Çift parantez nasıl açılır? Çevrimiçi hesap makinesi Polinomların çarpılması.

Bu yazımızda parantez açmak gibi matematik dersinde bu kadar önemli bir konunun temel kurallarına detaylı bir şekilde bakacağız. Kullanıldığı denklemleri doğru çözebilmek için parantez açma kurallarını bilmeniz gerekir.

Ekleme sırasında parantezlerin doğru şekilde açılması

Başında “+” işareti bulunan parantezleri genişletin

Bu en basit durumdur çünkü parantezlerin önünde ekleme işareti varsa parantez açıldığında içlerindeki işaretler değişmez. Örnek:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Başında “-” işareti bulunan parantezlerin genişletilmesi

Bu durumda, tüm terimleri parantez olmadan yeniden yazmanız gerekir, ancak aynı zamanda içlerindeki tüm işaretleri de zıt işaretlerle değiştirmeniz gerekir. İşaretler yalnızca önünde "-" işareti bulunan parantezlerdeki terimler için değişir. Örnek:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Çarpma işleminde parantez nasıl açılır

Parantezlerden önce çarpan numarası var

Bu durumda her terimi bir faktörle çarpmanız ve işaretleri değiştirmeden parantezleri açmanız gerekir. Çarpanın “-” işareti varsa çarpma sırasında terimlerin işaretleri ters çevrilir. Örnek:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Aralarında çarpım işareti bulunan iki parantez nasıl açılır?

Bu durumda, ilk parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpmanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir. Örnek:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Bir karede parantez nasıl açılır

İki terimin toplamı veya farkının karesi alınırsa parantezler aşağıdaki formüle göre açılmalıdır:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Parantez içinde eksi olması durumunda formül değişmez. Örnek:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Parantezleri başka bir dereceye kadar genişletme

Terimlerin toplamı veya farkı örneğin 3. veya 4. kuvvete yükseltilirse, o zaman parantezin kuvvetini "karelere" bölmeniz yeterlidir. Aynı faktörlerin kuvvetleri eklenir ve bölme sırasında bölenin kuvveti, bölenin kuvvetinden çıkarılır. Örnek:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 parantez nasıl açılır

3 parantezin aynı anda çarpıldığı denklemler vardır. Bu durumda önce ilk iki parantez içindeki terimleri birbiriyle çarpmanız, ardından bu çarpımın toplamını üçüncü parantezdeki terimlerle çarpmanız gerekir. Örnek:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Parantez açmaya ilişkin bu kurallar, hem doğrusal hem de trigonometrik denklemlerin çözümüne eşit şekilde uygulanır.

Parantezlerin ana işlevi, değerleri hesaplarken eylemlerin sırasını değiştirmektir. Örneğin\(5·3+7\) sayısal ifadesinde önce çarpma, sonra toplama hesaplanır: \(5·3+7 =15+7=22\). Ancak \(5·(3+7)\) ifadesinde önce parantez içindeki toplama işlemi, sonra da çarpma işlemi hesaplanır: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Örnek. Parantezi genişletin: \(-(4m+3)\).
Çözüm : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Örnek. Parantezi açın ve benzer terimleri \(5-(3x+2)+(2+3x)\) verin.
Çözüm : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Örnek. Parantezleri genişletin \(5(3-x)\).
Çözüm : Parantez içinde \(3\) ve \(-x\) var ve köşeli parantezden önce beş var. Bu, parantezin her bir üyesinin \(5\) ile çarpıldığı anlamına gelir - size şunu hatırlatırım Matematikte bir sayı ile parantez arasındaki çarpma işareti girdilerin boyutunu küçültmek için yazılmaz..

Örnek. Parantezleri genişletin \(-2(-3x+5)\).
Çözüm : Önceki örnekte olduğu gibi parantez içindeki \(-3x\) ve \(5\) \(-2\) ile çarpılır.

Örnek. İfadeyi basitleştirin: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Çözüm : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Son durumu dikkate almaya devam ediyor.

Bir parantez bir parantezle çarpıldığında, birinci parantezdeki her terim ikincinin her terimiyle çarpılır:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Örnek. Parantezleri genişletin \((2-x)(3x-1)\).
Çözüm : Parantezlerden oluşan bir ürünümüz var ve yukarıdaki formül kullanılarak hemen genişletilebiliyor. Ancak kafamızın karışmaması için her şeyi adım adım yapalım.
Adım 1. İlk parantezi çıkarın - her üyeyi ikinci parantezle çarpın:

Adım 2. Yukarıda açıklandığı gibi parantezlerin çarpımlarını ve çarpanları genişletin:
- Her şey sırayla...

Sonra ikincisi.

Adım 3. Şimdi benzer terimleri çarpıyoruz ve sunuyoruz:

Tüm dönüşümleri bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, bunları hemen çoğaltabilirsiniz. Ancak parantez açmayı yeni öğreniyorsanız, detaylı yazarsanız hata yapma şansınız daha az olacaktır.

Bölümün tamamına not. Aslında dört kuralın tümünü hatırlamanıza gerek yok, yalnızca birini hatırlamanız yeterli: \(c(a-b)=ca-cb\) . Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız \((a-b)=a-b\) kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak \(-(a-b)=-a+b\) kuralını elde ederiz. Peki, c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.

Parantez içinde parantez

Bazen pratikte diğer parantezlerin içine yerleştirilmiş parantezlerle ilgili sorunlar yaşanabilir. İşte böyle bir göreve bir örnek: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadesini basitleştirin.

Bu tür görevleri başarıyla çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- parantezlerin yuvalanmasını dikkatlice anlayın - hangisinin içinde olduğunu;
- parantezleri, örneğin en içteki olandan başlayarak sırayla açın.

Braketlerden birini açarken önemlidir ifadenin geri kalanına dokunmayın, olduğu gibi yeniden yazıyorum.
Örnek olarak yukarıda yazılan göreve bakalım.

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Çözüm:

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\).
Çözüm :

Parantezleri genişletmek matematikte temel bir beceridir. Bu beceri olmadan 8. ve 9. sınıflarda C'nin üzerinde bir not almanız mümkün değildir. Bu nedenle bu konuyu iyi anlamanızı tavsiye ederim.

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Bu süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü hakkında henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesine matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar dahil edildi. ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil ile çalışır sabit hız. Yolunun sonraki her bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak, “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Fakat bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözümün sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranması gerekiyor.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için iki fotoğrafa ihtiyacınız var. farklı noktalar zamanın bir noktasında uzay, ancak onlardan hareketin gerçeğini belirlemek imkansızdır (doğal olarak hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyaç vardır, trigonometri size yardımcı olacaktır). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.

Gördüğünüz gibi "bir kümede iki özdeş eleman olamaz" ama bir kümede özdeş elemanlar varsa böyle bir kümeye "çoklu küme" denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaklar. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.

Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan faturaları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin aynı olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklıyoruz. özdeş elemanlar. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlar Her madalyonun kiri, kristal yapısı ve atomik dizilimi benzersizdir...

Ve şimdi en çok şeye sahibim faiz Sor: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.

18 Mart 2018 Pazar

Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.

Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar, sayıları yazdığımız grafik sembollerdir ve matematik dilinde görev şu şekildedir: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.

Belirli bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.

1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.

2. Ortaya çıkan bir resmi, bireysel sayılar içeren birkaç resme kestik. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.

3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.

4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. İşte bu matematik.

12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı şamanların "kesme ve dikme kurslarıdır". Ama hepsi bu değil.

Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İLE Büyük bir sayı 12345 Kafamı kandırmak istemem, ilgili yazıdan 26 sayısına bakalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.

Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.

Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.

Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları farklı ölçü birimleriyle karşılaştıramayız. Aynı miktarın farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, farklı sonuçlar Bunları karşılaştırdıktan sonra matematikle hiçbir ilgisi olmadığı anlamına gelir.

Gerçek matematik nedir? Bu, bir matematiksel işlemin sonucunun sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve bu işlemi kimin yaptığına bağlı olmadığı durumdur.

Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?

Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.

Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,

O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Şahsen ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (bir resim) (birkaç resimden oluşan bir kompozisyon: bir eksi işareti, dört rakamı, derecelerin gösterimi). Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntüleri algılama konusunda güçlü bir stereotipi var. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.

Şimdi parantez içindeki ifadenin bir sayı veya ifadeyle çarpıldığı ifadelerde parantez açma işlemine geçeceğiz. Başında eksi işareti bulunan parantezleri açmak için bir kural formüle edelim: Parantez ve eksi işareti atlanır ve parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri karşıtlarıyla değiştirilir.

İfade dönüşümlerinin bir türü parantezlerin genişletilmesidir. Sayısal, değişmez ve değişken ifadeler, eylemlerin sırasını belirtebilen, negatif bir sayı vb. içerebilen parantezler kullanılarak yazılabilir. Yukarıda anlatılan ifadelerde sayı ve değişkenler yerine herhangi bir ifadenin olabileceğini varsayalım.

Parantez açarken çözüm yazmanın özelliklerine ilişkin bir noktaya daha dikkat edelim. Bir önceki paragrafta açma parantezi denilen konuyu ele almıştık. Bunu yapmak için, şimdi inceleyeceğimiz parantez açma kuralları vardır. Bu kural, pozitif sayıların genellikle parantezsiz yazılması gerçeğinden kaynaklanmaktadır; bu durumda parantezlerin kullanılmasına gerek yoktur. (−3,7)−(−2)+4+(−9) ifadesi parantezsiz −3,7+2+4−9 şeklinde yazılabilir.

Son olarak kuralın üçüncü kısmı, negatif sayıların ifadede sola yazılmasının (negatif sayıların yazılması için parantezlerle ilgili bölümde bahsettiğimiz) özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Bir sayı, eksi işareti ve birkaç çift parantezden oluşan ifadelerle karşılaşabilirsiniz. İçten dışa doğru hareket ederek parantezleri açarsanız, çözüm şu şekilde olacaktır: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Parantez nasıl açılır?

Açıklaması şöyle: −(−2 x) +2 x'tir ve bu ifade ilk sırada geldiği için +2 x 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 şeklinde yazılabilir. /x ve −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Parantez açmaya ilişkin yazılı kuralın ilk kısmı, doğrudan negatif sayıları çarpma kuralından gelir. İkinci kısmı, sayıları farklı işaretlerle çarpma kuralının bir sonucudur. Farklı işaretli iki sayının çarpımlarında ve bölümlerinde parantez açma örneklerine geçelim.

Açılış parantezleri: kurallar, örnekler, çözümler.

Yukarıdaki kural, bu eylemlerin tüm zincirini hesaba katar ve parantez açma sürecini önemli ölçüde hızlandırır. Aynı kural, toplam ve fark olmayan, eksi işaretiyle çarpım ve kısmi ifade olan ifadelerde parantez açmanıza olanak tanır.

Bu kuralın uygulanmasına ilişkin örneklere bakalım. İlgili kuralı verelim. Yukarıda, parantezsiz sırasıyla −a ve a olarak yazılan −(a) ve −(−a) biçimindeki ifadelerle karşılaştık. Örneğin, −(3)=3 ve. Bunlar belirtilen kuralın özel durumlarıdır. Şimdi toplam veya fark içerdiğinde parantez açma örneklerine bakalım. Bu kuralı kullanmanın örneklerini gösterelim. (b1+b2) ifadesini b olarak gösterelim, ardından parantez içindeki ifadeyi önceki paragraftaki ifadeyle çarpma kuralını kullanırsak, (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) elde ederiz. ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Tümevarım yoluyla, bu ifade her parantez içindeki keyfi sayıda terime genişletilebilir. Önceki paragraflardaki kuralları kullanarak elde edilen ifadedeki parantezleri açmaya devam ediyoruz, sonunda 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· elde ediyoruz. 2·x·y3.

Matematikte kural parantezlerin önünde (+) ve (-) varsa parantez açmaktır.

Bu ifade üç faktörün (2+4), 3 ve (5+7·8) çarpımıdır. Parantezleri sırayla açmanız gerekecektir. Şimdi bir parantezi bir sayıyla çarpma kuralını kullanırsak, ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) elde ederiz. Tabanları parantez içinde yazılan bazı ifadelerden oluşan, doğal üslü dereceler, birkaç parantezlerin çarpımı olarak düşünülebilir.

Örneğin (a+b+c)2 ifadesini dönüştürelim. İlk önce bunu iki parantez (a+b+c)·(a+b+c)'nin çarpımı olarak yazıyoruz, şimdi bir parantezi bir parantezle çarpıyoruz, a·a+a·b+a·c+ elde ediyoruz b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Ayrıca iki sayının toplamlarını ve farklarını doğal kuvvete yükseltmek için Newton'un binom formülünü kullanmanın tavsiye edildiğini de söyleyeceğiz. Örneğin, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Önce bölmeyi çarpma ile değiştirmek ve ardından bir çarpımdaki parantezleri açmak için karşılık gelen kuralı kullanmak daha az uygun değildir.

Örnekleri kullanarak parantez açma sırasını anlamak kalır. (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7) ifadesini alalım. Bu sonuçları orijinal ifadede yerine koyarız: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7). Geriye kalan tek şey parantezleri açmayı bitirmek, sonuç olarak −5+3·2:4+6·7 elde ederiz. Bu, eşitliğin sol tarafından sağa doğru gidildiğinde parantezlerin açılmasının meydana geldiği anlamına gelir.

Her üç örnekte de sadece parantezleri kaldırdığımızı unutmayın. Öncelikle 889'a 445'i ekleyin. Bu işlem zihinsel olarak yapılabilir ancak çok kolay değildir. Parantezleri açalım ve değiştirilen prosedürün hesaplamaları önemli ölçüde kolaylaştıracağını görelim.

Parantezleri başka bir dereceye kadar genişletme

Örnek ve kuralın açıklanması. Bir örneğe bakalım: . Bir ifadenin değerini, 2 ile 5'i toplayıp, elde edilen sayıyı ters işaretle alarak bulabilirsiniz. Parantez içinde iki değil üç veya daha fazla terim olması durumunda kural değişmez. Yorum. İşaretler yalnızca terimlerin önünde ters çevrilir. Parantezleri açmak için bu durumda dağılma özelliğini hatırlamamız gerekiyor.

Parantez içindeki tek sayılar için

Hatanız işaretlerde değil, kesirlerin yanlış işlenmesinde mi? 6. sınıfta pozitif ve negatif sayıları öğrendik. Örnekleri ve denklemleri nasıl çözeceğiz?

Parantez içinde ne kadar var? Bu ifadeler hakkında neler söyleyebilirsiniz? Elbette birinci ve ikinci örneklerin sonucu aynı yani aralarına eşittir işareti koyabiliriz: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Parantezleri ne yaptık?

Parantez açma kurallarını içeren 6. slaytın gösterimi. Böylece parantez açma kuralları örnekleri çözmemize ve ifadeleri basitleştirmemize yardımcı olacaktır. Daha sonra öğrencilerden çiftler halinde çalışmaları istenir: Parantez içeren ifadeyi parantezsiz karşılık gelen ifadeye bağlamak için okları kullanmaları gerekir.

Slayt 11 Sunny City'ye vardıklarında Znayka ve Dunno hangisinin denklemi doğru çözdüğünü tartıştılar. Daha sonra öğrenciler parantez açma kurallarını kullanarak denklemi kendi başlarına çözerler. Denklemleri çözme” Ders hedefleri: eğitici (konuyla ilgili bilginin pekiştirilmesi: “Parantezlerin açılması.

Ders konusu: “Parantez açma. Bu durumda, ilk parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpmanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir. İlk olarak, bir parantez içine alınan ilk iki faktör alınır ve bu parantezler içinde parantezler zaten bilinen kurallardan birine göre açılır.

rawalan.freezeet.ru

Açılış parantezleri: kurallar ve örnekler (7. sınıf)

Parantezlerin ana işlevi, değerleri hesaplarken eylemlerin sırasını değiştirmektir. sayısal ifadeler . Örneğin\(5·3+7\) sayısal ifadesinde önce çarpma, sonra toplama hesaplanır: \(5·3+7 =15+7=22\). Ancak \(5·(3+7)\) ifadesinde önce parantez içindeki toplama işlemi, sonra da çarpma işlemi hesaplanır: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Ancak eğer ilgilenirsek cebirsel ifade kapsamak değişken- örneğin şu şekilde: \(2(x-3)\) - o zaman parantez içindeki değeri hesaplamak imkansızdır, değişken yoldadır. Dolayısıyla bu durumda parantezler uygun kurallar kullanılarak "açılır".

Parantez açma kuralları

Parantez önünde bir artı işareti varsa, parantez basitçe kaldırılır, içindeki ifade değişmeden kalır. Başka bir deyişle:

Burada şunu açıklığa kavuşturmak gerekir ki matematikte notasyonları kısaltmak için, artı işareti ifadede ilk sırada görünüyorsa yazmamak gelenekseldir. Örneğin, yedi ve üç gibi iki pozitif sayıyı toplarsak, yedinin de pozitif bir sayı olmasına rağmen \(+7+3\) değil, yalnızca \(7+3\) yazarız. . Benzer şekilde, örneğin \((5+x)\) ifadesini görürseniz şunu bilin: parantezden önce yazılmayan bir artı var.

Örnek . Parantezi açın ve benzer terimleri verin: \((x-11)+(2+3x)\).
Çözüm : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Parantez önünde eksi işareti varsa, parantez kaldırıldığında içindeki ifadenin her terimi işareti tersine değiştirir:

Burada a parantez içindeyken bir artı işareti olduğunu (sadece yazmadılar) ve parantez çıkarıldıktan sonra bu artının eksiye dönüştüğünü açıklığa kavuşturmak gerekir.

Örnek : \(2x-(-7+x)\) ifadesini basitleştirin.
Çözüm : parantez içinde iki terim vardır: \(-7\) ve \(x\) ve parantezden önce bir eksi vardır. Bu, işaretlerin değişeceği ve yedinin artık artı, x'in ise eksi olacağı anlamına gelir. Braketi açın ve benzer terimler sunuyoruz .

Örnek. Parantezi açın ve benzer terimleri \(5-(3x+2)+(2+3x)\) verin.
Çözüm : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Braketin önünde bir faktör varsa, braketin her bir elemanı bununla çarpılır, yani:

Örnek. Parantezleri genişletin \(5(3-x)\).
Çözüm : Parantez içinde \(3\) ve \(-x\) var ve köşeli parantezden önce beş var. Bu, parantezin her bir üyesinin \(5\) ile çarpıldığı anlamına gelir - size şunu hatırlatırım Matematikte bir sayı ile parantez arasındaki çarpma işareti girdilerin boyutunu küçültmek için yazılmaz..

Örnek. Parantezleri genişletin \(-2(-3x+5)\).
Çözüm : Önceki örnekte olduğu gibi parantez içindeki \(-3x\) ve \(5\) \(-2\) ile çarpılır.

Son durumu dikkate almaya devam ediyor.

Bir parantez bir parantezle çarpıldığında, birinci parantezdeki her terim ikincinin her terimiyle çarpılır:

Örnek. Parantezleri genişletin \((2-x)(3x-1)\).
Çözüm : Parantezlerden oluşan bir ürünümüz var ve yukarıdaki formül kullanılarak hemen genişletilebiliyor. Ancak kafamızın karışmaması için her şeyi adım adım yapalım.
Adım 1. İlk parantezi çıkarın ve her üyeyi ikinci parantezle çarpın:

Adım 2. Yukarıda açıklandığı gibi parantezlerin çarpımlarını ve çarpanları genişletin:
- Her şey sırayla...

Adım 3. Şimdi benzer terimleri çarpıyoruz ve sunuyoruz:

Tüm dönüşümleri bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, bunları hemen çoğaltabilirsiniz. Ancak parantez açmayı yeni öğreniyorsanız, detaylı yazarsanız hata yapma şansınız daha az olacaktır.

Bölümün tamamına not. Aslında dört kuralın tümünü hatırlamanıza gerek yok, yalnızca birini hatırlamanız yeterli: \(c(a-b)=ca-cb\) . Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız \((a-b)=a-b\) kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak \(-(a-b)=-a+b\) kuralını elde ederiz. Peki, c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.

Parantez içinde parantez

Bazen pratikte diğer parantezlerin içine yerleştirilmiş parantezlerle ilgili sorunlar yaşanabilir. İşte böyle bir göreve bir örnek: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadesini basitleştirin.

Bu tür görevleri başarıyla çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- parantezlerin yuvalanmasını dikkatlice anlayın - hangisinin içinde olduğunu;
— parantezleri örneğin en içteki olandan başlayarak sırayla açın.

Braketlerden birini açarken önemlidir ifadenin geri kalanına dokunmayın, olduğu gibi yeniden yazıyorum.
Örnek olarak yukarıda yazılan göreve bakalım.

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Çözüm:

İç braketi (içerideki) açarak göreve başlayalım. Genişleterek, yalnızca onunla doğrudan ilgili olanla ilgileniyoruz - bu, braketin kendisi ve önündeki eksidir (yeşil renkle vurgulanmıştır). Geriye kalan her şeyi (vurgulanmamış) olduğu gibi yeniden yazıyoruz.

Matematik problemlerini çevrimiçi çözme

Cevrimici hesap makinesi.
Bir polinomun basitleştirilmesi.
Polinomların çarpımı.

Bu matematik programıyla bir polinomu basitleştirebilirsiniz.
Program çalışırken:
- polinomları çarpar
— tek terimlileri özetler (benzerlerini verir)
- parantezleri açar
- bir polinomun üssünü yükseltir

Polinom sadeleştirme programı sadece problemin cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı bir çözüm sunar; matematik ve/veya cebir bilginizi kontrol edebilmeniz için çözüm sürecini görüntüler.

Bu program öğrenciler için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bir saniye bekleyin.

Küçük bir teori.

Bir monom ve bir polinomun çarpımı. Polinom kavramı

Cebirde ele alınan çeşitli ifadeler arasında monomların toplamları önemli bir yer tutar. İşte bu tür ifadelere örnekler:

Monomiyallerin toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.

Tüm terimleri standart formdaki tek terimli formda temsil edelim:

Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:

Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.

Arka polinom derecesi standart bir biçimde üyelerinin yetkilerinden en yüksek olanı alır. Böylece, bir binom üçüncü dereceye, bir trinomial ise ikinci dereceye sahiptir.

Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:

Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).

Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Kapalı parantez, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:

Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.

Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.

Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, bir monom ile bir polinomun çarpımını bir polinoma dönüştürebilirsiniz (basitleştirebilirsiniz). Örneğin:

Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.

Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.

Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.

Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her terimi ile diğerinin her teriminin çarpımının toplamına özdeştir.

Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı

Cebirsel dönüşümlerde bazı ifadelerle diğerlerinden daha sık uğraşmanız gerekir. Belki de en yaygın ifadeler u'dur, yani toplamın karesi, farkın karesi ve kareler farkı. Bu ifadelerin adlarının eksik gibi göründüğünü fark etmişsinizdir, örneğin bu elbette sadece toplamın karesi değil, a ve b toplamının karesidir. Ancak a ve b toplamının karesi kural olarak çok sık görülmez; a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.

İfadeler kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir); aslında, polinomları çarparken böyle bir görevle zaten karşılaştınız:

Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.

- Toplamın karesi, kareler ve çift çarpımın toplamına eşittir.

- Farkın karesi, çift çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.

- Kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.

Bu üç kimlik, dönüşümlerde kişinin sol kısımlarını sağ taraftaki kısımlarla değiştirmesine ve sağ taraftaki kısımları da sol taraftaki kısımlarla değiştirmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.

Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı özetleri ve OGE testleri Çevrimiçi oyunlar, bulmacalar Grafik fonksiyonları yazım sözlüğü Rus dili Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya'nın orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Sorun listesi GCD ve LCM'yi bulma Bir polinomu basitleştirme (polinomları çarpma) Bir polinomu bir sütunla bir polinoma bölme Sayısal kesirleri hesaplama Sayısal kesirleri hesaplama yüzdeler Karmaşık sayılar: toplam, fark, çarpım ve bölüm Sistemler 2 -X doğrusal denklemler iki değişkenli Çözüm ikinci dereceden denklem Bir binomun karesini ayırma ve ikinci dereceden bir trinomiyeli çarpanlarına ayırma Eşitsizlikleri çözme Eşitsizlik sistemlerini çözme İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizme Kesirli-doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizme Aritmetik ve geometrik ilerlemeleri çözme Trigonometrik, üstel, logaritmik denklemleri çözme Limitleri, türevleri, teğetleri hesaplama İntegral, antiderivatif Üçgenleri çözme Vektörlerle eylemlerin hesaplanması Doğrular ve düzlemlerle eylemlerin hesaplanması Alan geometrik şekiller Geometrik şekillerin çevresi Geometrik cisimlerin hacmi Geometrik cisimlerin yüzey alanı
Trafik Durumu Oluşturucu
Hava durumu - haberler - burçlar

www.mathsolution.ru

Genişleyen parantez

Cebirin temellerini incelemeye devam ediyoruz. Bu dersimizde ifadelerde parantezlerin nasıl genişletileceğini öğreneceğiz. Parantezleri genişletmek, parantezlerin ifadeden kaldırılması anlamına gelir.

Parantez açmak için yalnızca iki kuralı ezberlemeniz gerekir. Düzenli pratik yaparak gözleriniz kapalıyken parantezleri açabilir ve ezberlenmesi gereken kuralları güvenle unutabilirsiniz.

Parantez açmanın ilk kuralı

Aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun:

Bu ifadenin değeri 2 . Bu ifadedeki parantezleri açalım. Parantezleri genişletmek, ifadenin anlamını etkilemeden onlardan kurtulmak anlamına gelir. Yani parantezlerden kurtulduktan sonra ifadenin değeri 8+(−9+3) hala ikiye eşit olmalı.

Parantez açmanın ilk kuralı şudur:

Parantez açılırken parantezlerin önünde bir artı varsa bu artı parantezlerle birlikte atlanır.

Yani ifadede şunu görüyoruz 8+(−9+3) Parantezlerin önünde artı işareti bulunur. Bu artı parantezlerle birlikte atlanmalıdır. Yani parantezlerin önünde duran artı ile birlikte ortadan kaybolacaktır. Ve parantez içindekiler değişiklik yapılmadan yazılacaktır:

8−9+3 . Bu ifade eşittir 2 , önceki parantezli ifade gibi şuna eşitti: 2 .

8+(−9+3) Ve 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Örnek 2.İfadedeki parantezleri genişlet 3 + (−1 − 4)

Parantezlerin önünde bir artı vardır, bu da parantezlerle birlikte bu artının da atlandığı anlamına gelir. Parantez içindekiler değişmeden kalacaktır:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Örnek 3.İfadedeki parantezleri genişlet 2 + (−1)

Bu örnekte parantezlerin açılması, çıkarmanın toplamayla değiştirilmesinin bir tür ters işlemi haline geldi. Bu ne anlama geliyor?

İfadede 2−1 çıkarma meydana gelir, ancak toplama ile değiştirilebilir. Daha sonra ifadeyi elde ederiz 2+(−1) . Ama eğer ifadede 2+(−1) parantezleri açın, orijinali alırsınız 2−1 .

Bu nedenle parantez açmanın ilk kuralı, bazı dönüşümlerden sonra ifadeleri basitleştirmek için kullanılabilir. Yani parantezlerden kurtulun ve daha basit hale getirin.

Örneğin ifadeyi basitleştirelim 2a+a−5b+b .

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler verilebilir. Benzer terimleri azaltmak için benzer terimlerin katsayılarını toplayıp sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerektiğini hatırlayalım:

Bir ifade var 3a+(−4b). Bu ifadedeki parantezleri kaldıralım. Parantezlerin önünde bir artı var, bu yüzden parantezleri açmak için ilk kuralı kullanıyoruz, yani parantezleri bu parantezlerden önce gelen artı ile birlikte atlıyoruz:

Yani ifade 2a+a−5b+b basitleştirir 3a−4b .

Bazı parantezleri açtıktan sonra yol boyunca başkalarıyla da karşılaşabilirsiniz. İlkine uyguladığımız kuralların aynısını onlara da uyguluyoruz. Örneğin aşağıdaki ifadede parantezleri genişletelim:

Parantezleri açmanız gereken iki yer var. Bu durumda, parantez açmanın ilk kuralı uygulanır; yani parantezlerin önündeki artı işaretiyle birlikte parantezlerin atlanması:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Örnek 3.İfadedeki parantezleri genişlet 6+(−3)+(−2)

Parantezlerin bulunduğu her iki yerde de önüne bir artı konur. Burada yine parantez açmanın ilk kuralı geçerlidir:

Bazen parantez içindeki ilk terim işaretsiz olarak yazılır. Örneğin, ifadede 1+(2+3−4) parantez içindeki ilk terim 2 işaretsiz yazılmıştır. Şu soru ortaya çıkıyor: Parantez ve parantezlerin önündeki artı çıkarıldıktan sonra ikisinin önünde hangi işaret görünecek? Cevap kendini gösteriyor - ikisinin önünde bir artı olacak.

Aslında parantez içinde bile ikisinin önünde artı var ama yazılmadığı için göremiyoruz. Pozitif sayıların tam gösteriminin şuna benzediğini söylemiştik: +1, +2, +3. Ancak geleneğe göre artılar yazılmaz, bu yüzden bize tanıdık gelen pozitif sayıları görürüz. 1, 2, 3 .

Bu nedenle ifadedeki parantezleri genişletmek için 1+(2+3−4) , her zamanki gibi parantezleri ve bu parantezlerin önündeki artı işaretini çıkarmanız gerekir, ancak parantez içindeki ilk terimi artı işaretiyle yazmanız gerekir:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Örnek 4.İfadedeki parantezleri genişlet −5 + (2 − 3)

Parantezlerin önünde bir artı var, dolayısıyla parantezleri açarken ilk kuralı uyguluyoruz, yani parantezleri bu parantezlerin önüne gelen artı ile birlikte atlıyoruz. Ancak parantez içinde artı işaretiyle yazdığımız ilk terim:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Örnek 5.İfadedeki parantezleri genişlet (−5)

Parantezlerin önünde artı var ama önünde başka sayı veya ifade olmadığı için yazılmıyor. Görevimiz parantez açmanın ilk kuralını uygulayarak parantezleri kaldırmak yani bu artı ile birlikte parantezleri atlamak (görünmese bile)

Örnek 6.İfadedeki parantezleri genişlet 2a + (−6a + b)

Parantezlerin önünde bir artı vardır, bu da parantezlerle birlikte bu artının da atlandığı anlamına gelir. Parantez içindekiler değiştirilmeden yazılacaktır:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Örnek 7.İfadedeki parantezleri genişlet 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Bu ifadede parantezleri genişletmeniz gereken iki yer var. Her iki bölümde de parantezlerin önünde bir artı vardır, bu da bu artının parantezlerle birlikte atlandığı anlamına gelir. Parantez içindekiler değiştirilmeden yazılacaktır:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Parantez açmanın ikinci kuralı

Şimdi parantez açmanın ikinci kuralına bakalım. Parantezlerin önünde eksi olduğu durumlarda kullanılır.

Parantezlerden önce bir eksi varsa, bu eksi parantezlerle birlikte atlanır, ancak parantez içindeki terimler işaretlerini tersine değiştirir.

Örneğin aşağıdaki ifadede parantezleri genişletelim

Parantezlerin önünde bir eksi olduğunu görüyoruz. Bu, ikinci genişletme kuralını uygulamanız gerektiği anlamına gelir; yani parantezleri ve bu parantezlerin önündeki eksi işaretini atlayın. Bu durumda parantez içindeki terimlerin işaretleri ters yönde değişecektir:

Parantezsiz bir ifademiz var 5+2+3 . Bu ifade 10'a eşittir, tıpkı önceki parantezli ifadenin 10'a eşit olması gibi.

Böylece ifadeler arasında 5−(−2−3) Ve 5+2+3 aynı değere eşit oldukları için eşittir işareti koyabilirsiniz:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Örnek 2.İfadedeki parantezleri genişlet 6 − (−2 − 5)

Parantezlerin önünde bir eksi var, dolayısıyla parantezleri açarken ikinci kuralı uyguluyoruz, yani parantezleri ve bu parantezlerin önüne gelen eksileri atlıyoruz. Bu durumda parantez içindeki terimleri zıt işaretlerle yazıyoruz:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Örnek 3.İfadedeki parantezleri genişlet 2 − (7 + 3)

Parantezlerin önünde bir eksi var, bu yüzden parantezleri açarken ikinci kuralı uyguluyoruz:

Örnek 4.İfadedeki parantezleri genişlet −(−3 + 4)

Örnek 5.İfadedeki parantezleri genişlet −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Parantezleri açmanız gereken iki yer var. İlk durumda parantez açmak için ikinci kuralı uygulamanız gerekir ve sıra ifadeye gelince +(−9−2) ilk kuralı uygulamanız gerekir:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Örnek 6.İfadedeki parantezleri genişlet −(−a − 1)

Örnek 7.İfadedeki parantezleri genişlet −(4a + 3)

Örnek 8.İfadedeki parantezleri genişlet A − (4b + 3) + 15

Örnek 9.İfadedeki parantezleri genişlet 2a + (3b - b) - (3c + 5)

Parantezleri açmanız gereken iki yer var. İlk durumda parantez açmak için ilk kuralı uygulamanız gerekir ve sıra ifadeye gelince −(3c+5) ikinci kuralı uygulamanız gerekir:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

Örnek 10.İfadedeki parantezleri genişlet −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Braketleri açmanız gereken üç yer var. Öncelikle parantez açmak için ikinci kuralı, ardından birinci kuralı ve sonra tekrar ikinci kuralı uygulamanız gerekir:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Braket açma mekanizması

Şimdi incelediğimiz parantez açma kuralları, çarpmanın dağılım yasasına dayanmaktadır:

Aslında parantez açma ortak faktörün parantez içindeki her terimle çarpılması işlemidir. Bu çarpma sonucunda parantezler kaybolur. Örneğin ifadedeki parantezleri genişletelim 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Bu nedenle, bir sayıyı parantez içindeki bir ifadeyle çarpmanız (veya parantez içindeki bir ifadeyi bir sayıyla çarpmanız) gerekiyorsa, şunu söylemeniz gerekir: parantezleri açalım.

Peki çarpmanın dağılım yasasının daha önce incelediğimiz parantez açma kurallarıyla ilişkisi nedir?

Gerçek şu ki, herhangi bir parantezden önce ortak bir faktör var. Örnekte 3×(4+5) ortak faktör 3 . Ve örnekte a(b+c) ortak faktör bir değişkendir A.

Parantezlerden önce sayı veya değişken yoksa ortak çarpan şudur: 1 veya −1 parantezlerin önünde hangi işaretin olduğuna bağlı olarak. Parantezlerin önünde artı varsa ortak çarpan şudur: 1 . Parantezlerden önce eksi varsa ortak çarpan şudur: −1 .

Örneğin ifadedeki parantezleri genişletelim. −(3b−1). Parantezlerin önünde bir eksi işareti vardır, bu nedenle parantezleri açmak için ikinci kuralı kullanmanız gerekir, yani parantezlerin önündeki eksi işaretiyle birlikte parantezleri de atlayın. Ve parantez içindeki ifadeyi zıt işaretlerle yazın:

Parantezleri genişletme kuralını kullanarak parantezleri genişlettik. Ancak aynı parantezler çarpmanın dağıtım kanunu kullanılarak açılabilir. Bunu yapmak için, önce parantezlerin önüne yazılmayan ortak faktör 1'i yazın:

Daha önce parantezlerin önünde duran eksi işareti bu birime işaret ediyordu. Artık çarpmanın dağıtım yasasını kullanarak parantezleri açabilirsiniz. Bu amaçla ortak faktör −1 parantez içindeki her terimi çarpmanız ve sonuçları eklemeniz gerekir.

Kolaylık olması açısından parantez içindeki farkı şu tutarla değiştiririz:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Geçen seferki gibi ifadeyi aldık −3b+1. Bu kadar basit bir örneği çözmek için bu sefer daha fazla zaman harcandığı konusunda herkes hemfikir olacaktır. Bu nedenle parantez açmak için bu derste tartıştığımız hazır kuralları kullanmak daha akıllıca olacaktır:

Ancak bu kuralların nasıl çalıştığını bilmenin zararı olmaz.

Bu derste bir şeyi daha öğrendik özdeş dönüşüm. Parantezleri açmak, geneli parantezlerin dışına çıkarmak ve benzer terimleri getirmekle birlikte çözülmesi gereken problemlerin kapsamını biraz genişletebilirsiniz. Örneğin:

Burada iki eylem gerçekleştirmeniz gerekiyor - önce parantezleri açın ve ardından benzer terimleri getirin. Yani sırasıyla:

1) Braketleri açın:

2) Benzer terimleri sunuyoruz:

Ortaya çıkan ifadede −10b+(−1) parantezleri genişletebilirsiniz:

Örnek 2. Parantezleri açın ve aşağıdaki ifadeye benzer terimleri ekleyin:

1) Parantezleri açalım:

2) Benzer terimleri sunalım. Bu kez zamandan ve yerden tasarruf etmek için katsayıların ortak harf kısmıyla nasıl çarpıldığını yazmayacağız.

Örnek 3. Bir ifadeyi basitleştirme 8m+3m ve değerini bulun m=−4

1) Öncelikle ifadeyi basitleştirelim. İfadeyi basitleştirmek için 8m+3m, içindeki ortak çarpanı çıkarabilirsiniz M parantezlerin dışında:

2) İfadenin değerini bulun m(8+3) en m=−4. Bunu yapmak için ifadede m(8+3) değişken yerine M numarayı değiştir −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Denklemin o kısmı parantez içindeki ifadedir. Parantez açmak için parantezlerin önündeki işarete bakın. Artı işareti varsa, ifadedeki parantezlerin açılması hiçbir şeyi değiştirmez; yalnızca parantezleri kaldırın. Eksi işareti varsa, parantezleri açarken, başlangıçta parantez içinde olan tüm işaretleri zıt işaretlerle değiştirmeniz gerekir. Örneğin, -(2x-3)=-2x+3.

İki parantez çarpımı.
Denklem iki parantezin çarpımını içeriyorsa, parantezleri standart kurala göre genişletin. Birinci parantez içindeki her terim, ikinci parantez içindeki her terimle çarpılır. Ortaya çıkan sayılar toplanır. Bu durumda iki “artı” ya da iki “eksi”nin çarpımı terime “artı” işareti verir ve eğer faktörler farklı işaretler, ardından bir eksi işareti alır.
Hadi düşünelim.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Parantezleri açarak, bazen bir ifadeyi yükselterek. Kare ve küp formüllerinin ezbere bilinmesi ve hatırlanması gerekir.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Üçten büyük bir ifade oluşturmaya yönelik formüller Pascal üçgeni kullanılarak yapılabilir.

Kaynaklar:

• parantez genişletme formülü

Parantez içine alınmış matematiksel işlemler, değişen karmaşıklık derecelerinde değişkenler ve ifadeler içerebilir. Bu tür ifadeleri çoğaltmak için bir çözüm aramanız gerekecek. Genel görünüm, parantezlerin açılması ve sonucun basitleştirilmesi. Köşeli parantezler değişkensiz, yalnızca sayısal değerler içeren işlemler içeriyorsa, o zaman parantezlerin açılması gerekli değildir, çünkü bir bilgisayarınız varsa kullanıcısı çok önemli bilgi işlem kaynaklarına erişebilir - bunları kullanmak ifadeyi basitleştirmekten daha kolaydır.

Talimatlar

Sonucu genel biçimde elde etmek istiyorsanız, bir parantez içindeki her birini (veya eksilenleri) diğer tüm parantezlerin içeriğiyle sırayla çarpın. Örneğin orijinal ifade şu şekilde yazılsın: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). O zaman sıralı çarpma (yani parantezlerin açılması) şu sonucu verecektir: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

İfadeleri kısaltarak sonucu basitleştirin. Örneğin, önceki adımda elde edilen ifade şu şekilde basitleştirilebilir: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

X eşittir 4,75'i çarpmanız gerekiyorsa bir hesap makinesi kullanın, yani (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Bu değeri hesaplamak için Google veya Nigma arama motoru sitesine gidin ve sorgu alanına ifadeyi orijinal haliyle (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) girin. Google, hiçbir düğmeye basmadan 82.265625'i hemen gösterecektir, ancak Nigma'nın bir düğmeye basarak sunucuya veri göndermesi gerekir.