Çevrimiçi rasyonel ifadeyi basitleştirin. Cebirsel ifadeler nasıl basitleştirilir
§ 1 Gerçek bir ifadeyi basitleştirme kavramı
Bu derste "benzer terimler" kavramıyla tanışacağız ve örnekler kullanarak benzer terimlerin indirgenmesini, böylece gerçek ifadelerin nasıl basitleştirileceğini öğreneceğiz.
“Basitleştirme” kavramının anlamını bulalım. “Basitleştirme” sözcüğü “basitleştirme” sözcüğünden türetilmiştir. Basitleştirmek, basitleştirmek, daha basit hale getirmek anlamına gelir. Bu nedenle, bir harf ifadesini basitleştirmek, onu minimum sayıda eylemle kısaltmaktır.
9x + 4x ifadesini düşünün. Bu bir toplam olan gerçek bir ifadedir. Buradaki terimler bir sayı ve bir harfin ürünleri olarak sunulmaktadır. Bu tür terimlerin sayısal faktörüne katsayı denir. Bu ifadede katsayılar 9 ve 4 sayıları olacaktır. Harfin temsil ettiği çarpanın bu toplamın her iki teriminde de aynı olduğuna dikkat ediniz.
Çarpmanın dağılım yasasını hatırlayalım:
Bir toplamı bir sayıyla çarpmak için her terimi bu sayıyla çarpabilir ve elde edilen çarpımları ekleyebilirsiniz.
İÇİNDE Genel görünümşu şekilde yazılır: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Bu yasa her iki yönde de doğrudur ac + bc = (a + b) ∙ c
Bunu harfi harfine ifademize uygulayalım: 9x ile 4x'in çarpımlarının toplamı, birinci çarpanı 9 ile 4'ün toplamına eşit olan ve ikinci çarpanı x olan bir çarpıma eşittir.
9 + 4 = 13, yani 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
İfadede üç işlem yerine tek bir işlem kalıyor; çarpma. Bu, harfiyen ifademizi daha basit hale getirdiğimiz anlamına gelir; basitleştirdi.
§ 2 Benzer terimlerin azaltılması
9x ve 4x terimleri yalnızca katsayılarında farklılık gösterir - bu tür terimlere benzer denir. Benzer terimlerin harf kısımları aynıdır. Benzer terimler aynı zamanda sayıları ve eşit terimleri de içerir.
Örneğin, 9a + 12 - 15 ifadesinde benzer terimler 12 ve -15 sayıları olacak ve 12 ve 6a'nın çarpımının toplamında, 14 sayısı ve 12 ile 6a'nın çarpımı (12 ∙ 6a + 14) olacaktır. + 12 ∙ 6a) 12 ve 6a'nın çarpımı ile temsil edilen eşit terimler.
Katsayıları eşit ancak harf faktörleri farklı olan terimlerin benzer olmadığını belirtmek önemlidir; ancak bazen bunlara dağıtım çarpma yasasını uygulamak yararlı olabilir; örneğin, 5x ve 5y çarpımlarının toplamı şu şekildedir: 5 sayısının çarpımı ile x ve y'nin toplamına eşittir
5x + 5y = 5(x + y).
-9a + 15a - 4 + 10 ifadesini basitleştirelim.
Bu durumda benzer terimler -9a ve 15a terimleridir, çünkü bunlar yalnızca katsayılarında farklılık gösterir. Harf çarpanları aynıdır ve sayı oldukları için -4 ve 10 terimleri de benzerdir. Benzer terimleri ekleyin:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Şunu elde ederiz: 6a + 6.
İfadeyi basitleştirerek benzer terimlerin toplamlarını bulduk; matematikte buna benzer terimlerin indirgenmesi denir.
Bu tür terimleri eklemek zorsa, onlar için kelimeler bulabilir ve nesneler ekleyebilirsiniz.
Örneğin şu ifadeyi düşünün:
Her harf için kendi nesnemizi alırız: b-elma, c-armut, sonra şunu elde ederiz: 2 elma eksi 5 armut artı 8 armut.
Armutları elmalardan çıkarabilir miyiz? Tabii ki değil. Ama eksi 5 armuta 8 armut ekleyebiliriz.
Benzer terimleri sunalım -5 armut + 8 armut. Benzer terimlerin harf kısmı aynı olduğundan benzer terimleri getirirken katsayıları toplayıp harf kısmını sonuca eklemek yeterlidir:
(-5 + 8) armut - 3 armut alırsınız.
Kelimenin tam anlamıyla ifademize dönersek -5 s + 8 s = 3 s elde ederiz. Böylece benzer terimler getirilerek 2b + 3c ifadesi elde edilir.
Yani bu derste "benzer terimler" kavramıyla tanıştınız ve benzer terimleri azaltarak harfli ifadeleri nasıl basitleştireceğinizi öğrendiniz.
Kullanılan literatürün listesi:
- Matematik. 6. Sınıf: I.I.’nin ders kitabı için ders planları. Zubareva, A.G. Mordkovich // yazar-derleyici L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Matematik. 6. sınıf: öğrenciler için ders kitabı Eğitim Kurumları. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich. - M .: Mnemosyne, 2013.
- Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ve diğerleri/düzenleyen: G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Rusya Bilimler Akademisi, Rusya Eğitim Akademisi. M.: “Aydınlanma”, 2010.
- Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için çalışma/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
- Matematik. 6. sınıf: ders kitabı/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.
Kullanılan görseller:
İlk seviye
İfadeleri Dönüştürme. Ayrıntılı teori (2019)
Şu hoş olmayan cümleyi sık sık duyarız: "Ifadeyi basitleştir." Genellikle şöyle bir canavar görürüz:
“Çok daha basit” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.
Şimdi sana bu tür görevlerden korkmamayı öğreteceğim.
Üstelik dersin sonunda, bu örneği (sadece!) sıradan bir sayıya (evet, bu harflerin canı cehenneme) basitleştireceksiniz.
Ancak bu etkinliğe başlamadan önce şunları yapabilmeniz gerekir: kesirleri ele almak Ve faktör polinomları.
Bu nedenle daha önce yapmadıysanız “” ve “” konularına mutlaka hakim olun.
Onu okudun mu? Cevabınız evet ise artık hazırsınız.
Hadi gidelim, hadi gidelim!)
Önemli Not!Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te).
Temel İfade Sadeleştirme İşlemleri
Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan temel tekniklere bakalım.
En basit olanı
1. Benzerlerini getirmek
Benzer olanlar nelerdir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine harflerin ilk kez ortaya çıktığı dönemde almıştınız.
Benzer- bunlar aynı harf kısmına sahip terimlerdir (tek terimliler).
Örneğin, toplamda benzer terimler ve'dir.
Hatırlıyor musun?
Benzerini ver- birkaç benzer terimin birbirine eklenmesi ve bir terim elde edilmesi anlamına gelir.
Harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.
Harflerin bir tür nesne olduğunu düşünürseniz bunu anlamak çok kolaydır.
Örneğin bir mektup bir sandalyedir. O halde ifade neye eşittir?
İki sandalye artı üç sandalye, kaç tane olacak? Aynen öyle, sandalyeler: .
Şimdi şu ifadeyi deneyin: .
Karışıklığı önlemek için izin verin farklı harfler farklı nesneleri temsil eder.
Örneğin - (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bir masadır.
sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler sandalyeler masalar
Bu terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar.
Örneğin, bir monomiyalde katsayı eşittir. Ve içinde eşittir.
Yani benzerlerini getirmenin kuralı şudur:
Örnekler:
Benzerlerini verin:
Yanıtlar:
2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).
2. Çarpanlara ayırma
Bu genellikle ifadelerin sadeleştirilmesinde en önemli kısımdır.
Benzerlerini verdikten sonra çoğunlukla ortaya çıkan ifadeye ihtiyaç duyulur. çarpanlara ayırmak yani ürün şeklinde sunulmaktadır.
Özellikle bu kesirlerde önemli: sonuçta kesri azaltabilmek için, Pay ve payda bir çarpım olarak temsil edilmelidir.
İfadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini “” konusunda ayrıntılı olarak incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli.
Bunu yapmak için birkaç örneği çözün (bunları çarpanlara ayırmanız gerekir)
Örnekler:
Çözümler:
3. Bir kesirin azaltılması.
Peki pay ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmaktan daha hoş ne olabilir?
Küçülmenin güzelliği bu.
Basit:
Pay ve payda aynı faktörleri içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.
Bu kural bir kesrin temel özelliğinden kaynaklanır:
Yani azaltma işleminin özü şudur: Kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.
Bir kesri azaltmak için ihtiyacınız olan:
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) pay ve payda şunları içeriyorsa Ortak etkenler, bunların üzeri çizilebilir.
Örnekler:
Sanırım prensip açık mı?
Bir şeye dikkatinizi çekmek isterim tipik hata sözleşme yaparken. Bu konu basit olmasına rağmen birçok kişi bunu anlamadan her şeyi yanlış yapıyor azaltmak- Bunun anlamı bölmek pay ve payda aynı sayıdır.
Pay veya paydanın toplam olması durumunda kısaltma yapılmaz.
Örneğin: basitleştirmemiz gerekiyor.
Bazı insanlar bunu yapıyor: Bu kesinlikle yanlış.
Başka bir örnek: azaltın.
“En akıllı” bunu yapacak:
Söyle bana burada sorun ne? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltılabileceği anlamına geliyor.
Ama hayır: - bu, paydaki yalnızca bir terimin çarpanıdır, ancak payın kendisi bir bütün olarak çarpanlara ayrılmamıştır.
İşte başka bir örnek: .
Bu ifade çarpanlara ayrılmıştır; bu, onu azaltabileceğiniz, yani payı ve paydayı önce şuna, sonra da şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:
Hemen aşağıdakilere bölebilirsiniz:
Bu tür hatalardan kaçınmak için unutmayın kolay yol Bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığı nasıl belirlenir:
Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir.
Yani, harf yerine bazı (herhangi) sayıları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, son işlem çarpma ise o zaman bir çarpımımız olur (ifade çarpanlara ayrılır).
Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.
Bunu güçlendirmek için birkaç örneği kendiniz çözün:
Örnekler:
Çözümler:
1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Birimleri bu şekilde "azaltmak" hâlâ yeterli değildi:
İlk adım çarpanlara ayırma olmalıdır:
4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.
Sıradan kesirleri eklemek ve çıkarmak tanıdık bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız.
Hatırlayalım:
Yanıtlar:
1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:
2. Burada ortak payda:
3. Burada, her şeyden önce, karışık kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan şemaya göre:
Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:
Basit bir şeyle başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan sayısal kesirlerle aynıdır: ortak paydayı buluruz, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız:
Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlarına ayırabilirsiniz:
Kendin dene:
Yanıtlar:
b) Paydalar harflerden oluşur
Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;
· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;
· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:
Ortak faktörleri vurgulayalım:
Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:
Bu ortak paydadır.
Tekrar mektuplara dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:
· paydaları çarpanlara ayırın;
· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;
· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Yani sırasıyla:
1) paydaları çarpanlara ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir ikinciyle çarpılmalıdır:
Bu arada, bir hile var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsi farklı göstergelere sahip. Ortak payda şu şekilde olacaktır:
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?
Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:
Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?
İşte sarsılmaz bir kural daha:
Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğinizde yalnızca çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz.
Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.
Peki ya ifade? Temel mi?
Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:
(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).
Dolayısıyla harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.
Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).
Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. İkisi de şunları temsil ediyor:
Harika! Daha sonra:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:
Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:
Öyleyse yazalım:
Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.
Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Yanıtlar:
Burada bir şeyi daha hatırlamamız gerekiyor: küplerin farkı:
Lütfen ikinci kesrin paydasının “toplamın karesi” formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünecektir: .
A, toplamın eksik karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonuncunun çarpımıdır, onların çifte çarpımı değil. Toplamın kısmi karesi, küpler farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:
Zaten üç kesir varsa ne yapmalı?
Evet, aynı şey! Öncelikle paydalardaki maksimum faktör sayısının aynı olduğundan emin olalım:
Lütfen dikkat: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz kesirin önündeki işaret ters yönde değişir. İkinci parantez içindeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret tekrar ters yönde değişir. Sonuç olarak o (kesrin önündeki işaret) değişmemiştir.
İlk paydanın tamamını ortak paydaya yazıyoruz ve ardından ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa böyle devam ederek) henüz yazılmamış tüm faktörleri ekliyoruz. Yani şöyle çıkıyor:
Hımm... Kesirlerle ne yapılacağı açık. Peki ya ikisi?
Çok basit: Kesirlerin nasıl ekleneceğini biliyorsun, değil mi? O halde ikiyi kesir haline getirmemiz gerekiyor! Hatırlayalım: kesir bir bölme işlemidir (unutmanız durumunda pay, paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda sayının kendisi değişmeyecek, ancak kesire dönüşecektir:
Tam olarak ihtiyaç duyulan şey!
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:
Prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:
Saydın mı?
İşe yaramalı.
O halde hatırlatmama izin verin.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.
Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.
Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.
Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.
Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):
Tamam, her şey çok basit.
Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil mi?
Hayır, aynı! Yalnızca aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan eylemleri yapmanız gerekir: benzerini getirmek, kesirleri ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekir.
Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).
2) Şunu elde ederiz:
Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?
3) Artık kısaltabilirsiniz:
Tamam artık her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
Ifadeyi basitleştir.
Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Çözüm:
Öncelikle eylem sırasını belirleyelim.
Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz.
Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim.
Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Şimdi size mevcut eylemi kırmızı renkle renklendirerek süreci göstereceğim:
Son olarak size iki yararlı ipucu vereceğim:
1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, hemen gündeme getirilmesinde fayda var.
2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:
Ve en başında vaat edilen şey:
Yanıtlar:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız konuya hakim oldunuz demektir.
Şimdi öğrenmeye geçelim!
İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Temel basitleştirme işlemleri:
- Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
- Faktorizasyon: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak, uygulamak vb.
- Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması:
; - Kesirlerle çarpma ve bölme:
;
Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinin yanı sıra harfli ifadelerin de kullanıldığı cebirsel ifadeye kesirli cebirsel ifade denir. Bunlar, örneğin, ifadeler
İki tamsayı cebirsel ifadenin (örneğin, tek terimli veya polinom) bölümünün bölümü biçiminde olan cebirsel bir ifadeye cebirsel bir kesir diyoruz. Bunlar, örneğin, ifadeler
İfadelerden üçüncüsü).
Kesirli cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümleri çoğunlukla onları cebirsel bir kesir biçiminde temsil etmeyi amaçlamaktadır. Ortak paydayı bulmak için, kesirlerin paydalarının çarpanlara ayrılması - en küçük ortak katlarını bulmak için kullanılan terimler - kullanılır. Cebirsel kesirleri azaltırken, ifadelerin kesin kimliği ihlal edilebilir: indirgemenin yapıldığı faktörün sıfır olduğu miktarların değerlerini hariç tutmak gerekir.
Kesirli cebirsel ifadelerin özdeş dönüşümlerine örnekler verelim.
Örnek 1: Bir ifadeyi basitleştirme
Tüm terimler ortak bir paydaya indirgenebilir (son terimin paydasındaki işareti ve önündeki işareti değiştirmek uygundur):
İfademiz bu değerler dışındaki tüm değerler için bire eşittir; tanımsızdır ve kesirin azaltılması yasa dışıdır).
Örnek 2. İfadeyi cebirsel kesir olarak temsil edin
Çözüm. İfade ortak bir payda olarak alınabilir. Sırayla buluyoruz:
Egzersizler
1. Belirtilen parametre değerleri için cebirsel ifadelerin değerlerini bulun:
2. Çarpanlara ayırın.
İlk seviye
İfadeleri Dönüştürme. Ayrıntılı Teori (2019)
İfadeleri Dönüştürme
Sık sık şu hoş olmayan ifadeyi duyarız: "ifadeyi basitleştirin." Genellikle şöyle bir canavar görürüz:
“Çok daha basit” diyoruz ama böyle bir cevap genellikle işe yaramıyor.
Şimdi sana bu tür görevlerden korkmamayı öğreteceğim. Üstelik dersin sonunda, bu örneği (sadece!) sıradan bir sayıya (evet, bu harflerin canı cehenneme) basitleştireceksiniz.
Ancak bu derse başlamadan önce kesirleri ve çarpan polinomlarını ele alabilmeniz gerekir. Bu nedenle öncelikle daha önce yapmadıysanız “” ve “” konularına mutlaka hakim olun.
Onu okudun mu? Cevabınız evet ise artık hazırsınız.
Temel basitleştirme işlemleri
Şimdi ifadeleri basitleştirmek için kullanılan temel tekniklere bakalım.
En basit olanı
1. Benzerlerini getirmek
Benzer olanlar nelerdir? Bunu 7. sınıfta, matematikte sayılar yerine harflerin ilk kez ortaya çıktığı dönemde almıştınız. Aynı harf kısmına sahip terimler (tek terimliler) benzerdir. Örneğin, toplamda benzer terimler ve'dir.
Hatırlıyor musun?
Benzer getirmek, birkaç benzer terimi birbirine eklemek ve bir terim elde etmek anlamına gelir.
Harfleri nasıl bir araya getirebiliriz? - sen sor.
Harflerin bir tür nesne olduğunu düşünürseniz bunu anlamak çok kolaydır. Örneğin bir mektup bir sandalyedir. O halde ifade neye eşittir? İki sandalye artı üç sandalye, kaç tane olacak? Aynen öyle, sandalyeler: .
Şimdi şu ifadeyi deneyin: .
Karışıklığı önlemek için farklı harflerin farklı nesneleri temsil etmesine izin verin. Örneğin - (her zamanki gibi) bir sandalye ve - bir masadır. Daha sonra:
sandalyeler masalar sandalye masalar sandalyeler sandalyeler masalar
Bu terimlerdeki harflerin çarpıldığı sayılara denir katsayılar. Örneğin, bir monomiyalde katsayı eşittir. Ve içinde eşittir.
Yani benzerlerini getirmenin kuralı şudur:
Örnekler:
Benzerlerini verin:
Yanıtlar:
2. (ve benzerdir, çünkü bu terimler aynı harf kısmına sahiptir).
2. Çarpanlara ayırma
Bu genellikle ifadeleri basitleştirmenin en önemli kısmıdır. Benzerlerini verdikten sonra çoğu zaman ortaya çıkan ifadenin çarpanlara ayrılması yani bir ürün olarak sunulması gerekiyor. Bu özellikle kesirlerde önemlidir: Bir kesri azaltabilmek için pay ve paydanın çarpım olarak temsil edilmesi gerekir.
İfadeleri çarpanlara ayırma yöntemlerini “” konusunda ayrıntılı olarak incelediniz, bu yüzden burada öğrendiklerinizi hatırlamanız yeterli. Bunu yapmak için birkaç tanesine karar verin örnekler(çarpanlara ayrılması gerekir):
Çözümler:
3. Bir kesirin azaltılması.
Peki pay ve paydanın bir kısmının üzerini çizip hayatınızdan atmaktan daha hoş ne olabilir?
Küçülmenin güzelliği bu.
Basit:
Pay ve payda aynı faktörleri içeriyorsa azaltılabilir, yani kesirden çıkarılabilir.
Bu kural bir kesrin temel özelliğinden kaynaklanır:
Yani azaltma işleminin özü şudur: Kesrin payını ve paydasını aynı sayıya (veya aynı ifadeye) böleriz.
Bir kesri azaltmak için ihtiyacınız olan:
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) pay ve payda şunları içeriyorsa Ortak etkenler, bunların üzeri çizilebilir.
Sanırım prensip açık mı?
Kısaltma yaparken tipik bir hataya dikkatinizi çekmek isterim. Bu konu basit olmasına rağmen birçok kişi bunu anlamadan her şeyi yanlış yapıyor azaltmak- Bunun anlamı bölmek pay ve payda aynı sayıdır.
Pay veya paydanın toplam olması durumunda kısaltma yapılmaz.
Örneğin: basitleştirmemiz gerekiyor.
Bazı insanlar bunu yapıyor: Bu kesinlikle yanlış.
Başka bir örnek: azaltın.
“En akıllı” bunu yapacaktır: .
Söyle bana burada sorun ne? Görünüşe göre: - bu bir çarpan, yani azaltılabileceği anlamına geliyor.
Ama hayır: - bu, paydaki yalnızca bir terimin çarpanıdır, ancak payın kendisi bir bütün olarak çarpanlara ayrılmamıştır.
İşte başka bir örnek: .
Bu ifade çarpanlara ayrılmıştır; bu, onu azaltabileceğiniz, yani payı ve paydayı önce şuna, sonra da şuna bölebileceğiniz anlamına gelir:
Hemen aşağıdakilere bölebilirsiniz:
Bu tür hatalardan kaçınmak için bir ifadenin çarpanlara ayrılıp ayrılmadığını belirlemenin kolay bir yolunu unutmayın:
Bir ifadenin değeri hesaplanırken en son yapılan aritmetik işlem “ana” işlemdir. Yani, harf yerine bazı (herhangi) sayıları koyarsanız ve ifadenin değerini hesaplamaya çalışırsanız, son işlem çarpma ise o zaman bir çarpımımız olur (ifade çarpanlara ayrılır). Son işlem toplama veya çıkarma ise bu, ifadenin çarpanlara ayrılmadığı (ve dolayısıyla azaltılamayacağı) anlamına gelir.
Birleştirmek için birkaçını kendiniz çözün örnekler:
Yanıtlar:
1. Umarım hemen kesmek için acele etmediniz ve? Birimleri bu şekilde "azaltmak" hâlâ yeterli değildi:
İlk adım çarpanlara ayırma olmalıdır:
4. Kesirleri toplama ve çıkarma. Kesirleri ortak paydaya indirgemek.
Sıradan kesirleri eklemek ve çıkarmak tanıdık bir işlemdir: ortak bir payda ararız, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız. Hatırlayalım:
Yanıtlar:
1. Paydalar ve göreceli olarak asaldır, yani ortak çarpanları yoktur. Dolayısıyla bu sayıların LCM'si çarpımlarına eşittir. Bu ortak payda olacak:
2. Burada ortak payda:
3. Burada, her şeyden önce, karışık kesirleri uygunsuz olanlara dönüştürüyoruz ve ardından olağan şemaya göre:
Kesirlerin harf içermesi tamamen farklı bir konudur, örneğin:
Basit bir şeyle başlayalım:
a) Paydalar harf içermez
Burada her şey sıradan sayısal kesirlerle aynıdır: ortak paydayı buluruz, her kesri eksik faktörle çarparız ve payları ekler/çıkarırız:
Şimdi payda varsa benzerlerini verebilir ve bunları çarpanlarına ayırabilirsiniz:
Kendin dene:
b) Paydalar harflerden oluşur
Harfler olmadan ortak payda bulma ilkesini hatırlayalım:
· Öncelikle ortak faktörleri belirliyoruz;
· daha sonra tüm ortak faktörleri birer birer yazıyoruz;
· ve bunları tüm diğer ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Paydaların ortak çarpanlarını belirlemek için öncelikle onları asal çarpanlara ayırıyoruz:
Ortak faktörleri vurgulayalım:
Şimdi ortak faktörleri tek tek yazalım ve bunlara ortak olmayan (altı çizili olmayan) faktörleri de ekleyelim:
Bu ortak paydadır.
Tekrar mektuplara dönelim. Paydalar tamamen aynı şekilde verilir:
· paydaları çarpanlara ayırın;
· ortak (aynı) faktörleri belirlemek;
· tüm ortak faktörleri bir kez yazın;
· bunları diğer tüm ortak olmayan faktörlerle çarpın.
Yani sırasıyla:
1) paydaları çarpanlara ayırın:
2) ortak (özdeş) faktörleri belirleyin:
3) tüm ortak faktörleri bir kez yazın ve bunları diğer tüm (altı çizili olmayan) faktörlerle çarpın:
Yani burada ortak bir payda var. İlk kesir ikinciyle çarpılmalıdır:
Bu arada, bir hile var:
Örneğin: .
Paydalarda aynı faktörleri görüyoruz, ancak hepsi farklı göstergelere sahip. Ortak payda şu şekilde olacaktır:
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar
bir dereceye kadar.
Görevi karmaşıklaştıralım:
Paydaları aynı olan kesirler nasıl yapılır?
Kesirlerin temel özelliğini hatırlayalım:
Hiçbir yerde aynı sayının bir kesrin payından ve paydasından çıkarılabileceği (veya eklenebileceği) söylenmiyor. Çünkü bu doğru değil!
Kendiniz görün: örneğin herhangi bir kesir alın ve pay ve paydaya bir sayı ekleyin, örneğin . Ne öğrendin?
İşte sarsılmaz bir kural daha:
Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğinizde yalnızca çarpma işlemini kullanın!
Ama elde etmek için neyi çarpmanız gerekiyor?
Yani ile çarpın. Ve şununla çarpın:
Çarpanlara ayrılamayan ifadelere “temel faktörler” diyeceğiz. Örneğin, bu temel bir faktördür. - Aynı. Ama hayır: çarpanlara ayrılabilir.
Peki ya ifade? Temel mi?
Hayır, çünkü çarpanlara ayrılabilir:
(“” konusunda çarpanlara ayırma hakkında zaten okudunuz).
Dolayısıyla harflerle bir ifadeyi ayrıştırdığınız temel faktörler, sayıları ayrıştırdığınız basit faktörlerin bir benzeridir. Biz de onlarla aynı şekilde ilgileneceğiz.
Her iki paydanın da çarpanının olduğunu görüyoruz. Dereceye kadar ortak paydaya gidecektir (nedenini hatırlıyor musunuz?).
Faktör temeldir ve ortak bir faktörü yoktur; bu, ilk kesirin onunla çarpılması gerektiği anlamına gelir:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Panik içinde bu paydaları çarpmadan önce bunları nasıl çarpanlara ayıracağınızı düşünmeniz gerekiyor. İkisi de şunları temsil ediyor:
Harika! Daha sonra:
Başka bir örnek:
Çözüm:
Her zamanki gibi paydaları çarpanlara ayıralım. İlk paydayı basitçe parantezlerin dışına çıkardık; ikincisinde - kareler farkı:
Görünüşe göre ortak faktörler yok. Ama yakından bakarsanız benzer olduklarını görürsünüz... Ve bu doğru:
Öyleyse yazalım:
Yani şu şekilde ortaya çıktı: parantez içinde terimleri değiştirdik ve aynı zamanda kesirin önündeki işaret de tersine değişti. Bunu sık sık yapmanız gerekeceğini unutmayın.
Şimdi bunu ortak bir paydada buluşturalım:
Anladım? Şimdi kontrol edelim.
Bağımsız çözüm için görevler:
Yanıtlar:
Burada bir şeyi daha hatırlamamız gerekiyor: küplerin farkı:
Lütfen ikinci kesrin paydasının “toplamın karesi” formülünü içermediğini unutmayın! Toplamın karesi şöyle görünecektir: .
A, toplamın eksik karesi olarak adlandırılır: içindeki ikinci terim, birinci ve sonuncunun çarpımıdır, onların çifte çarpımı değil. Toplamın kısmi karesi, küpler farkının genişlemesindeki faktörlerden biridir:
Zaten üç kesir varsa ne yapmalı?
Evet, aynı şey! Öncelikle paydalardaki maksimum faktör sayısının aynı olduğundan emin olalım:
Lütfen dikkat: Bir parantez içindeki işaretleri değiştirirseniz kesirin önündeki işaret ters yönde değişir. İkinci parantez içindeki işaretleri değiştirdiğimizde kesrin önündeki işaret tekrar ters yönde değişir. Sonuç olarak o (kesrin önündeki işaret) değişmemiştir.
İlk paydanın tamamını ortak paydaya yazıyoruz ve ardından ikinciden ve sonra üçüncüden (ve daha fazla kesir varsa böyle devam ederek) henüz yazılmamış tüm faktörleri ekliyoruz. Yani şöyle çıkıyor:
Hımm... Kesirlerle ne yapılacağı açık. Peki ya ikisi?
Çok basit: Kesirlerin nasıl ekleneceğini biliyorsun, değil mi? O halde ikiyi kesir haline getirmemiz gerekiyor! Hatırlayalım: kesir bir bölme işlemidir (unutmanız durumunda pay, paydaya bölünür). Ve bir sayıyı bölmekten daha kolay bir şey yoktur. Bu durumda sayının kendisi değişmeyecek, ancak kesire dönüşecektir:
Tam olarak ihtiyaç duyulan şey!
5. Kesirlerde çarpma ve bölme.
Artık işin en zor kısmı bitti. Ve önümüzde en basit ama aynı zamanda en önemlisi:
Prosedür
Sayısal bir ifadeyi hesaplama prosedürü nedir? Bu ifadenin anlamını hesaplayarak şunu hatırlayın:
Saydın mı?
İşe yaramalı.
O halde hatırlatmama izin verin.
İlk adım dereceyi hesaplamaktır.
İkincisi çarpma ve bölmedir. Aynı anda birden fazla çarpma ve bölme işlemi varsa bunlar herhangi bir sırayla yapılabilir.
Ve son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Yine herhangi bir sırayla.
Ancak: parantez içindeki ifade sıra dışı olarak değerlendirilir!
Birkaç parantez birbiriyle çarpılır veya bölünürse, önce parantezlerin her birindeki ifadeyi hesaplar, sonra bunları çarpar veya böleriz.
Ya parantezlerin içinde daha fazla parantez varsa? Peki, düşünelim: parantezlerin içine bazı ifadeler yazılmış. Bir ifadeyi hesaplarken ilk önce ne yapmalısınız? Doğru, parantezleri hesaplayın. Bunu anladık: önce iç parantezleri hesaplıyoruz, sonra her şeyi hesaplıyoruz.
Yani yukarıdaki ifadenin prosedürü şu şekildedir (mevcut eylem kırmızıyla vurgulanmıştır, yani şu anda gerçekleştirdiğim eylem):
Tamam, her şey çok basit.
Ama bu harfli bir ifadeyle aynı şey değil mi?
Hayır, aynı! Yalnızca aritmetik işlemler yerine cebirsel işlemleri, yani önceki bölümde açıklanan eylemleri yapmanız gerekir: benzerini getirmek, kesirleri ekleme, kesirleri azaltma vb. Tek fark, polinomları çarpanlara ayırma işlemi olacaktır (bunu kesirlerle çalışırken sıklıkla kullanırız). Çoğu zaman, çarpanlara ayırmak için I kullanmanız veya ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmanız gerekir.
Genellikle amacımız ifadeyi bir çarpım veya bölüm olarak temsil etmektir.
Örneğin:
İfadeyi sadeleştirelim.
1) Öncelikle parantez içindeki ifadeyi basitleştiriyoruz. Orada kesir farkımız var ve amacımız bunu çarpım veya bölüm olarak sunmak. Böylece kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz ve şunu ekliyoruz:
Bu ifadeyi daha fazla basitleştirmek imkansızdır; buradaki tüm faktörler temeldir (bunun ne anlama geldiğini hâlâ hatırlıyor musunuz?).
2) Şunu elde ederiz:
Kesirlerin çarpılması: daha basit ne olabilir?
3) Artık kısaltabilirsiniz:
Tamam artık her şey bitti. Karmaşık bir şey yok, değil mi?
Başka bir örnek:
Ifadeyi basitleştir.
Öncelikle sorunu kendiniz çözmeye çalışın ve ancak o zaman çözüme bakın.
Öncelikle eylem sırasını belirleyelim. Öncelikle parantez içindeki kesirleri toplayalım, böylece iki kesir yerine bir kesir elde ederiz. Daha sonra kesirlerde bölme işlemi yapacağız. Peki, sonucu son kesirle ekleyelim. Adımları şematik olarak numaralandıracağım:
Şimdi size mevcut eylemi kırmızı renkle renklendirerek süreci göstereceğim:
Son olarak size iki yararlı ipucu vereceğim:
1. Benzerleri varsa derhal getirilmelidir. Ülkemizde benzerleri ne zaman ortaya çıkarsa çıksın, hemen gündeme getirilmesinde fayda var.
2. Aynı şey kesirlerin azaltılması için de geçerlidir: azaltma fırsatı ortaya çıktığı anda bundan yararlanılmalıdır. Bunun istisnası, eklediğiniz veya çıkardığınız kesirler içindir: eğer şimdi aynı paydalara sahiplerse, azaltma daha sonraya bırakılmalıdır.
İşte kendi başınıza çözebileceğiniz bazı görevler:
Ve en başında vaat edilen şey:
Çözümler (kısa):
En azından ilk üç örnekle başa çıktıysanız konuya hakim oldunuz demektir.
Şimdi öğrenmeye geçelim!
İFADELERİ DÖNÜŞTÜRME. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER
Temel basitleştirme işlemleri:
- Benzerini getirmek: Benzer terimleri eklemek (azaltmak) için katsayılarını eklemeniz ve harf kısmını atamanız gerekir.
- Faktorizasyon: ortak çarpanı parantezlerin dışına çıkarmak, uygulamak vb.
- Bir kesirin azaltılması: Bir kesrin payı ve paydası, sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir; bu, kesrin değerini değiştirmez.
1) pay ve payda çarpanlara ayırmak
2) Pay ve paydanın ortak çarpanları varsa bunların üzeri çizilebilir.ÖNEMLİ: yalnızca çarpanlar azaltılabilir!
- Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması:
; - Kesirlerle çarpma ve bölme:
;
Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu denklemleri eski zamanlarda kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Polinom cebirsel toplam sayıların, değişkenlerin ve bunların kuvvetlerinin çarpımları. Polinomları dönüştürmek genellikle iki tür problemi içerir. İfadenin basitleştirilmesi veya çarpanlara ayrılması gerekir; bunu iki veya daha fazla polinomun veya bir monom ve bir polinomun çarpımı olarak temsil edin.
Polinomu basitleştirmek için benzer terimleri verin. Örnek. \ İfadesini basitleştirin. Aynı harf kısmına sahip tek terimlileri bulun. Onları yukarı katlayın. Ortaya çıkan ifadeyi yazın: \ Polinomu sadeleştirdiniz.
Bir polinomun çarpanlara ayrılmasını gerektiren problemler için verilen ifadenin ortak çarpanını belirleyin. Bunu yapmak için önce ifadenin tüm üyelerinde bulunan değişkenleri parantezlerden çıkarın. Üstelik bu değişkenlerin en düşük göstergeye sahip olması gerekir. Daha sonra polinomun katsayılarının her birinin en büyük ortak bölenini hesaplayın. Ortaya çıkan sayının modülü ortak çarpanın katsayısı olacaktır.
Örnek. Polinomu çarpanlara ayırın \ Parantezlerden çıkarın \ çünkü m değişkeni bu ifadenin her terimine dahil edilmiştir ve en küçük üssü ikidir. Ortak çarpan faktörünü hesaplayın. Beşe eşittir. Dolayısıyla bu ifadenin ortak çarpanı \ Dolayısıyla: \
Bir polinom denklemini çevrimiçi olarak nerede çözebilirim?
Denklemi https://sitemizden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, her türlü karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa, bunları http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.
