med njima postavimo enačaj: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Kaj smo naredili z oklepaji?

Predstavitev diapozitiva 6 s pravili za odpiranje oklepajev. Tako nam bodo pravila za odpiranje oklepajev v pomoč pri reševanju primerov in poenostavljanju izrazov. Nato učence prosimo, da delajo v parih: s puščicami morajo povezati izraz, ki vsebuje oklepaje, z ustreznim izrazom brez oklepaja.

Slide 11 Nekoč v Sončnem mestu sta se Znayka in Dunno prepirala, kdo od njiju je pravilno rešil enačbo. Nato učenci samostojno rešijo enačbo po pravilih za odpiranje oklepajev. Reševanje enačb" Cilji lekcije: izobraževalni (okrepitev znanja na temo: "Odpiranje oklepajev.

Tema lekcije: »Odpiranje oklepajev. V tem primeru morate vsak izraz iz prvih oklepajev pomnožiti z vsakim členom iz drugega oklepaja in nato sešteti rezultate. Najprej vzamemo prva dva faktorja, ki ju zapremo še v en oklepaj, znotraj teh oklepajev pa odpremo oklepaje po enem od že znanih pravil.

rawalan.freezeet.ru

Odpiranje oklepajev: pravila in primeri (7. razred)

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti številski izrazi . Na primer, bo v številskem izrazu \(5·3+7\) najprej izračunan množenje, nato pa seštevek: \(5·3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Če pa imamo opravka s algebrski izraz ki vsebuje spremenljivka- na primer takole: \(2(x-3)\) - potem ni mogoče izračunati vrednosti v oklepaju, spremenljivka je v napoto. Zato se v tem primeru oklepaji "odprejo" z ustreznimi pravili.

Pravila za odpiranje oklepajev

Če je pred oklepajem znak plus, se oklepaj preprosto odstrani, izraz v njem ostane nespremenjen. Z drugimi besedami:

Tukaj je treba pojasniti, da je v matematiki za skrajšanje zapisov običajno, da se znaka plus ne piše, če se pojavi prvi v izrazu. Na primer, če seštejemo dve pozitivni števili, na primer sedem in tri, potem ne pišemo \(+7+3\), ampak preprosto \(7+3\), kljub temu, da je tudi sedem pozitivno število . Podobno, če vidite na primer izraz \((5+x)\) - vedite to pred oklepajem je plus, ki se ne piše.

Primer . Odprite oklepaj in podajte podobne izraze: \((x-11)+(2+3x)\).
rešitev : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Če je pred oklepajem znak minus, potem ko oklepaj odstranimo, vsak izraz v njem spremeni predznak v nasprotno:

Tukaj je treba pojasniti, da medtem ko je bil a v oklepaju, je bil znak plus (le da ga niso napisali), po odstranitvi oklepaja pa se je ta plus spremenil v minus.

Primer : Poenostavite izraz \(2x-(-7+x)\).
rešitev : znotraj oklepaja sta dva izraza: \(-7\) in \(x\), pred oklepajem pa je minus. To pomeni, da se bodo znaki spremenili - in sedem bo zdaj plus, x pa minus. Odprite oklepaj in predstavljamo podobne pogoje .

Primer. Odprite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Če je pred oklepajem faktor, se vsak člen oklepaja pomnoži z njim, to je:

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\), pred oklepajem pa je petica. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \(5\) - na to vas spominjam Znak za množenje med številom in oklepajem v matematiki ni zapisan zaradi zmanjšanja velikosti vnosov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se \(-3x\) in \(5\) v oklepaju pomnožita z \(-2\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja z oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj razširiti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi oklepaj in pomnožite vsak člen z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite produkte oklepajev in faktorja, kot je opisano zgoraj:
-Najprej...

Korak 3. Zdaj pomnožimo in predstavimo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba opisati tako podrobno, lahko jih takoj pomnožite. Če pa se šele učite odpirati oklepaje, pišite podrobno, bo manj možnosti za napake.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate samo eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Ker če namesto c zamenjate enega, dobite pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

Oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspešno reševanje takšnih nalog potrebujete:
- natančno razumeti gnezdenje oklepajev - kateri je v katerem;
— odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Oglejmo si zgoraj napisano nalogo kot primer.

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Začnimo nalogo z odpiranjem notranjega nosilca (tistega znotraj). Če ga razširimo, se ukvarjamo samo s tem, kar je neposredno povezano z njim - to je sam oklepaj in minus pred njim (označeno z zeleno). Vse ostalo (nepoudarjeno) prepišemo tako, kot je bilo.

Reševanje matematičnih nalog na spletu

Spletni kalkulator.
Poenostavitev polinoma.
Množenje polinomov.

S tem matematičnim programom lahko poenostavite polinom.
Medtem ko program teče:
- množi polinome
— sešteva monome (navaja podobne)
- odpre oklepaje
- dvigne polinom na potenco

Program za poenostavitev polinomov ne daje le odgovora na problem, temveč nudi podrobno rešitev z razlagami, tj. prikaže postopek reševanja, tako da lahko preverite svoje znanje matematike in/ali algebre.

Ta program je lahko koristen za študente srednje šole v pripravah na testi in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, da starši nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakajte sekundo.

Malo teorije.

Produkt monoma in polinoma. Koncept polinoma

Med različnimi izrazi, ki jih obravnavamo v algebri, zavzemajo pomembno mesto vsote monomov. Tu so primeri takih izrazov:

Vsoto monomov imenujemo polinom. Člene v polinomu imenujemo členi polinoma. Monome uvrščamo tudi med polinome, pri čemer velja, da je monom polinom, sestavljen iz enega člena.

Predstavimo vse člene v obliki monomov standardne oblike:

Predstavimo podobne člene v dobljenem polinomu:

Rezultat je polinom, katerega vsi členi so monomi standardne oblike in med njimi ni podobnih. Takšni polinomi se imenujejo polinomi standardne oblike.

zadaj stopnja polinoma standardne oblike prevzame najvišje pristojnosti svojih članov. Tako ima binom tretjo stopnjo, trinom pa drugo.

Običajno so členi polinomov standardne oblike, ki vsebujejo eno spremenljivko, razvrščeni v padajočem vrstnem redu eksponentov. Na primer:

Vsoto več polinomov lahko pretvorimo (poenostavimo) v polinom standardne oblike.

Včasih je treba člene polinoma razdeliti v skupine in vsako skupino zapreti v oklepaje. Ker je oklepaj oklepajev inverzna transformacija odpirajočih oklepajev, ga je enostavno formulirati pravila za odpiranje oklepajev:

Če je pred oklepajem znak »+«, so izrazi v oklepaju zapisani z istimi znaki.

Če je pred oklepajem znak »-«, so izrazi v oklepaju zapisani z nasprotnimi predznaki.

Transformacija (poenostavitev) produkta monoma in polinoma

Z uporabo distribucijske lastnosti množenja lahko transformirate (poenostavite) produkt monoma in polinoma v polinom. Na primer:

Produkt monoma in polinoma je identično enak vsoti zmnožkov tega monoma in vsakega od členov polinoma.

Ta rezultat je običajno oblikovan kot pravilo.

Če želite pomnožiti monom s polinomom, morate ta monom pomnožiti z vsakim členom polinoma.

To pravilo smo že večkrat uporabili za množenje z vsoto.

Produkt polinomov. Transformacija (poenostavitev) produkta dveh polinomov

Na splošno je zmnožek dveh polinomov identično enak vsoti zmnožka vsakega člena enega polinoma in vsakega člena drugega.

Običajno se uporablja naslednje pravilo.

Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in sešteti nastale produkte.

Formule za skrajšano množenje. Vsota kvadratov, razlike in razlika kvadratov

Z nekaterimi izrazi v algebrskih pretvorbah se morate ukvarjati pogosteje kot z drugimi. Morda najpogostejši izrazi so u, torej kvadrat vsote, kvadrat razlike in razlika kvadratov. Opazili ste, da so imena teh izrazov videti nepopolna, na primer, to seveda ni samo kvadrat vsote, ampak kvadrat vsote a in b. Vendar se kvadrat vsote a in b ne pojavlja prav pogosto, namesto črk a in b praviloma vsebuje različne, včasih precej zapletene izraze.

Izraze lahko enostavno pretvorimo (poenostavimo) v polinome standardne oblike, pravzaprav ste se s tako nalogo že srečali pri množenju polinomov:

Koristno si je zapomniti dobljene identitete in jih uporabiti brez vmesnih izračunov. Pri tem pomagajo kratke besedne formulacije.

- kvadrat vsote je enak vsoti kvadratov in dvojnega produkta.

— kvadrat razlike je enak vsoti kvadratov brez dvojnega produkta.

- razlika kvadratov je enaka zmnožku razlike in vsote.

Te tri identitete omogočajo zamenjavo njegovih levih delov z desnimi v transformacijah in obratno - desne dele z levimi. Najtežje je videti ustrezne izraze in razumeti, kako sta spremenljivki a in b v njih zamenjani. Oglejmo si nekaj primerov uporabe formul za skrajšano množenje.

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in OGE testi Spletne igre, uganke Grafične funkcije pravopisni slovar Ruski jezik Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednješolskih izobraževalnih ustanov Rusije Katalog ruskih univerz Seznam problemov Iskanje GCD in LCM Poenostavitev polinoma (množenje polinomov) Deljenje polinoma na polinom s stolpcem Izračunavanje številskih ulomkov Reševanje problemov, ki vključujejo odstotki Kompleksna števila: vsota, razlika, produkt in količnik Sistemi 2 -X linearne enačbe z dvema spremenljivkama Rešitev kvadratna enačba Izolacija kvadrata binoma in faktoriziranje kvadratnega trinoma Reševanje neenačb Reševanje sistemov neenačb Grafiranje kvadratne funkcije Grafiranje frakcijsko-linearne funkcije Reševanje aritmetičnih in geometrijskih progresij Reševanje trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih enačb Računanje limitov, odvodov, tangent Integral, antiderivacija Reševanje trikotnikov Računanje dejanj z vektorji Računanje dejanj s premicami in ravninami Območje geometrijske oblike Obseg geometrijskih oblik Prostornina geometrijskih teles Površina geometrijskih teles
Konstruktor prometne situacije
Vreme - novice - horoskopi

www.mathsolution.ru

Razširjanje oklepajev

Nadaljujemo z učenjem osnov algebre. V tej lekciji se bomo naučili razširiti oklepaje v izrazih. Razširitev oklepajev pomeni odstranitev oklepajev iz izraza.

Če želite odpreti oklepaje, si morate zapomniti le dve pravili. Z redno vadbo lahko odprete oklepaje z zaprtimi očmi in tista pravila, ki so se jih morali naučiti na pamet, lahko varno pozabite.

Prvo pravilo za odpiranje oklepajev

Razmislite o naslednjem izrazu:

Vrednost tega izraza je 2 . Odprimo oklepaje v tem izrazu. Razširitev oklepajev pomeni, da se jih znebite, ne da bi to vplivalo na pomen izraza. To je, ko se znebite oklepajev, vrednost izraza 8+(−9+3) mora biti še vedno enako dvema.

Prvo pravilo za odpiranje oklepajev je naslednje:

Pri odpiranju oklepajev, če je pred oklepajem plus, potem ta plus izpustimo skupaj z oklepaji.

Torej, to vidimo v izrazu 8+(−9+3) Pred oklepajem je znak plus. Ta plus je treba izpustiti skupaj z oklepaji. Z drugimi besedami, oklepaji bodo izginili skupaj s plusom, ki je stal pred njimi. In kar je bilo v oklepajih, bo zapisano brez sprememb:

8−9+3 . Ta izraz je enak 2 , tako kot prejšnji izraz z oklepaji, je bil enak 2 .

8+(−9+3) in 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Primer 2. Razširi oklepaje v izrazu 3 + (−1 − 4)

Pred oklepajem je plus, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepaji. Kar je bilo v oklepaju, bo ostalo nespremenjeno:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 2 + (−1)

V tem primeru je odpiranje oklepajev postalo nekakšna obratna operacija zamenjave odštevanja s seštevanjem. Kaj to pomeni?

V izrazu 2−1 pride do odštevanja, vendar ga je mogoče nadomestiti s seštevanjem. Potem dobimo izraz 2+(−1) . Če pa v izrazu 2+(−1) odprite oklepaje, dobite original 2−1 .

Zato lahko prvo pravilo za odpiranje oklepajev uporabimo za poenostavitev izrazov po nekaterih transformacijah. To pomeni, da ga znebite oklepajev in ga poenostavite.

Na primer, poenostavimo izraz 2a+a−5b+b .

Za poenostavitev tega izraza lahko navedemo podobne izraze. Spomnimo se, da morate za zmanjšanje podobnih izrazov dodati koeficiente podobnih izrazov in rezultat pomnožiti s skupnim delom črke:

Dobil izraz 3a+(−4b). Odstranimo oklepaje v tem izrazu. Pred oklepajem je plus, zato uporabimo prvo pravilo za odpiranje oklepajev, torej oklepaje izpustimo skupaj s plusom, ki je pred temi oklepaji:

Torej izraz 2a+a−5b+b poenostavlja na 3a−4b .

Ko ste odprli nekaj oklepajev, boste morda na poti naleteli na druge. Zanje veljajo enaka pravila kot za prve. Na primer, razširimo oklepaje v naslednjem izrazu:

Na dveh mestih morate odpreti oklepaje. V tem primeru velja prvo pravilo odpiranja oklepajev, in sicer izpuščanje oklepajev skupaj z znakom plus, ki je pred temi oklepaji:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 6+(−3)+(−2)

Na obeh mestih, kjer so oklepaji, je pred njimi plus. Tukaj ponovno velja prvo pravilo odpiranja oklepajev:

Včasih je prvi izraz v oklepaju zapisan brez predznaka. Na primer v izrazu 1+(2+3−4) prvi izraz v oklepaju 2 napisano brez znaka. Postavlja se vprašanje, kakšen znak se bo pojavil pred dvema, ko izpustimo oklepaj in plus pred oklepajem? Odgovor se nakazuje sam - pred dvema bo plus.

Pravzaprav je tudi v oklepaju plus pred dvema, a ga ne vidimo, ker ni zapisan. Rekli smo že, da izgleda celoten zapis pozitivnih števil +1, +2, +3. Toda po tradiciji plusi niso zapisani, zato vidimo pozitivna števila, ki so nam znana 1, 2, 3 .

Zato razširite oklepaje v izrazu 1+(2+3−4) , kot običajno, morate izpustiti oklepaje skupaj z znakom plus pred temi oklepaji, ampak prvi izraz, ki je bil v oklepaju, zapisati z znakom plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Primer 4. Razširi oklepaje v izrazu −5 + (2 − 3)

Pred oklepajem je plus, zato uporabimo prvo pravilo za odpiranje oklepajev, in sicer oklepaje izpustimo skupaj s plusom, ki je pred temi oklepaji. Toda prvi izraz, ki ga zapišemo v oklepaju z znakom plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Primer 5. Razširi oklepaje v izrazu (−5)

Pred oklepajem je plus, ki pa ni zapisan, ker pred njim ni bilo drugih števil ali izrazov. Naša naloga je, da odstranimo oklepaj tako, da uporabimo prvo pravilo odpiranja oklepaja, in sicer izpustimo oklepaj skupaj s tem plusom (tudi če je neviden)

Primer 6. Razširi oklepaje v izrazu 2a + (−6a + b)

Pred oklepajem je plus, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepaji. Kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Primer 7. Razširi oklepaje v izrazu 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

V tem izrazu sta dve mesti, kjer morate razširiti oklepaje. V obeh razdelkih je plus pred oklepajem, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepajem. Kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Drugo pravilo za odpiranje oklepajev

Zdaj pa poglejmo drugo pravilo za odpiranje oklepajev. Uporablja se, kadar je pred oklepajem minus.

Če je pred oklepajem minus, potem ta minus skupaj z oklepajem izpustimo, izrazi, ki so bili v oklepaju, pa spremenijo predznak v nasprotno.

Na primer, razširimo oklepaje v naslednjem izrazu

Vidimo, da je pred oklepajem minus. To pomeni, da morate uporabiti drugo pravilo razširitve, in sicer izpustiti oklepaje skupaj z znakom minus pred temi oklepaji. V tem primeru bodo izrazi, ki so bili v oklepajih, spremenili predznak v nasprotno:

Dobili smo izraz brez oklepaja 5+2+3 . Ta izraz je enak 10, tako kot je bil prejšnji izraz z oklepaji enak 10.

Tako med izrazi 5−(−2−3) in 5+2+3 lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Primer 2. Razširi oklepaje v izrazu 6 − (−2 − 5)

Pred oklepajem je minus, zato uporabimo drugo pravilo za odpiranje oklepajev, in sicer oklepaje izpustimo skupaj z minusom, ki je pred temi oklepaji. V tem primeru izraze, ki so bili v oklepaju, zapišemo z nasprotnimi predznaki:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 2 − (7 + 3)

Pred oklepajem je minus, zato za odpiranje oklepajev uporabimo drugo pravilo:

Primer 4. Razširi oklepaje v izrazu −(−3 + 4)

Primer 5. Razširi oklepaje v izrazu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Na dveh mestih morate odpreti oklepaje. V prvem primeru morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev in ko gre za izraz +(−9−2) morate uporabiti prvo pravilo:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Primer 6. Razširi oklepaje v izrazu −(−a − 1)

Primer 7. Razširi oklepaje v izrazu −(4a + 3)

Primer 8. Razširi oklepaje v izrazu a − (4b + 3) + 15

Primer 9. Razširi oklepaje v izrazu 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Na dveh mestih morate odpreti oklepaje. V prvem primeru morate uporabiti prvo pravilo za odpiranje oklepajev in ko gre za izraz −(3c+5) morate uporabiti drugo pravilo:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Primer 10. Razširi oklepaje v izrazu −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Na treh mestih morate odpreti oklepaje. Najprej morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev, nato prvo in nato spet drugo:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Mehanizem za odpiranje nosilca

Pravila za odpiranje oklepajev, ki smo jih zdaj preučili, temeljijo na distribucijskem zakonu množenja:

Pravzaprav odpiranje oklepaja je postopek, pri katerem se skupni faktor pomnoži z vsakim členom v oklepaju. Zaradi tega množenja oklepaji izginejo. Na primer, razširimo oklepaje v izrazu 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Torej, če morate pomnožiti število z izrazom v oklepaju (ali pomnožiti izraz v oklepaju s številom), morate reči odprimo oklepaje.

Toda kako je distribucijski zakon množenja povezan s pravili za odpiranje oklepajev, ki smo jih pregledali prej?

Dejstvo je, da je pred vsakim oklepajem skupni faktor. V primeru 3×(4+5) skupni faktor je 3 . In v primeru a(b+c) skupni faktor je spremenljivka a.

Če pred oklepaji ni številk ali spremenljivk, potem je skupni faktor 1 oz −1 , odvisno od tega, kateri znak je pred oklepajem. Če je pred oklepajem plus, potem je skupni faktor 1 . Če je pred oklepajem minus, potem je skupni faktor −1 .

Na primer, razširimo oklepaje v izrazu −(3b−1). Pred oklepajem je znak minus, zato morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev, torej izpustiti oklepaj skupaj z znakom minus pred oklepajem. In izraz, ki je bil v oklepaju, zapišite z nasprotnimi predznaki:

Oklepaje smo razširili po pravilu za razširitev oklepajev. Toda te iste oklepaje je mogoče odpreti z uporabo distribucijskega zakona množenja. To naredimo tako, da pred oklepaje najprej napišemo skupni faktor 1, ki ni bil zapisan:

Znak minus, ki je prej stal pred oklepajem, se je nanašal na to enoto. Zdaj lahko odprete oklepaje z uporabo distribucijskega zakona množenja. V ta namen skupni faktor −1 morate pomnožiti z vsakim izrazom v oklepajih in sešteti rezultate.

Za udobje zamenjamo razliko v oklepajih z zneskom:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Kot zadnjič smo prejeli izraz −3b+1. Vsi se bodo strinjali, da je bilo tokrat za reševanje tako preprostega primera porabljenega več časa. Zato je pametneje uporabiti že pripravljena pravila za odpiranje oklepajev, o katerih smo razpravljali v tej lekciji:

Vendar ne škodi vedeti, kako ta pravila delujejo.

V tej lekciji smo se naučili še eno stvar identična transformacija. Skupaj z odpiranjem oklepajev, dajanjem splošnega iz oklepajev in prinašanjem podobnih izrazov lahko nekoliko razširite obseg problemov, ki jih je treba rešiti. Na primer:

Tukaj morate izvesti dve dejanji - najprej odprite oklepaje in nato prinesite podobne pogoje. Torej po vrsti:

1) Odprite oklepaje:

2) Predstavljamo podobne pogoje:

V dobljenem izrazu −10b+(−1) lahko razširite oklepaje:

Primer 2. Odprite oklepaje in dodajte podobne izraze v naslednji izraz:

1) Odprimo oklepaje:

2) Predstavimo podobne izraze. Zaradi prihranka časa in prostora tokrat ne bomo zapisali, kako se koeficienti množijo z navadnim črkovnim delom

Primer 3. Poenostavite izraz 8m+3m in poiščite njegovo vrednost pri m=−4

1) Najprej poenostavimo izraz. Da poenostavimo izraz 8m+3m, lahko izločite skupni faktor m zunaj oklepaja:

2) Poiščite vrednost izraza m(8+3) pri m=−4. Če želite to narediti, v izrazu m(8+3) namesto spremenljivke m zamenjajte številko −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Ta del enačbe je izraz v oklepaju. Če želite odpreti oklepaj, poglejte znak pred oklepajem. Če je znak plus, odpiranje oklepaja v izrazu ne bo spremenilo ničesar: samo odstranite oklepaj. Če je znak minus, morate pri odpiranju oklepajev vse znake, ki so bili prvotno v oklepajih, spremeniti v nasprotne. Na primer -(2x-3)=-2x+3.

Množenje dveh oklepajev.
Če enačba vsebuje produkt dveh oklepajev, razširite oklepaje v skladu s standardnim pravilom. Vsak člen v prvem oklepaju se pomnoži z vsakim členom v drugem oklepaju. Dobljene številke se seštejejo. V tem primeru zmnožek dveh "plusov" ali dveh "minusov" daje izrazu znak "plus" in če imata faktorja različna znamenja, nato prejme znak minus.
Razmislimo.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Z odpiranjem oklepajev, včasih povišanjem izraza v . Formule za kvadriranje in kubiranje je treba poznati na pamet in si jih zapomniti.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formule za konstruiranje izraza, večjega od tri, je mogoče narediti z uporabo Pascalovega trikotnika.

Viri:

• formula za razširitev oklepaja

Matematične operacije v oklepajih lahko vsebujejo spremenljivke in izraze različnih stopenj kompleksnosti. Če želite pomnožiti takšne izraze, boste morali poiskati rešitev v splošni pogled, odpiranje oklepajev in poenostavitev rezultata. Če oklepaji vsebujejo operacije brez spremenljivk, samo s številskimi vrednostmi, potem odpiranje oklepajev ni potrebno, saj če imate računalnik, ima njegov uporabnik dostop do zelo pomembnih računalniških virov - lažje jih je uporabiti kot poenostaviti izraz.

Navodila

Če želite dobiti rezultat v splošni obliki, zaporedno pomnožite vsako (ali minuend z ), vsebovano v enem oklepaju, z vsebino vseh drugih oklepajev. Na primer, naj bo izvirni izraz zapisan takole: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Potem bo zaporedno množenje (to je odpiranje oklepajev) dalo naslednji rezultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Poenostavite rezultat tako, da skrajšate izraze. Na primer, izraz, dobljen v prejšnjem koraku, lahko poenostavimo na naslednji način: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Uporabite kalkulator, če morate pomnožiti x, ki je enak 4,75, to je (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Če želite izračunati to vrednost, pojdite na spletno stran iskalnika Google ali Nigma in v polje za poizvedbo vnesite izraz v izvirni obliki (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google bo prikazal 82.265625 takoj, brez klika na gumb, vendar mora Nigma poslati podatke na strežnik s klikom na gumb.