1 No'lu görevlerin prototipleri 2015

1) Görev 1'in prototipi (No. 26616)

Peynirin fiyatı 7 ruble 20 kopek. Hangi en büyük sayı 60 rubleye cheesecake alabilir misin?

2) Görev 1'in prototipi (No. 26617)

Gemi 750 yolcu ve 25 mürettebat için tasarlandı. Her cankurtaran filikası

70 kişi kapasitelidir. Gerektiğinde tüm yolcuların ve tüm mürettebatın barınabilmesi için gemide bulunması gereken minimum tekne sayısı nedir?

3) Görev 1'in prototipi (No. 26618)

Bir şişe şampuanın maliyeti 160 ruble. 1000 rubleye satın alabileceğiniz en fazla şişe sayısı nedir?

indirim sırasında indirim %25 olduğunda?

4) Görev 1'in prototipi (No. 26619)

Bir tükenmez kalemin maliyeti 40 ruble. 900'e satın alınabilecek bu tür kalemlerin en fazla sayısı nedir?

% 10'luk fiyat artışından sonra ruble mi?

5) Görev 1'in prototipi (No. 26620)

Dizüstü bilgisayarın maliyeti 40 ruble. 750 rubleye satın alınabilecek bu tür dizüstü bilgisayarların en büyük sayısı nedir?

%10'luk fiyat düşüşünden sonra mı?

6) Görev 1'in prototipi (No. 26621)

Mağaza, saksıları parça başına 120 ruble toptan fiyata satın alıyor ve% 20 kârla satıyor.

Bu mağazadan 1000 rubleye satın alınabilecek en fazla bu tür tencere sayısı nedir?

7) Görev 1 prototipi (No. 26622)

İÇİNDE 500 sayfalık A4 kağıttan oluşan bir paket. Ofiste haftada 1.200 sayfa kullanılıyor. Hangi

en az miktar Ofis için 4 hafta boyunca paket kağıt satın almanız mı gerekiyor?

8) Görev 1 prototipi (No. 26623)

Bir aylık biletin maliyeti 580 ruble, bir seyahat için biletin maliyeti ise

20 ruble. Anya bir seyahat kartı aldı ve ayda 41 yolculuk yaptı. Bir seyahat için bilet alırsa kaç ruble daha harcar?

9) Görev 1'in prototipi (No. 26624)

Hastaya 21 gün boyunca günde 3 defa 0,5 g alması gereken bir ilaç reçete edilir. Bir

her biri 0,5 g olan 10 tablet ilaçtan oluşan bir paket Tedavinin tamamı için yeterli olacak en az paket sayısı nedir?

10) Görev 1'in prototipi (No. 26625)

Salatalık turşusu hazırlamak için 1 litre suya 12 gr ihtiyaç vardır. sitrik asit. Limon

asit 10 g'lık torbalarda satılmaktadır. Bir ev hanımının 6 litre turşuyu hazırlamak için alması gereken en az paket sayısı nedir?

11) Görev 1'in prototipi (No. 26626)

Çikolatanın maliyeti 35 ruble. Pazar günü süpermarketin özel bir teklifi var:

İki çikolatanın parasını ödeyen alıcıya üç tane (biri hediye) verilir. Pazar günü 200 rubleye kaç çikolata alabilirsiniz?

12) Görev 1'in prototipi (No. 26627)

Ders kitabının toptan fiyatı 170 ruble. Perakende fiyatı toptan satış fiyatından %20 daha yüksektir. En büyük sayı nedir

Bu tür ders kitapları 7.000 ruble perakende fiyatından satın alınabilir mi?

13) Görev 1'in prototipi (No. 26628)

Bir yetişkin için tren bileti 720 rubleye mal oluyor. Öğrenci için bilet fiyatı

Yetişkin bilet fiyatının %50'sidir. Grup 15 okul çocuğu ve 2 yetişkinden oluşmaktadır. Tüm grup için biletler kaç ruble?

14) Görev 1'in prototipi (No. 26629)

Elektrikli su ısıtıcısının fiyatı yüzde 16 artarak 3.480 rubleye ulaştı. Kaç rubleye mal oldu?

fiyat artışından önce su ısıtıcısı?

15) Görev 1'in prototipi (No. 26630)

Tişörtün fiyatı 800 ruble. Fiyat düştükten sonra 680 rubleye mal olmaya başladı. Ne kadardır

Tişörtün fiyatı yüzde bir mi düştü?

16) Görev 1 prototipi (No. 26631)

İÇİNDE Şehir N'nin 200.000 nüfusu var. Bunların yüzde 15'i çocuk ve ergenlerden oluşuyor. Yetişkin sakinler arasında %45

çalışmıyor (emekliler, öğrenciler, ev hanımları vb.). Kaç yetişkin sakin çalışıyor?

17) Görev 1 prototipi (No. 26632)

Taksi şoförü ayda 6000 km yol kat etti. 1 litre benzinin maliyeti 20 ruble. Ortalama benzin tüketimi

100 km 9 litredir. Taksi şoförü bu ay benzine kaç ruble harcadı?

18) Görev 1'in prototipi (No. 26633)

Müşteri bankadan yıllık 12.000 ruble tutarında% 16 faizle kredi aldı. Krediyi bankaya yatırarak geri ödemeli

Borç alınan tutarın tamamını faiziyle birlikte bir yıl içinde geri ödemek için her ay aynı miktarda para. Bankaya ayda kaç ruble yatırması gerekiyor?

19) Görev 1 prototipi (No. 26634)

İÇİNDE Yaz kampında her katılımcıya günde 40 gram şeker verilmesine izin verilmektedir. Kampta 166 kişi var. Kaç tane

5 gün boyunca kampın tamamı için kilogram paket şekere ihtiyaç olacak mı?

20) Görev 1 prototipi (No. 26635)

İÇİNDE yaz kampında 218 çocuk ve 26 öğretmen bulunmaktadır. Otobüste en fazla 45 yolcu konaklayabilir. Kaç tane

Herkesi kamptan şehre taşımak için otobüslere mi ihtiyaç var?

21) Görev 1 prototipi (No. 26636)

Yaz aylarında bir kilogram çilek 80 rubleye mal oluyor. Masha 1 kg 200 gr çilek aldı. Değişimde kaç ruble

500 ruble mi almalı?

22) Görev 1'in prototipi (No. 26637)

Doğum günlerinde insanların tek sayıda çiçekten oluşan bir buket vermeleri gerekiyor. Lalelerin fiyatı 30 ruble

parça. Vanya'nın 500 rublesi var. Maşa'nın doğum günü için bir buket alabileceği en fazla kaç lale sayısı vardır?

23) Görev 1'in prototipi (No. 26640)

Pavel Ivanovich, hız göstergesi hızı mil cinsinden gösteren bir Amerikan arabası satın aldı.

saat. Bir Amerikan mili 1609 m'ye eşittir. Hız göstergesi saatte 65 mil gösteriyorsa, bir arabanın hızı saatte kilometre cinsinden nedir? Cevabınızı bir tam sayıya yuvarlayın.

24) Görev 1 prototipi (No. 26641)

İÇİNDE üniversite kütüphanesi geometri üzerine yeni ders kitapları getirdi 1-3 kurs, her biri 360 parça

her kurs için. Bütün kitaplar aynı boyuttadır. Kitaplığın 9 rafı vardır, her rafta 25 ders kitabı bulunur. Yeni ders kitaplarıyla kaç dolap tamamen doldurulabilir?

25) Görev 1 prototipi (No. 26642)

Vişne reçeli hazırlamak için 1 kg kiraz için 1,5 kg şeker gerekir. Kaç kilogram

27 kg kirazdan reçel yapmak için paket şeker almanız gerekir mi?

26) Görev 1'in prototipi (No. 26643)

Gelir vergisi ücretlerin %13'üdür. Ivan Kuzmich'in maaşı 12500

ruble Gelir vergileri düşüldükten sonra ne kadar alacak? Cevabınızı ruble olarak verin.

27) Görev 1'in prototipi (No. 26644)

Gelir vergisi ücretlerin %13'üdür. Gelir vergisi stopajından sonra Maria

Konstantinovna 9.570 ruble aldı. Kaç ruble maaş Maria Konstantinovna mı?

28) Görev 1'in prototipi (No. 26645)

Ders kitabının perakende fiyatı 180 ruble, bu da toptan satış fiyatından %20 daha yüksek. Bunun gibi en büyük sayı nedir

Ders kitapları 10.000 ruble toptan fiyata satın alınabilir mi?

29) Görev 1'in prototipi (No. 77331)

Mashiny'nin hesabına cep telefonu 53 ruble vardı ve Lena ile konuştuktan sonra 8 ruble kaldı

ruble Bir dakikalık konuşmanın maliyeti 2 ruble 50 kopek ise Lena ile görüşme kaç dakika sürdü?

30) Görev 1'in prototipi (No. 77332)

11 "A" mezunları çiçek buketleri alıyor son çağrı: Her öğretmene 3 gülden ve 7 gülden

sınıf öğretmenine ve müdüre güller. 15 öğretmene (müdür ve öğretmen dahil) buket verecekler. sınıf öğretmeni), güller parça başına 35 ruble toptan fiyata satın alınmaktadır. Bütün güllerin değeri kaç ruble?

31) Görev 1'in prototipi (No. 77333)

1 Kasım'daki elektrik sayacı okuması 12.625 kilovatsaat, 1 Aralık'taki elektrik sayacı okuması ise 12.802 kilovatsaatti.

Kilovat saat. 1 kilovatsaat elektriğin maliyeti 1 ruble 80 kopek ise Kasım ayında elektrik için ne kadar ödemelisiniz? Cevabınızı ruble olarak verin.

32) Görev 1 prototipi (No. 77334)

İÇİNDE döviz bürosu 1 Grivnası 3 ruble 70 kopek maliyeti. Tatilciler Grivnası ile ruble alışverişinde bulundular ve

1 kg başına 4 Grivnası fiyata 3 kg domates satın aldı. Bu satın alma onlara kaç rubleye mal oldu? Cevabınızı bir tam sayıya yuvarlayın.

33) Görev 1 prototipi (No. 77335)

Maşa, 16 arkadaşına yılbaşı tebriklerini içeren SMS mesajları gönderdi. Fiyat

bir SMS mesajının maliyeti 1 ruble 30 kopektir. Mesajı göndermeden önce Masha'nın hesabında 30 ruble vardı. Tüm mesajları gönderdikten sonra Masha'nın elinde kaç ruble kalacak?

34) Görev 1'in prototipi (No. 77336)

Novosibirsk-Krasnoyarsk treni 15:20'de kalkıyor ve ertesi gün 4:20'de varıyor (saat

Moskova). Tren kaç saat yolculuk yapıyor?

35) Görev 1 prototipi (No. 77337)

İÇİNDE Okulda üç kişilik turist çadırları bulunmaktadır. Almanız gereken minimum çadır sayısı nedir?

20 kişilik bir gezi mi?

36) Görev 1 prototipi (No. 77338)

İÇİNDE Enstitü yurdunun her odasında dört kişi konaklama kapasitesine sahiptir. En küçük nedir

Şehir dışından gelen 83 öğrencinin konaklaması için kaç odaya ihtiyaç vardır?

37) Görev 1 prototipi (No. 77339)

İÇİNDE Bir konferans sırasında günde ortalama 70 poşet çay tüketiliyor. Konferans 6 gün sürecek. İÇİNDE

Bir paket çay 50 poşet içerir. Konferansın tüm günleri boyunca yetecek en az çay paketi sayısı nedir?

38) Görev 1 prototipi (No. 77340)

İÇİNDE Okulda 124 öğrenci Fransızca okuyor, bu da tüm öğrencilerin %25'ini oluşturuyor

okullar. Okulda kaç öğrenci var?

39) Görev 1 prototipi (No. 77341)

27 okul mezunu teknik üniversitelerde eğitim görecek. Sayının %30’unu oluşturuyorlar

mezunlar. Okulun kaç mezunu var?

40) Görev 1'in prototipi (No. 77342)

Tutu tereyağı 60 rubleye mal oluyor. Mağaza emeklilere yüzde 5 indirim sağlıyor. Kaç ruble

Bir emekli bir parça tereyağının parasını ödeyecek mi?

41) Görev 1'in prototipi (No. 77343)

Dizüstü bilgisayarın maliyeti 24 ruble. Alıcı, satın alırken daha fazla ise 60 dizüstü bilgisayar için kaç ruble ödeyecek?

Mağaza 50 dizüstü bilgisayara tüm satın alma fiyatı üzerinden %10 indirim veriyor mu?

42) Görev 1'in prototipi (No. 77344)

Matematikte şehir olimpiyatlarının %12'sini oluşturan 48 öğrenci ödül sahibi oldu

katılımcılar. Olimpiyatlara kaç kişi katıldı?

43) Görev 1'in prototipi (No. 77345)

Şehrin 27.500 mezununun yalnızca %94'ü B1 problemini doğru çözdü. Kaç kişi doğru

B1 problemini çözdünüz mü?

44) Görev 1'in prototipi (No. 77346)

Cep telefonunun maliyeti 3.500 ruble. Bir süre sonra bu modelin fiyatı 2800'e düştü.

ruble Fiyat yüzde kaç oranında düştü?

45) Görev 1 prototipi (No. 77347)

İÇİNDE Okulun 800 öğrencisi var, bunların %30'u- öğrenciler ilkokul. Ortaokul ve lise öğrencileri arasında

okullar %20 ders çalışıyor Almanca. Almanca ilkokulda öğretilmiyorsa kaç öğrenci okulda Almanca öğreniyor?

46) Görev 1 prototipi (No. 77348)

Şehrin 40.000 sakininin %60'ı futbolla ilgilenmiyor. Futbol taraftarları arasında %80

Şampiyonlar Ligi finalini televizyonda izledim. Bu maçı televizyondan kaç kentli izledi?

47) Görev 1 prototipi (No. 77349)

İÇİNDE Eylül ayında 1 kg üzümün fiyatı 60 ruble iken, ekim ayında üzümün fiyatı %25, kasım ayında ise %25 arttı.

%20. Kasım ayındaki fiyat artışından sonra 1 kg üzüm kaç rubleye mal oldu?

48) Görev 1 prototipi (No. 77350)

İÇİNDE Petya'nın yaşadığı evin tek girişi var. Her katta altı daire bulunmaktadır. Petya'da yaşıyor

daire 50. Petya hangi katta yaşıyor?

49) Görev 1 prototipi (No. 77351)

İÇİNDE Masha'nın yaşadığı evin 9 katı ve birkaç girişi var. Her katta 4 adet bulunmaktadır

daireler. Masha 130 numaralı dairede yaşıyor. Masha hangi girişte yaşıyor?

50) Görev 1 prototipi (No. 77352)

Bir ödeme terminali aracılığıyla hizmetler için ödeme yaparken% 5 komisyon alınır. Terminal miktarları kabul eder

10 rublenin katları. Anya cep telefonu hesabına en az 300 ruble yatırmak istiyor. Bu terminalin alıcı cihazına yatırması gereken minimum miktar nedir?

51) Görev 1 prototipi (No. 77353)

İÇİNDE 1 Eylül kg erik 60 rubleye mal oluyor. Ekim ayında erik fiyatlarında yüzde 25 oranında artış yaşandı. 1 kg kaç rubleye mal oldu?

Ekim ayındaki fiyat artışından sonra erik mi?

52) Görev 1 prototipi (No. 77354)

Mağaza, emeklilere satın alma fiyatının belirli bir yüzdesi oranında indirim sağlıyor. Naylon poşet

Kefirin mağazada fiyatı 40 ruble. Emekli bir paket kefir için 38 ruble ödedi. Emeklilere indirim yüzde kaç?

53) Görev 1'in prototipi (No. 77355)

Öğrenci tamamlanan çeviri için ilk ücretini 700 ruble aldı. Ya karar verdi

Öğretmeninize bir buket lale almak için aldığınız tüm parayı kullanın İngilizce. Hangi en büyük sayıÖğrenciden kesilen gelir vergisi ücretinin %13'ü, lalelerin tanesi 60 ruble ve buketin tek sayıda çiçekten oluşması şartıyla lale satın alabilir mi?

54) Görev 1'in prototipi (No. 77356)

Aracın hız göstergesi hızı saatte mil olarak gösterir. Hangi hızı (saatte mil cinsinden) gösteriyor?

Araba saatte 36 km hızla hareket ediyorsa hız göstergesi? (1 milin 1,6 km'ye eşit olduğunu düşünün.)

55) Görev 1'in prototipi (No. 77365)

Kitapçı indirim kartı sahiplerine alışverişte %5 indirim uygulanır. Kitabın fiyatı 200

ruble İndirim kartı sahibi bu kitap için kaç ruble ödeyecek?

56) Görev 1'in prototipi (No. 282847)

Bir benzin istasyonunda müşteri, kasiyere 1.000 ruble verdi ve depoyu 28 ruble fiyatına 28 litre benzinle doldurdu. 50

polis. litre başına Müşteri ne kadar para üstü almalı? Cevabınızı ruble olarak verin.

57) Görev 1'in prototipi (No. 282848)

Bir benzin istasyonunda müşteri kasiyere 1.000 ruble verdi ve depo dolana kadar benzin doldurmasını istedi. Fiyat

benzin 31 ovmak. 20 kopek Müşteri para üstü olarak 1 ruble aldı. 60 kopek Depoya kaç litre benzin döküldü?

58) Görev 1 prototipi (No. 314867)

İÇİNDE Alexey'in yaşadığı dairede bir akış ölçer kurulu soğuk su(tezgah).

1 Eylül'de sayaç 103 metreküp su tüketimini ve 1 Ekim - 114 metreküp su tüketimini gösterdi. 1 metreküp soğuk suyun fiyatı 19 ruble ise, Alexey Eylül ayında soğuk su için ne kadar ödemelidir? 20 kopek mi? Cevabınızı ruble olarak verin.

59) Görev 1 prototipi (No. 314968)

İlacın bir tableti 20 mg ağırlığındadır ve aktif maddenin% 5'ini içerir. 6 yaşın altındaki çocuk

Aylar boyunca doktor, günde kilogram ağırlık başına 1,4 mg aktif madde reçete eder. Dört aylık ve 5 kg ağırlığındaki bir çocuğa bu ilacın günde kaç tableti verilmelidir?

60) Görev 1'in prototipi (No. 318579)

TV ekranının köşegeni 64 inçtir. Aşağıdaki durumlarda ekranın köşegenini santimetre cinsinden ifade edin:

bir inç 2,54 cm'dir. Sonucu en yakın tam santimetre sayısına yuvarlayın.

61) Görev 1'in prototipi (No. 318580)

Adam 6 fit 1 inç boyunda. 1 feet 0,305 m ve 1 inç'e eşitse boyunu santimetre cinsinden ifade edin

2,54 cm'ye eşittir. Sonucu en yakın tam santimetre sayısına yuvarlayın.

62) Görev 1'in prototipi (No. 318581)

Bir koşucu 50 metreyi 5 saniyede koşmuştur. Bulmak ortalama sürat uzaktan koşucu. Cevabını ver

saatte kilometre.

63) Görev 1 prototipi (No. 318582)

İÇİNDE Elena Molokhovets'in “Genç Ev Hanımlarına Hediye” adlı kitabında kuru erik pastası tarifi yer alıyor. İçin

10 kişilik bir pasta için 1/10 kilo kuru erik kullanın. 3 kişilik pasta için kaç gram kuru erik kullanmalıyım? 1 poundun 0,4 kg'a eşit olduğunu düşünün.

64) Görev 1 prototipi (No. 318583)

Uçak koltuğunun arkasına yerleştirilmiş navigasyon sistemi yolcuya şu bilgileri verir:

Uçuş 37.000 feet yükseklikte gerçekleşiyor. Uçuş yüksekliğini metre cinsinden ifade edin. 1 ayağın eşit olduğunu düşünün

65) Görev 1'in prototipi (No. 323510)

Bir daireyi yenilemek için 63 rulo duvar kağıdı gereklidir. Aşağıdaki durumlarda kaç paket duvar kağıdı macunu satın almalısınız?

Bir paket yapıştırıcı 6 ruloya mı yetiyor?

66) Görev 1'in prototipi (No. 323511)

Dergiye altı aylık aboneliğin maliyeti 460 ruble ve bir sayının maliyeti

dergi - 24 ruble. Anya altı ayda derginin 25 sayısını satın aldı. Dergiye abone olsaydı kaç ruble daha az harcardı?

67) Görev 1'in prototipi (No. 323513)

1 metrekareyi boyamak için m tavan 240 gr boya gerektirir. Boya 2,5 kg’lık tenekelerde satılmaktadır. Hangi

50 metrekarelik bir tavanı boyamak için satın almanız gereken en az boya kutusu sayısı. M?

68) Görev 1'in prototipi (No. 323514)

Bir rulo duvar kağıdı yerden tavana kadar 1,6 m genişliğinde bir şeridi kaplamak için yeterlidir. Kaç rulo?

2,3 m x 4,2 m ölçülerindeki dikdörtgen bir odayı kaplamak için duvar kağıdı satın almanız mı gerekiyor?

69) Görev 1 prototipi (No. 323515)

İÇİNDE Mağazadaki tüm mobilyalar demonte olarak satılmaktadır. Alıcı şu adresten mobilya montajını sipariş edebilir:

maliyeti satın alınan mobilya maliyetinin% 10'u olan ev. Gardırop 3.300 rubleye mal oluyor. Bu dolabı montajla birlikte satın almanın maliyeti kaç ruble olacak?

70) Görev 1'in prototipi (No. 323516)

Bir benzin istasyonunda bir litre benzinin fiyatı 32 ruble. 60 kopek Sürücü, depoya 30 litre benzin döktü.

48 rubleye bir şişe su aldım. 1.500 ruble yerine kaç ruble alacak?

71) Görev 1'in prototipi (No. 323517)

İki su sayacının (soğuk ve sıcak) montajı 3.300 rubleye mal oluyor. Sayaçları kurmadan önce

suya ayda 800 ruble ödendi. Sayaçları taktıktan sonra aylık su ödemesi 300 ruble olmaya başladı. Su tarifeleri değişmezse, su faturalarındaki tasarruf en az kaç ay içinde sayaç takma maliyetini aşacaktır?

1 numaralı prototiplere cevaplar

ν 0,036 n, burada n motor devridir

V dakika. Torkun en az 120 olması için araba hangi minimum hızda hareket etmelidir?

N∙m? Cevabınızı kilometre/saat cinsinden verin.

2. Görev 2'nin prototipi (No. 26864)

Grafik bağımlılığı gösteriyor

Bir araba motorunun torku, dakikadaki devir sayısına bağlıdır. Dakikadaki devir sayısı apsis ekseninde işaretlenmiştir. Ordinatta - N∙ m cinsinden tork Arabanın hareket etmeye başlaması için torkun en az 60 N∙ m olması gerekir. Arabanın hareket etmeye başlaması için yeterli olan dakikadaki minimum motor devri sayısı nedir?

3. Görev 2'nin prototipi (No. 26866)

Grafik ısıtma işlemini göstermektedir

araba Motoru. Apsis ekseni, motorun çalıştırılmasından bu yana geçen süreyi dakika cinsinden gösterir ve y ekseni, motor sıcaklığını Celsius derece cinsinden gösterir. Grafikten motorun 60°C sıcaklıktan 90°C sıcaklığa kaç dakikada ısındığını belirleyin.

4. Görev 2'nin prototipi (No. 26868)

Resim gösteriyor

Üç gün boyunca hava sıcaklığındaki değişiklik. Günün tarihi ve saati yatay olarak gösterilir ve Celsius derece cinsinden sıcaklık değeri dikey olarak gösterilir. 22 Ocak'taki en yüksek hava sıcaklığını şekilden belirleyin. Cevabınızı santigrat derece cinsinden verin.

5. Görev 2'nin prototipi (No. 26869)

Resim gösteriyor

Üç gün boyunca hava sıcaklığındaki değişiklik. Günün tarihi ve saati yatay olarak gösterilir ve Celsius derece cinsinden sıcaklık değeri dikey olarak gösterilir. 27 Nisan'daki en düşük hava sıcaklığını şekilden belirleyin. Cevabınızı santigrat derece cinsinden verin.

6. Görev 2'nin prototipi (No. 26870)

Resim gösteriyor

Üç gün boyunca hava sıcaklığındaki değişiklik. Tarih ve saat yatay olarak gösterilir ve Celsius derece cinsinden sıcaklık değeri dikey olarak gösterilir. 15 Temmuz'daki en yüksek ve en düşük hava sıcaklıkları arasındaki farkı şekilden belirleyin. Cevabınızı santigrat derece cinsinden verin.

7. Görev 2'nin prototipi (No. 26871)

Şekilde kalın noktalar

3 Şubat'tan 15 Şubat 1909'a kadar Kazan'da düşen günlük yağış miktarını gösterir. Ayın tarihleri ​​yatay olarak, ilgili günde düşen yağış miktarı ise milimetre cinsinden dikey olarak gösterilir. Açıklık sağlamak için, şekildeki kalın noktalar bir çizgiyle birbirine bağlanmıştır. Resimden 5 milimetre yağmurun ilk kez hangi tarihte düştüğünü belirleyin.

8. Görev 2'nin prototipi (No. 26872)

Şekilde kalın noktalar

Petrol fiyatı, 17 Ağustos'tan 31 Ağustos 2004'e kadar tüm iş günlerinde borsa kapanışında gösterilir. Ayın tarihleri ​​yatay olarak gösterilir ve bir varil petrolün ABD doları cinsinden fiyatı dikey olarak gösterilir. Açıklık sağlamak için, şekildeki kalın noktalar bir çizgiyle birbirine bağlanmıştır. Şekilden, belirtilen dönemde işlem kapanışındaki en düşük petrol fiyatını belirleyin (varil başına ABD doları cinsinden).

9. Görev 2'nin prototipi (No. 26873)

Şekil kalın noktaları göstermektedir

6 Mayıs'tan 20 Mayıs 2009'a kadar tüm iş günlerinde borsa kapanışındaki nikel fiyatı. Ayın tarihleri ​​yatay olarak gösterilir ve bir ton nikelin ABD doları cinsinden fiyatı dikey olarak gösterilir. Açıklık sağlamak için, şekildeki kalın noktalar bir çizgiyle birbirine bağlanmıştır. Resimden belirleyin En yüksek fiyat Belirtilen dönem için işlem kapanışında nikel (ton başına ABD doları cinsinden).

10. Görev 2'nin prototipi (No. 26874)

Şekilde kalın noktalar

Altın fiyatı, 5 Mart'tan 28 Mart 1996'ya kadar tüm iş günlerinde döviz işlemlerinin kapanışında gösterilir. Ayın tarihleri ​​yatay olarak gösterilir ve bir ons altının ABD doları cinsinden fiyatı dikey olarak gösterilir. Açıklık sağlamak için, şekildeki kalın noktalar bir çizgiyle birbirine bağlanmıştır. Şekilden, işlem kapanışında altının fiyatının hangi tarihte söz konusu dönem için en düşük olduğunu belirleyin.

11. Görev 2'nin prototipi (No. 26875)

Şekilde kalın noktalar

Kalay fiyatı 3 Eylül'den 18 Eylül 2007'ye kadar tüm iş günlerinde borsa kapanışında gösterilir. Ayın tarihleri ​​yatay olarak gösterilir ve bir ton kalay fiyatının ABD doları cinsinden fiyatı dikey olarak gösterilir. Açıklık sağlamak için, şekildeki kalın noktalar bir çizgiyle birbirine bağlanmıştır. Şekilden, işlem kapanışında kalay fiyatının hangi tarihte belirli bir dönem için en yüksek olduğunu belirleyin.

12. Görev 2'nin prototipi (No. 26876)

Şekilde kalın noktalar Tomsk'ta 8'den 24'e düşen günlük yağış miktarını göstermektedir.

Ocak 2005. Ayın tarihleri ​​yatay olarak, ilgili günde düşen yağış miktarı ise milimetre cinsinden dikey olarak gösterilir. Açıklık sağlamak için, şekildeki kalın noktalar bir çizgiyle birbirine bağlanmıştır. Resimden 13 Ocak'tan 20 Ocak'a kadar olan dönemde en fazla yağış miktarının ne kadar olduğunu belirleyin. Cevabınızı milimetre cinsinden verin.

Ortaöğretim genel eğitim

UMK G.K. Cebir ve matematiksel analizin ilkeleri (10-11) (derinlemesine)

UMK Merzlyak hattı. Cebir ve analizin başlangıcı (10-11) (U)

Matematik

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık (profil düzeyi): ödevler, çözümler ve açıklamalar

Profil düzeyindeki sınav çalışması 3 saat 55 dakika (235 dakika) sürmektedir.

Minimum eşik- 27 puan.

Sınav kağıdı içerik, karmaşıklık ve görev sayısı bakımından farklılık gösteren iki bölümden oluşur.

İşin her bir bölümünün tanımlayıcı özelliği, görevlerin biçimidir:

• bölüm 1, tam sayı veya son ondalık kesir şeklinde kısa bir cevabı olan 8 görev (görev 1-8) içerir;
• Bölüm 2, bir tamsayı veya son ondalık kesir şeklinde kısa bir cevabı olan 4 görevi (görevler 9-12) ve ayrıntılı bir cevabı olan (çözümün gerekçeleri ile birlikte tam bir kaydı) 7 görevi (görevler 13-19) içerir. alınan önlemler).

Panova Svetlana Anatolevna, okulun en yüksek kategorisindeki matematik öğretmeni, iş tecrübesi 20 yıl:

“Okul sertifikası alabilmek için, bir mezunun Birleşik Devlet Sınavı şeklinde, biri matematik olmak üzere iki zorunlu sınavı geçmesi gerekir. Matematik eğitiminin gelişimi kavramına uygun olarak Rusya Federasyonu Matematikte Birleşik Devlet Sınavı iki seviyeye ayrılmıştır: temel ve uzmanlık. Bugün profil düzeyindeki seçeneklere bakacağız.”

Görev No.1- Birleşik Devlet Sınavı katılımcılarının 5. ila 9. sınıf ilköğretim matematik dersinde edinilen becerileri pratik etkinliklerde uygulama yeteneğini test eder. Katılımcının hesaplama becerisine sahip olması, rasyonel sayılarla çalışabilmesi, ondalık sayıları yuvarlayabilmesi ve bir ölçü birimini diğerine çevirebilmesi gerekmektedir.

Örnek 1. Peter'ın yaşadığı daireye bir soğuk su debimetresi (sayaç) takıldı. 1 Mayıs'ta sayaç 172 metreküp tüketim gösterdi. m su ve 1 Haziran'da - 177 metreküp. m. Fiyat 1 metreküp ise Peter, Mayıs ayında soğuk su için ne kadar ödemelidir? m soğuk su 34 ruble 17 kopek mi? Cevabınızı ruble olarak verin.

Çözüm:

1) Aylık harcanan su miktarını bulun:

177 - 172 = 5 (m küp)

2) Boşa harcanan suya ne kadar para ödeyeceklerini bulalım:

34,17 5 = 170,85 (ovmak)

Cevap: 170,85.

Görev No.2- en basit sınav görevlerinden biridir. Mezunların çoğunluğu bununla başarılı bir şekilde başa çıkıyor, bu da fonksiyon kavramının tanımına dair bilgi sahibi olduğunu gösteriyor. Gereksinimlere göre 2 numaralı görev türü kodlayıcı, edinilen bilgi ve becerilerin pratik faaliyetlerde kullanılmasına ilişkin bir görevdir ve Gündelik Yaşam. Görev No. 2, fonksiyonların tanımlanması, kullanılması, nicelikler arasındaki çeşitli gerçek ilişkilerin tanımlanması ve grafiklerinin yorumlanmasından oluşur. Görev No. 2 tablolarda, diyagramlarda ve grafiklerde sunulan bilgileri çıkarma yeteneğini test eder. Mezunların, bir fonksiyonun değerini argümanının değerinden belirleyebilmeleri gerekir. çeşitli şekillerde Bir fonksiyonun belirlenmesi ve grafiğine dayalı olarak fonksiyonun davranışının ve özelliklerinin açıklanması. Ayrıca en büyüğünü veya en iyisini bulmanız gerekir. en küçük değer ve incelenen fonksiyonların grafiklerini oluşturun. Sorunun koşullarını okurken, diyagramı okurken yapılan hatalar rastgeledir.

#ADVERTISING_INSERT#

Örnek 2.Şekil, bir madencilik şirketinin bir hissesinin Nisan 2017'nin ilk yarısındaki değişim değerindeki değişimi gösteriyor. 7 Nisan'da işadamı bu şirketin 1.000 hissesini satın aldı. 10 Nisan'da satın aldığı hisselerin dörtte üçünü, 13 Nisan'da ise kalan hisselerin tamamını sattı. İş adamı bu operasyonlar sonucunda ne kadar kaybetti?

Çözüm:

2) 1000 · 3/4 = 750 (hisse) - satın alınan tüm hisselerin 3/4'ünü oluşturur.

6) 247500 + 77500 = 325000 (ovmak) - işadamı satıştan sonra 1000 hisse aldı.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (ovmak) - işadamı tüm işlemler sonucunda kaybetti.

Cevap: 15000.

Görev No.3- İlk bölümün temel düzeyindeki bir görevdir, eylemleri gerçekleştirme yeteneğini test eder. geometrik şekiller Planimetri dersinin içeriği hakkında. Görev 3, kareli kağıt üzerindeki bir şeklin alanını hesaplama yeteneğini, açıların derece ölçümlerini hesaplama yeteneğini, çevre hesaplamasını vb. Test eder.

Örnek 3. Hücre boyutu 1 cm x 1 cm olan kareli kağıda çizilen dikdörtgenin alanını bulun (şekle bakın). Cevabınızı santimetre kare cinsinden verin.

Çözüm: Belirli bir şeklin alanını hesaplamak için Tepe formülünü kullanabilirsiniz:

Belirli bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için Peak formülünü kullanırız:

Örnek 4.Çemberin üzerinde 5 kırmızı ve 1 mavi nokta işaretlenmiştir. Hangi çokgenlerin daha büyük olduğunu belirleyin: tüm köşeleri kırmızı olanlar veya köşelerinden biri mavi olanlar. Cevabınızda bazılarının diğerlerinden kaç tane daha fazla olduğunu belirtin.

Çözüm: 1) Kombinasyon sayısı formülünü kullanalım N tarafından elemanlar k:

köşelerinin tamamı kırmızıdır.

3) Tüm köşeleri kırmızı olan bir beşgen.

4) 10 + 5 + 1 = tüm köşeleri kırmızı olan 16 çokgen.

üstleri kırmızı olan veya üst kısmı mavi olan.

üstleri kırmızı olan veya üst kısmı mavi olan.

8) Kırmızı köşeleri ve bir mavi köşesi olan bir altıgen.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = tüm köşeleri kırmızı veya bir köşesi mavi olan 42 çokgen.

10) 42 – 16 = mavi noktayı kullanan 26 çokgen.

11) 26 – 16 = 10 çokgen – köşelerinden biri mavi nokta olan çokgen, tüm köşeleri yalnızca kırmızı olan çokgenlerden kaç tane daha fazladır.

Cevap: 10.

Görev No.5- İlk bölümün temel seviyesi, basit denklemleri (irrasyonel, üstel, trigonometrik, logaritmik) çözme yeteneğini test eder.

Örnek 5. Denklem 2'yi çözün 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Çözüm. Bu denklemin her iki tarafını da 5 3 +'ya bölün X≠ 0, şunu elde ederiz

buradan 3 + çıkıyor X = 1, X = –2.

Cevap: –2.

Görev No. 6 planimetride geometrik nicelikleri (uzunluklar, açılar, alanlar) bulmak, gerçek durumları geometri dilinde modellemek. Geometrik kavram ve teoremleri kullanarak oluşturulmuş modellerin incelenmesi. Zorlukların kaynağı, kural olarak, planimetrinin gerekli teoremlerinin bilgisizliği veya yanlış uygulanmasıdır.

Bir üçgenin alanı ABC 129'a eşittir. Almanya– orta çizgi yana paralel AB. Yamuğun alanını bulun YATAK.

Çözüm.Üçgen CDEüçgene benzer TAKSİ tepe noktasındaki açı olduğundan iki açıda C genel, açı СDE açıya eşit TAKSİ karşılık gelen açılar olarak Almanya || AB sekant AC.. Çünkü Almanya– üçgenin orta çizgisi önce koşula, sonra özelliğe göre orta çizgi | Almanya = (1/2)AB. Bu, benzerlik katsayısının 0,5 olduğu anlamına gelir. Benzer şekillerin alanları benzerlik katsayısının karesi ile ilişkilidir, dolayısıyla

Buradan, SABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Görev No.7- Türevin bir fonksiyonun çalışmasına uygulanmasını kontrol eder. Başarılı uygulama, türev kavramına ilişkin anlamlı, resmi olmayan bilgi gerektirir.

Örnek 7. Fonksiyonun grafiğine git sen = F(X) apsis noktasında X 0 bu grafiğin (4; 3) ve (3; –1) noktalarından geçen doğruya dik bir teğet çizilir. Bulmak F′( X 0).

Çözüm. 1) Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemini kullanıp (4; 3) ve (3; –1) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.

(sen – sen 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(sen 2 – sen 1)

(sen – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(sen – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–sen + 3 = –4X+ 16| · (-1)

sen – 3 = 4X – 16

sen = 4X– 13, nerede k 1 = 4.

2) Teğetin eğimini bulun k 2, çizgiye dik olan sen = 4X– 13, nerede k 1 = 4, formüle göre:

3) Teğet açı, fonksiyonun teğet noktasındaki türevidir. Araç, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Cevap: –0,25.

Görev No.8- sınav katılımcılarının temel stereometri bilgisini, şekillerin yüzey alanlarını ve hacimlerini, dihedral açıları bulmaya yönelik formülleri uygulama yeteneğini, benzer şekillerin hacimlerini karşılaştırmayı, geometrik şekiller, koordinatlar ve vektörler vb. ile eylemler gerçekleştirebilme becerisini test eder.

Bir kürenin çevrelediği küpün hacmi 216'dır. Kürenin yarıçapını bulun.

Çözüm. 1) V küp = A 3 (burada A– küpün kenarının uzunluğu), dolayısıyla

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Küre bir küpün içine yazıldığı için kürenin çapının uzunluğunun küpün kenarının uzunluğuna eşit olduğu anlamına gelir, dolayısıyla D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Görev No. 9- Mezunların dönüştürme ve sadeleştirme becerilerine sahip olmasını gerektirir cebirsel ifadeler. Görev No. 9 artan seviye Kısa cevap vermenin zorluğu. Birleşik Devlet Sınavının "Hesaplamalar ve Dönüşümler" bölümündeki görevler birkaç türe ayrılmıştır:

sayısal dönüşümler rasyonel ifadeler;

cebirsel ifadeleri ve kesirleri dönüştürme;

sayısal/harf irrasyonel ifadelerin dönüştürülmesi;

dereceli eylemler;

logaritmik ifadelerin dönüştürülmesi;

1. sayısal/harf trigonometrik ifadeleri dönüştürme.

Örnek 9. cos2α = 0,6 olduğu biliniyorsa tanα'yı hesaplayın ve

Çözüm. 1) Çift argüman formülünü kullanalım: cos2α = 2 cos 2 α – 1 ve bulalım

Bu tan 2 α = ± 0,5 anlamına gelir.

3) Koşula göre

bu, α'nın ikinci çeyreğin açısı olduğu ve tgα olduğu anlamına gelir< 0, поэтому tgα = –0,5.

Cevap: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Görev No. 10- Öğrencilerin edinilen erken bilgi ve becerileri pratik faaliyetlerde ve günlük yaşamda kullanma yeteneğini test eder. Bunların matematikte değil fizikte problemler olduğunu söyleyebiliriz ancak gerekli tüm formüller ve miktarlar şartta verilmiştir. Sorunlar doğrusal veya çözüme indirgenir ikinci dereceden denklem, veya doğrusal veya ikinci dereceden eşitsizlik. Dolayısıyla bu tür denklem ve eşitsizlikleri çözebilmek ve cevabını belirleyebilmek gerekir. Cevap tam sayı veya sonlu ondalık kesir olarak verilmelidir.

İki kütleli cisim M= Her biri 2 kg, aynı hızla hareket ediyor v= 10 m/s birbirine 2α açıyla. Kesinlikle esnek olmayan çarpışmaları sırasında açığa çıkan enerji (joule cinsinden), şu ifadeyle belirlenir: Q = mv 2 günah 2 α. Çarpışma sonucunda en az 50 jul enerji açığa çıkacak şekilde cisimler hangi en küçük 2α açısında (derece cinsinden) hareket etmelidir?
Çözüm. Sorunu çözmek için, 2α ∈ (0°; 180°) aralığında Q ≥ 50 eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor.

mv 2 günah 2 α ≥ 50

2 10 2 günah 2 α ≥ 50

200 günah 2 α ≥ 50

α ∈ (0°; 90°) olduğundan, yalnızca çözeceğiz

Eşitsizliğin çözümünü grafiksel olarak gösterelim:

α ∈ (0°; 90°) koşuluna göre 30° ≤ α anlamına gelir< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Görev No. 11- tipiktir ancak öğrenciler için zor olduğu ortaya çıktı. Zorluğun ana kaynağı matematiksel bir modelin oluşturulmasıdır (bir denklemin oluşturulması). Görev No. 11, sözlü problemleri çözme yeteneğini test eder.

Örnek 11. Bahar tatilinde 11. sınıf öğrencisi Vasya, Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak için 560 pratik problemini çözmek zorunda kaldı. 18 Mart'ta okulun son gününde Vasya 5 problemi çözdü. Sonra her gün bir önceki güne göre aynı sayıda problemi daha fazla çözdü. Tatilin son günü olan 2 Nisan'da Vasya'nın kaç sorunu çözdüğünü belirleyin.

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Cevap: 65.

Görev No. 12- Öğrencilerin fonksiyonlarla işlem yapma ve türevi bir fonksiyon çalışmasına uygulayabilme becerilerini test ederler.

Fonksiyonun maksimum noktasını bulun sen= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Çözüm: 1) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun: X + 9 > 0, X> –9, yani x ∈ (–9; ∞).

2) Fonksiyonun türevini bulun:

4) Bulunan nokta (–9; ∞) aralığına aittir. Fonksiyonun türevinin işaretlerini belirleyelim ve fonksiyonun davranışını şekilde gösterelim:

İstenilen maksimum nokta X = –8.

a) 2log 3 2 (2cos) denklemini çözün X) – 5log 3 (2cos) X) + 2 = 0

b) Bu denklemin doğru parçasına ait tüm köklerini bulun.

Çözüm: a) Log 3 (2cos) olsun X) = T, sonra 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

b) Segment üzerinde bulunan kökleri bulun.

Şekil verilen segmentin köklerinin ait olduğunu göstermektedir.

Silindirin tabanının dairesinin çapı 20, silindirin generatrix'i 28'dir. Düzlem, tabanını 12 ve 16 uzunluğundaki kirişler boyunca keser. Akorlar arasındaki mesafe 2√197'dir.

a) Silindirin taban merkezlerinin bu düzlemin bir tarafında olduğunu kanıtlayın.

b) Bu düzlem ile silindirin taban düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Çözüm: a) 12 uzunluğundaki bir kiriş taban çemberinin merkezinden = 8 uzaklıkta ve 16 uzunluğundaki bir kiriş de benzer şekilde 6 uzaklıkta bulunmaktadır. silindirlerin tabanları ya 8 + 6 = 14 ya da 8 − 6 = 2'dir.

O zaman akorlar arasındaki mesafe ya

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Koşula göre, kirişlerin çıkıntılarının silindir ekseninin bir tarafında yer aldığı ikinci durum gerçekleştirildi. Bu, eksenin silindir içindeki bu düzlemle kesişmediği, yani tabanların silindirin bir tarafında yer aldığı anlamına gelir. Kanıtlanması gereken şey.

b) Bazların merkezlerini O 1 ve O 2 olarak gösterelim. Tabanın merkezinden 12 uzunluğunda bir kirişle bu kirişe (daha önce belirtildiği gibi uzunluğu 8'dir) ve diğer tabanın merkezinden diğer kirişe dik bir açıortay çizelim. Bu akorlara dik olarak aynı β düzleminde bulunurlar. Küçük akorun orta noktasına B, daha büyük akorun A ve A'nın ikinci tabana izdüşümüne - H (H ∈ β) diyelim. O zaman AB,AH ∈ β ve dolayısıyla AB,AH kirişe, yani tabanın verilen düzlemle kesiştiği düz çizgiye diktir.

Bu, gerekli açının şuna eşit olduğu anlamına gelir:

Görev No. 15- Ayrıntılı bir cevapla artan karmaşıklık düzeyi, artan karmaşıklık düzeyinin ayrıntılı bir yanıtıyla görevler arasında en başarılı şekilde çözülen eşitsizlikleri çözme yeteneğini test eder.

Örnek 15. Eşitsizliği çözün | X 2 – 3X| günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Çözüm: Bu eşitsizliğin tanım alanı (–1; +∞) aralığıdır. Üç durumu ayrı ayrı düşünün:

1) izin ver X 2 – 3X= 0, yani X= 0 veya X= 3. Bu durumda bu eşitsizlik doğru olur, dolayısıyla bu değerler çözüme dahil edilir.

2) Şimdi izin ver X 2 – 3X> 0, yani X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Ayrıca bu eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir: ( X 2 – 3X) günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 ve pozitif bir ifadeye böl X 2 – 3X. Günlük 2'yi alıyoruz ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 veya X≤ –0,5. Tanımın alanını dikkate alarak, X ∈ (–1; –0,5].

3) Son olarak şunu düşünelim X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). Bu durumda orijinal eşitsizlik (3) şeklinde yeniden yazılacaktır. X – X 2) günlük 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Pozitif 3'e böldükten sonra X – X 2, log 2'yi alıyoruz ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Bölgeyi hesaba katarsak, X ∈ (0; 1].

Elde edilen çözümleri birleştirerek şunu elde ederiz: X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Cevap: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Görev No. 16- ileri seviye, ikinci bölümde ayrıntılı bir cevapla verilen görevleri ifade eder. Görev, geometrik şekiller, koordinatlar ve vektörlerle eylem gerçekleştirme yeteneğini test eder. Görev iki nokta içeriyor. İlk noktada görevin kanıtlanması, ikinci noktada ise hesaplanması gerekir.

Açısı 120° olan bir ABC ikizkenar üçgeninde, BD ortayağı A köşesine çizilir. DEFH dikdörtgeni ABC üçgeninin içine yazılmıştır, böylece FH kenarı BC doğru parçası üzerinde ve E köşesi AB doğru parçası üzerinde yer alır. a) FH = 2DH olduğunu kanıtlayın. b) AB = 4 ise DEFH dikdörtgeninin alanını bulun.

Çözüm: A)

1) ΔBEF – dikdörtgen, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, bu durumda bacağın 30° açının karşısında yer alması özelliği ile EF = BE.

2) EF = DH = olsun X, bu durumda BE = 2 X, BF = X√3 Pisagor teoremine göre.

3) ΔABC ikizkenar olduğundan ∠B = ∠C = 30˚ anlamına gelir.

BD, ∠B'nin açıortayıdır, bu da ∠ABD = ∠DBC = 15˚ anlamına gelir.

4) ΔDBH’yi dikdörtgen olarak düşünün, çünkü DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Cevap: 24 – 12√3.

Örnek 17. Dört yıl boyunca 20 milyon ruble tutarında bir depozitonun açılması planlanıyor. Banka, her yılın sonunda mevduatını yılbaşındaki büyüklüğüne göre %10 oranında artırıyor. Ayrıca üçüncü ve dördüncü yılların başında yatırımcı yıllık olarak depozitosunu yeniler. X milyon ruble, nerede X - tüm sayı. Bulmak en yüksek değer X bankanın dört yıl içinde mevduata 17 milyon rubleden az tahakkuk edeceği.

Çözüm:İlk yılın sonunda katkı 20 + 20 · 0,1 = 22 milyon ruble ve ikinci yılın sonunda - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milyon ruble olacak. Üçüncü yılın başında katkı (milyon ruble cinsinden) (24,2 +) olacaktır. X) ve sonunda - (24,2 + X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Dördüncü yılın başında katkı (26,62 + 2,1) olacaktır. X), ve sonunda - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Koşula göre eşitsizliğin geçerli olduğu en büyük x tam sayısını bulmanız gerekir

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

Bu eşitsizliğin en büyük tamsayı çözümü 24 sayısıdır.

Cevap: 24.

ne de A eşitsizlik sistemi

tam olarak iki çözümü var mı?

Çözüm: Bu sistem şu şekilde yeniden yazılabilir:

İlk eşitsizliğin çözüm kümesini düzlem üzerinde çizersek, yarıçapı 1 olan ve merkezi (0, A). İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi, fonksiyonun grafiğinin altında kalan düzlemin parçasıdır sen = | X| – A, ve ikincisi fonksiyonun grafiğidir
sen = | X| , aşağı kaydırıldı A. Bu sistemin çözümü her bir eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir.

Sonuç olarak, bu sistemin yalnızca Şekil 2'de gösterilen durumda iki çözümü olacaktır. 1.

Çemberin çizgilerle temas noktaları sistemin iki çözümü olacaktır. Düz çizgilerin her biri eksenlere 45° açıyla eğimlidir. Yani bu bir üçgen PQR– dikdörtgen ikizkenarlar. Nokta Q koordinatları vardır (0, A) ve nokta R– koordinatlar (0, – A). Ayrıca segmentler halkla ilişkiler Ve Güç kalitesi 1'e eşit olan dairenin yarıçapına eşittir. Bu şu anlama gelir:

İzin vermek sn toplam P aritmetik ilerleme terimleri ( bir p). biliniyor ki Sn + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Formülü sağlayın P bu ilerlemenin üçüncü dönemi.

b) En küçük mutlak toplamı bulun Sn.

c) En küçüğü bulun P, hangi Sn bir tamsayının karesi olacaktır.

Çözüm: a) Açıkça görülüyor ki BİR = Sn – Sn-1. Bu formülü kullanarak şunu elde ederiz:

Sn = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

Sn – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Araç, BİR = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) O zamandan beri Sn = 2N 2 – 25N, ardından işlevi düşünün S(X) = | 2X 2 – 25x|. Grafiği şekilde görülebilir.

Açıkçası, en küçük değer, fonksiyonun sıfırlarına en yakın tamsayı noktalarında elde edilir. Açıkçası bunlar noktalar X= 1, X= 12 ve X= 13. Çünkü, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13 ise en küçük değer 12'dir.

c) Önceki paragraftan şu sonuç çıkıyor: sn başlayarak olumlu N= 13. Çünkü Sn = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), o zaman bu ifadenin tam kare olduğu bariz durum şu şekilde gerçekleşir: N = 2N– 25, yani P= 25.

13'ten 25'e kadar olan değerleri kontrol etmeye devam ediyor:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Daha küçük değerler için ortaya çıktı P tam bir kare elde edilmez.

Cevap: A) BİR = 4N– 27; b) 12; 25.

________________

*Mayıs 2017'den bu yana, birleşik yayın grubu "DROFA-VENTANA", Rus Ders Kitabı şirketinin bir parçası olmuştur. Şirket ayrıca Astrel yayınevini ve LECTA dijital eğitim platformunu da içeriyor. Rusya Federasyonu Hükümeti Finans Akademisi mezunu, İktisadi Bilimler Adayı, DROFA yayınevinin dijital eğitim alanındaki yenilikçi projelerinin başkanı Alexander Brychkin (ders kitaplarının elektronik formları, Rus Elektronik Okulu, dijital eğitim platformu) LECTA) Genel Müdür olarak atandı. DROFA yayınevine katılmadan önce, yayın holdingi EKSMO-AST'ın stratejik gelişimi ve yatırımlarından sorumlu başkan yardımcısı olarak görev yaptı. Bugün, "Rusça Ders Kitabı" yayınevi Federal Listede yer alan en büyük ders kitabı portföyüne sahiptir - 485 başlık (özel okullar için ders kitapları hariç yaklaşık% 40). Şirketin yayınevleri, ülkenin üretken potansiyelinin geliştirilmesi için gerekli olan fizik, çizim, biyoloji, kimya, teknoloji, coğrafya, astronomi alanlarında Rus okullarındaki en popüler ders kitabı setlerine sahiptir. Şirketin portföyünde, eğitim alanında Cumhurbaşkanlığı Ödülü'ne layık görülen ilkokullara yönelik ders kitapları ve öğretim yardımcıları yer alıyor. Bunlar, Rusya'nın bilimsel, teknik ve üretim potansiyelinin geliştirilmesi için gerekli olan konu alanlarındaki ders kitapları ve kılavuzlardır.

Sorun No. 5922.

Sahibi, işçilerle aşağıdaki koşullar altında bir kuyu kazacakları konusunda anlaştı: ilk metre için onlara 3.500 ruble ve sonraki her metre için - bir öncekinden 1.600 ruble daha fazla ödeyecekti. 9 metre derinliğinde bir kuyu kazarlarsa, sahibi işçilere ne kadar para ödemek zorunda kalacak?

Sonraki her sayaç için yapılan ödeme, bir önceki sayaç için yapılan ödemeden aynı numara kadar farklı olduğu için önümüzde var.

Bu ilerlemede - ilk sayaç için ödeme, - sonraki her sayaç için ödeme farkı, - iş günü sayısı.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı aşağıdaki formülle bulunur:

Bu problemleri bu formülde yerine koyalım.

Cevap: 89100.

Sorun No. 5943.

Döviz bürosunda iki işlemden birini gerçekleştirebilirsiniz:

· 2 altın karşılığında 3 gümüş ve bir bakır alırsınız;

· 5 gümüş para karşılığında 3 altın ve bir bakır alırsınız.

Nicholas'ın yalnızca gümüş paraları vardı. Döviz bürosuna yaptığı birkaç ziyaretten sonra gümüş paraları küçüldü, hiç altın para görünmedi, ancak 100 bakır para ortaya çıktı. Nicholas'ın gümüş para sayısı ne kadar azaldı??

Sorun No. 5960.

Çekirge koordinat çizgisi boyunca herhangi bir yönde atlar birim segmenti atlama için. Çekirgenin orijinden başlayarak tam olarak 5 sıçrama yaptıktan sonra ulaşabileceği koordinat doğrusu üzerinde kaç farklı nokta vardır?

Çekirge bir yönde (sağa veya sola) beş atlama yaparsa, 5 veya -5 koordinatlarına sahip noktalara ulaşacaktır:

Çekirgenin hem sağa hem de sola atlayabildiğini unutmayın. Sağa 1, sola 4 atlayış yaparsa (toplam 5 atlayış) koordinatı -3 olan noktaya ulaşacaktır. Benzer şekilde çekirge sola 1, sağa 4 atlayış yaparsa (toplam 5 atlayış), koordinatı 3 olan noktaya ulaşacaktır:

Çekirge sağa 2, sola 3 zıplama yaparsa (toplam 5 zıplama) -1 koordinatındaki noktaya ulaşacaktır. Benzer şekilde çekirge sola 2, sağa 3 zıplama yaparsa (toplamda 5 zıplama), koordinatı 1 olan noktaya ulaşacaktır:

Toplam atlama sayısı tek ise çekirgenin koordinatların başlangıç ​​noktasına dönmeyeceğini, yani yalnızca tek koordinatlara sahip noktalara ulaşabileceğini unutmayın:

Bu noktalardan sadece 6 tanesi var.

Atlama sayısı çift olsaydı, çekirge koordinatların orijinine dönebilecekti ve koordinat çizgisi üzerinde vurabileceği tüm noktaların koordinatları çift olacaktı.

Cevap: 6

Sorun No. 5990

Bir salyangoz günde 2 m ağaca tırmanıyor ve gecede 1 m aşağı kayıyor. Ağacın yüksekliği 9 m'dir. Salyangozun ağacın tepesine ulaşması kaç gün sürer?

Bu problemde “gün” kavramı ile “gün” kavramını birbirinden ayırmamız gerektiğini unutmayın.

Sorun tam olarak ne kadar süreceğini soruyor günler salyangoz ağacın tepesine kadar sürünecek.

Salyangoz bir günde yükselir 2 m ve bir günde salyangoz yükselir 1 m (gündüz 2 m yükselir ve gece 1 m alçalır).

Salyangoz 7 günde 7 metre yükselir. Yani 8. günün sabahı zirveye kadar 2 m sürünmesi gerekecek ve sekizinci gün bu mesafeyi kat edecek.

Cevap: 8 gün.

Sorun No. 6010.

Evin tüm girişleri aynı kat sayısına sahiptir ve her katta aynı sayıda daire bulunmaktadır. Bu durumda evdeki kat sayısı kattaki daire sayısından fazla, kattaki daire sayısı giriş sayısından fazla ve giriş sayısı birden fazla oluyor. Toplamda 105 daire varsa bina kaç katlıdır?

Bir evin daire sayısını bulmak için kattaki daire sayısını ( ) kat sayısıyla ( ) ve giriş sayısıyla ( ) çarpmanız gerekir.

Yani, ( )'yi bulmamız gerekiyor. aşağıdaki koşullar:

(1)

Son eşitsizlik durumu yansıtıyor “Bir binadaki kat sayısı, bir kattaki daire sayısından, bir kattaki daire sayısı giriş sayısından, giriş sayısı birden fazla.”

Yani ( ) en çok daha büyük sayı.

105'i asal çarpanlarına ayıralım:

Koşul (1) dikkate alındığında, .

Cevap: 7.

Sorun No. 6036.

Sepette 30 adet mantar bulunmaktadır: safranlı süt kapakları ve süt mantarları. Herhangi 12 mantar arasında en az bir safran süt mantarı olduğu ve herhangi 20 mantar arasında en az bir süt mantarı olduğu bilinmektedir. Sepette kaç tane safranlı süt kapağı var?

Çünkü 12 mantar arasında en az bir kamelya bulunur(veya daha fazla) süt mantarı sayısı eşit veya az olmalıdır.

Buradan safran süt kapaklarının sayısının 'den büyük veya eşit olduğu sonucu çıkar.

Çünkü 20 mantar arasında en az bir mantar(veya daha fazla), safranlı süt kapaklarının sayısı şuna eşit veya daha az olmalıdır:

Daha sonra bir yandan safranlı süt kapaklarının sayısının şundan fazla veya ona eşit olduğunu bulduk: 19 , ve diğer yandan - küçük veya eşittir 19 .

Bu nedenle safran sütü kapak sayısı eşittir 19.

Cevap: 19.

Sorun No. 6047.

Sasha, 333 numaralı dairenin yedinci girişinde yaşadığını ancak katı söylemeyi unuttuğunu söyleyerek Petya'yı ziyarete davet etti. Eve yaklaşan Petya, evin dokuz kat yüksekliğinde olduğunu keşfetti. Sasha hangi katta yaşıyor? (Her katta daire sayısı aynı olup binadaki daire numaraları bir ile başlamaktadır.)

Her katta daire olsun.

O zaman ilk altı girişteki daire sayısı eşittir

Eşitsizliği sağlayan maksimum doğal değeri bulalım ( - altıncı girişteki son daire sayısı ve 333'ten küçüktür.)

Buradan

Altıncı girişteki son dairenin numarası

Yedinci giriş 325 numaralı daireden başlıyor.

Bu nedenle 333 numaralı daire ikinci kattadır.

Cevap: 2

Sorun No. 6060.

Kürenin yüzeyine keçeli kalemle 17 paralel ve 24 meridyen çizildi. Çizilen çizgiler dünyanın yüzeyini kaç parçaya böler? Meridyen, Kuzeyi ve Kuzeyi birbirine bağlayan bir daire yayıdır. Güney Kutbu. paralel, ekvator düzlemine paralel bir düzlemde uzanan bir dairedir.

Parçalara ayırdığımız bir karpuz hayal edelim.

Yukarıdan aşağıya doğru iki kesim yaparak (iki meridyen çizerek) karpuzu iki dilime ayıracağız. Bu nedenle 24 kesim (24 meridyen) yaparak karpuzu 24 dilime ayıracağız.

Şimdi her dilimi keseceğiz.

1 enine kesim (paralel) yaparsak, bir dilimi 2 parçaya böleceğiz.

2 adet enine (paralel) kesim yaparsak bir dilimi 3 parçaya bölmüş oluruz.

Bu, 17 kesim yaparak bir dilimi 18 parçaya böleceğimiz anlamına gelir.

Böylece 24 dilimi 18 parçaya böldük ve bir parça elde ettik.

Sonuç olarak 17 paralel ve 24 meridyen dünya yüzeyini 432 parçaya böler.

Cevap: 432.

Sorun No. 6069

Çubuk kırmızı, sarı ve yeşil enine çizgilerle işaretlenmiştir. Bir çubuğu kırmızı çizgiler boyunca keserseniz 5 parça, sarı çizgiler boyunca keserseniz 7 parça, yeşil çizgiler boyunca keserseniz 11 parça elde edersiniz. Bir çubuğu üç rengin çizgileri boyunca keserseniz kaç parça elde edersiniz?

1 kesim yaparsanız 2 parça elde edersiniz.

2 kesim yaparsanız 3 parça elde edersiniz.

Genel olarak: keserseniz bir parça alırsınız.

Geri: Parçaları almak için bir kesim yapmanız gerekir.

Çubuğun kesildiği toplam çizgi sayısını bulalım.

Bir çubuğu kırmızı çizgiler boyunca keserseniz 5 parça alırsınız. dolayısıyla 4 kırmızı çizgi vardı;

sarı ise – 7 adet – dolayısıyla 6 sarı çizgi vardı;

ve yeşil olanlarda ise - 11 adet - dolayısıyla 10 yeşil çizgi vardı.

Dolayısıyla toplam satır sayısı eşittir. Bir çubuğu tüm çizgileri boyunca keserseniz 21 parça elde edersiniz.

Cevap: 21.

Sorun No. 9626.

Çevre yolu üzerinde 4 adet benzin istasyonu bulunmaktadır: A, B, B ve D. A ile B arası 50 km, A ile B arası 40 km, C ile D arası 25 km, G ile A arası 25 km'dir. 35 km (tüm mesafeler boyunca ölçülür Çevre yolu V en kısa kenar). B ile C arasındaki mesafeyi bulun.

Benzin istasyonlarının nasıl yerleştirilebileceğini görelim. Bunları şu şekilde düzenlemeye çalışalım:

Bu düzenlemeyle G ile A arasındaki mesafe 35 km olamaz.

Hadi bunu deneyelim:

Bu düzenlemeyle A ile B arası 40 km olamaz.

Bu seçeneği ele alalım:

Bu seçenek sorunun koşullarını karşılamaktadır.

Cevap: 10.

Sorun No. 10041.

Sınav görevlerinin listesi 25 sorudan oluşuyordu. Öğrenciye her doğru cevap için 7 puan, yanlış cevap için 9 puan, cevap vermemesi için ise 0 puan verilmiştir. 56 puan alan bir öğrenci en az bir kez hatalı olduğu biliniyorsa kaç doğru cevap vermiştir?

Öğrencinin doğru ve yanlış cevap vermesine izin verin ( ). Muhtemelen cevapladığı başka sorular da olduğundan eşitsizliği elde ederiz:

Ayrıca duruma göre;

Doğru cevapta 7 puan, yanlış cevapta ise 9 puan toplandığı ve öğrenci 56 puan aldığı için denklem şu şekildedir:

Bu denklemin tam sayılarla çözülmesi gerekiyor.

9, 7'ye bölünemediği için 7'ye bölünebilir.

O zaman olsun.

Bu durumda tüm koşullar karşılanmıştır.

Sorun No. 10056.

Dikdörtgen iki düz kesimle dört küçük dikdörtgene bölünmüştür. Bunlardan üçünün sol üstten başlayarak saat yönünde alanları 15, 18, 24'tür. Dördüncü dikdörtgenin alanını bulun.

Bir dikdörtgenin alanı kenarlarının çarpımına eşittir.

Sarı ve mavi dikdörtgenlerin ortak bir kenarı vardır, dolayısıyla bu dikdörtgenlerin alanlarının oranı diğer kenarların uzunluklarının oranına eşittir (birbirine eşit değildir).

Beyaz ve yeşil dikdörtgenlerin de ortak bir kenarı vardır, yani alanlarının oranı diğer kenarların oranına eşittir (birbirine eşit değildir), yani aynı oran:

Oran özelliğinden elde ettiğimiz

Buradan.

Sorun No. 10071.

Dikdörtgen iki düz kesimle dört küçük dikdörtgene bölünmüştür. Bunlardan üçünün çevresi sol üstten başlayarak saat yönünde 17, 12, 13'tür. Dördüncü dikdörtgenin çevresini bulun.

Bir dikdörtgenin çevresi tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına eşittir.

Dikdörtgenlerin kenarlarını şekilde gösterildiği gibi belirleyelim ve dikdörtgenin çevrelerini belirtilen değişkenler aracılığıyla ifade edelim. Şunu elde ederiz:

Şimdi ifadenin değerinin ne olduğunu bulmamız gerekiyor.

Üçüncü denklemden ikinciyi çıkarıp üçüncüyü ekleyelim. Şunu elde ederiz:

Sağ ve sol tarafları basitleştirirsek şunu elde ederiz:

Bu yüzden, .

Cevap: 18.

Sorun No. 10086.

Tablonun üç sütunu ve birkaç satırı vardır. Tablonun her hücresine, birinci sütundaki sayıların toplamı 72, ikinci sütundaki sayıların toplamı 81, üçüncü sütundaki sayıların toplamı 91 ve her satırdaki sayıların toplamı 13'ten büyük olacak şekilde bir doğal sayı yerleştirildi. , ancak 16'dan az. Tabloda kaç satır var?

Tablodaki tüm sayıların toplamını bulalım: .

Tablodaki satır sayısı olsun.

Probleme göre her satırdaki sayıların toplamı 13'ten fazla fakat 16'dan az.

Sayıların toplamı bir doğal sayı olduğundan, bu çifte eşitsizliği sağlayan yalnızca iki doğal sayı vardır: 14 ve 15.

Her satırdaki sayıların toplamının 14 olduğunu varsayarsak tablodaki tüm sayıların toplamı eşittir ve bu toplam eşitsizliği karşılar.

Her satırdaki sayıların toplamının 15 olduğunu varsayarsak tablodaki tüm sayıların toplamı eşittir ve bu sayı eşitsizliği karşılar.

Dolayısıyla bir doğal sayı eşitsizlik sistemini karşılamalıdır:

Bu sistemi tatmin eden tek doğal şey

Cevap: 17.

A, B ve C doğal sayılarının her birinin 4'ten büyük, 8'den küçük olduğu biliniyor. Bir doğal sayı tahmin ettiler, sonra bunu A ile çarptılar, sonra elde edilen B çarpımına eklediler ve C'yi çıkardılar. sonuç 165 oldu. Hangi sayı tahmin edildi?

Tamsayılar A, B ve C 5, 6 veya 7 sayılarına eşit olabilir.

Bilinmeyen doğal sayıya eşit olsun.

Şunu elde ederiz: ;

Çeşitli seçenekleri ele alalım.

A=5 olsun. O halde B=6 ve C=7 veya B=7 ve C=6 veya B=7 ve C=7 veya B=6 ve C=6.

Hadi kontrol edelim: ;

(1)

165 5'e bölünür.

B ve C sayıları arasındaki fark, eğer bu sayılar eşitse, ya eşit ya da 0'a eşittir. Fark eşitse, eşitlik (1) imkansızdır. Bu nedenle fark 0'dır ve

A=6 olsun. O halde B=5 ve C=7 veya B=7 ve C=5 veya B=7 ve C=7 veya B=5 ve C=5.

Hadi kontrol edelim: ;

(2)

B ve C sayıları arasındaki fark, eğer bu sayılar eşitse, ya eşit ya da 0'a eşittir. Fark 0'a eşitse, o zaman eşitlik (2) imkansızdır çünkü bu bir çift sayıdır ve toplam (165 + çift sayı) çift sayı olamaz.

A=7 olsun. O halde B=5 ve C=6 veya B=6 ve C=5 veya B=6 ve C=6 veya B=5 ve C=5.

Hadi kontrol edelim: ;

(3)

Açıkçası, bırakılan sayfalardan sonraki ilk sayfanın numarası 352'den büyüktür, yani 532 veya 523 olabilir.

Bırakılan her sayfa 2 sayfa içerir. Bu nedenle çift sayıda sayfa vardır. 352 çift sayıdır. Çift sayıya çift sayı eklersek çift sayı elde ederiz. Bu nedenle son bırakılan sayfanın numarası çift sayı olduğundan, bırakılan sayfalardan sonraki ilk sayfanın numarası tek yani 523 olmalıdır. Dolayısıyla son bırakılan sayfanın numarası 522 olur. Bu durumda sonuç; çarşaflar.

Cevap: 85

Maşa ve Ayı aynı anda başlayıp bitirerek 160 kurabiye ve bir kavanoz reçel yediler. İlk başta Maşa reçel yedi, Ayı da kurabiye yedi ama bir noktada değiştiler. Ayı ikisini de Masha'dan üç kat daha hızlı yer. Reçeli eşit miktarda yerse Ayı kaç tane kurabiye yemiştir?

Maşa ve Ayı reçeli eşit şekilde yerse ve ayı birim zamanda üç kat daha fazla reçel yerse, o zaman Maşa'dan üç kat daha az sürede reçel yerdi. Başka bir deyişle Maşa, Ayı'dan üç kat daha uzun süre reçel yedi. Ancak Maşa reçel yerken ayı da kurabiye yiyordu. Sonuç olarak ayı, kurabiyeleri Masha'dan üç kat daha uzun süre yedi. Ancak Ayı ayrıca birim zaman başına Masha'dan üç kat daha fazla kurabiye yedi, bu nedenle sonunda Masha'dan 9 kat daha fazla kurabiye yedi.

Artık bir denklem oluşturmak çok kolay. Maşa'nın kurabiyeleri yemesine izin verin, ardından Ayı kurabiyeleri yedi. Birlikte kurabiyeleri yediler. denklemi elde ederiz:

Cevap: 144

Bir çiçekçinin tezgahında 3 adet gül vazosu vardır: turuncu, beyaz ve mavi. Turuncu vazonun solunda 15 adet, mavi vazonun sağında ise 12 adet gül bulunmaktadır. Vazolarda toplam 22 adet gül bulunmaktadır. turuncu bir vazoda kaç tane gül var?

15+12=27 ve 27>22 olduğundan bir vazodaki çiçek sayısı iki kere sayılmıştır. Ve bu beyaz bir vazo çünkü mavi olanın sağında, turuncu olanın solunda duran vazo olmalı. Yani vazolar şu sırayla:

Buradan sistemi alıyoruz:

Üçüncü denklemden birinciyi çıkardığımızda O = 7 elde ederiz.

Cevap: 7

On sütun birbirine kablolarla bağlanıyor, böylece her sütundan tam olarak 8 kablo geliyor. Bu on kutup arasında kaç tane kablo var?

Çözüm

Durumu simüle edelim. İki sütunumuz olsun ve her sütundan tam olarak 1 tel gelecek şekilde birbirlerine tellerle bağlansınlar. Daha sonra direklerden 2 adet tel geldiği ortaya çıkıyor. Ama şöyle bir durumumuz var:

Yani direklerden 2 adet tel gelse de direklerin arasına sadece bir tel gerilecektir. Bu, uzatılan kablo sayısının giden kablo sayısından iki kat daha az olduğu anlamına gelir.

Şunu elde ederiz: - giden kabloların sayısı.

Çekilen tel sayısı.

Cevap: 40

On ülkeden yedisi tam olarak diğer üç ülkeyle dostluk anlaşması imzaladı ve geri kalan üç ülkeden her biri tam yedi ülkeyle dostluk anlaşması imzaladı. Kaç sözleşme imzalandı?

Bu görev bir öncekine benzer: iki ülke bir genel anlaşma imzalıyor. Her anlaşmanın iki imzası vardır. Yani imzalanan anlaşma sayısı imza sayısının yarısı kadardır.

İmza sayısını bulalım:

İmzalanan sözleşme sayısını bulalım:

Cevap: 21

Bir noktadan çıkan üç ışın, düzlemi tamsayı derece cinsinden ölçülen üç farklı açıya böler. En büyük açı en küçüğün 3 katıdır. Ortalama açı kaç değer alabilir?

En küçük açıya eşit olursa en büyük açı da eşit olur. Bütün açıların toplamı eşit olduğundan ortalama açının değeri de eşittir.

Ortalama açı en küçük açıdan büyük, en büyük açıdan küçük olmalıdır.

Bir eşitsizlik sistemi elde ederiz:

Dolayısıyla 52 ila 71 derece aralığındaki değerleri yani olası tüm değerleri alır.

Cevap: 20

Misha, Kolya ve Lesha masa tenisi oynuyorlar: Oyunu kaybeden oyuncu, oyuna katılmayan oyuncuya yol veriyor. Sonunda Misha'nın 12, Kolya'nın ise 25 maç oynadığı ortaya çıktı. Lesha kaç oyun oynadı?

Çözüm

Turnuvanın nasıl yapılandırıldığı açıklanmalıdır: turnuva sabit sayıda oyundan oluşur; Belirli bir oyunda kaybeden, yerini bu oyuna katılmayan bir oyuncuya bırakır. Bir sonraki oyunun sonunda kaybeden oyuncunun yerini oyuna katılmayan oyuncu alır. Sonuç olarak, her oyuncu ardışık iki oyundan en az birinde yer alır.

Toplamda kaç oyun olduğunu bulalım.

Kolya 25 maç oynadığı için turnuvada en az 25 maç oynandı.

Misha 12 maç oynadı. Kesinlikle her iki oyunda da yer aldığından, fazla oyun oynanmadı. Yani turnuva 25 maçtan oluşuyordu.

Misha 12 oyun oynadıysa, Lesha kalan 13 oyunu oynadı.

Cevap: 13

Çeyreğin sonunda Petya, 5 konu olan konulardan biri için tüm notlarını arka arkaya yazdı ve bazılarının arasına çarpım işareti koydu. Ortaya çıkan sayıların çarpımı 3495'e eşit çıktı. Öğretmen yalnızca 2, 3, 4 veya 5 puan verirse ve çeyrekteki son not, tüm mevcut notların yuvarlama kurallarına göre yuvarlanmış aritmetik ortalamasıysa, Petya bu konuda hangi çeyrekte hangi notu alır? (Örneğin, 3,2, 3'e; 4,5 - 5'e; 2,8 - 3'e yuvarlanır)

3495'i asal çarpanlarına ayıralım. Son rakam sayı 5'tir, dolayısıyla sayı 5'e bölünebilir; Rakamların toplamı 3'e bölünebildiğinden sayı da 3'e bölünür.

Anladım

Dolayısıyla Petit'in tahminleri 3, 5, 2, 3, 3'tür. Aritmetik ortalamayı bulalım:

Cevap: 3

Aritmetik ortalama 6 farklı doğal sayılar 8'e eşittir. Bu sayıların aritmetik ortalamalarının 1 fazla olması için en büyüğü ne kadar artırılmalıdır?

Aritmetik ortalama, tüm sayıların toplamının sayılarına bölünmesine eşittir. Tüm sayıların toplamı eşit olsun. Dolayısıyla sorunun koşullarına göre.

Aritmetik ortalama 1 daha fazla oldu yani 9 oldu. Sayılardan biri artırılırsa toplam bir arttı ve eşit oldu.

Sayı sayısı değişmedi ve 6'ya eşit oldu.

Eşitlik elde ederiz: