Nariši osno simetrijo. Osna simetrija v živi in ​​neživi naravi

V tej lekciji si bomo ogledali še eno značilnost nekaterih figur - osno in centralno simetrijo. Z osno simetrijo se srečujemo vsak dan, ko se pogledamo v ogledalo. Centralna simetrija je v živi naravi zelo pogosta. Hkrati imajo figure, ki imajo simetrijo, številne lastnosti. Poleg tega se naknadno naučimo, da sta osna in centralna simetrija vrsti gibanja, s pomočjo katerih se rešuje cel razred problemov.

Ta lekcija je namenjena osni in centralni simetriji.

Opredelitev

Točki se imenujeta simetrično relativno ravno, če:

Na sl. 1 prikazuje primere točk, simetričnih glede na ravno črto in , in .

riž. 1

Upoštevajte tudi dejstvo, da je vsaka točka na premici simetrična sama sebi glede na to premico.

Številke so lahko tudi simetrične glede na ravno črto.

Oblikujmo strogo definicijo.

Opredelitev

Slika se imenuje simetrično glede na ravno, če za vsako točko figure pripada tudi točka, ki ji je simetrična glede na to premico. V tem primeru se linija kliče simetrična os. Figura ima osna simetrija.

Oglejmo si nekaj primerov figur z osno simetrijo in njihovih simetrijskih osi.

Primer 1

Kot ima osno simetrijo. Simetrična os kota je simetrala. Res: spustimo pravokotnico na simetralo iz katere koli točke kota in jo podaljšamo, dokler se ne preseka z drugo stranjo kota (glej sliko 2).

riž. 2

(saj - skupna stran, (lastnost simetrale), trikotniki pa so pravokotni). Pomeni,. Zato sta točki simetrični glede na simetralo kota.

Iz tega sledi, da ima enakokraki trikotnik tudi osno simetrijo glede na simetralo (nadmorska višina, mediana), narisano na osnovo.

Primer 2

Enakostranični trikotnik ima tri simetrične osi (simetrale/mediane/višine vsakega od treh kotov (glej sliko 3).

riž. 3

Primer 3

Pravokotnik ima dve simetrijski osi, od katerih vsaka poteka skozi razpoloviščni točki obeh nasprotnih strani (glej sliko 4).

riž. 4

Primer 4

Romb ima tudi dve simetrijski osi: ravne črte, ki vsebujejo njegove diagonale (glej sliko 5).

riž. 5

Primer 5

Kvadrat, ki je hkrati romb in pravokotnik, ima 4 simetrijske osi (glej sliko 6).

riž. 6

Primer 6

Za krog je simetrijska os vsaka ravna črta, ki poteka skozi njegovo središče (to je, vsebuje premer kroga). Zato ima krog neskončno veliko simetrijskih osi (glej sliko 7).

riž. 7

Oglejmo si zdaj koncept centralna simetrija.

Opredelitev

Točke se imenujejo simetrično glede na točko, če: - sredina odseka.

Poglejmo nekaj primerov: na sl. 8 prikazuje točke in , Kot tudi in , Ki so simetrične glede na točko , In točke in niso simetrične glede na to točko.

riž. 8

Nekatere figure so simetrične glede na določeno točko. Oblikujmo strogo definicijo.

Opredelitev

Slika se imenuje simetrično glede na točko, če za katero koli točko lika temu liku pripada tudi točka, ki ji je simetrična. Točka se imenuje središče simetrije, in številka ima centralna simetrija .

Oglejmo si primere figur s centralno simetrijo.

Primer 7

Za krog je središče simetrije središče kroga (to je enostavno dokazati, če se spomnimo lastnosti premera in polmera kroga) (glej sliko 9).

riž. 9

Primer 8

Za paralelogram je središče simetrije točka presečišča diagonal (glej sliko 10).

riž. 10

Rešimo več nalog o osni in centralni simetriji.

Naloga 1.

Koliko simetrijskih osi ima odsek?

Odsek ima dve simetrični osi. Prva od njih je črta, ki vsebuje segment (ker je vsaka točka na črti simetrična sama sebi glede na to črto). Druga je pravokotna simetrala na segment, to je ravna črta, ki je pravokotna na segment in poteka skozi njegovo sredino.

Odgovor: 2 simetrični osi.

Naloga 2.

Koliko simetrijskih osi ima premica?

Ravna črta ima neskončno veliko simetrijskih osi. Eden od njih je premica sama (saj je vsaka točka na premici simetrična sama sebi glede na to premico). In tudi simetrijske osi so vse črte, pravokotne na dano črto.

Odgovor: simetrijskih osi je neskončno veliko.

Naloga 3.

Koliko simetrijskih osi ima žarek?

Žarek ima eno simetrijsko os, ki sovpada s premico, ki vsebuje žarek (ker je vsaka točka na premici simetrična sama sebi glede na to premico).

Odgovor: ena simetrijska os.

Naloga 4.

Dokaži, da so premice, ki vsebujejo diagonale romba, njegove simetrijske osi.

Dokaz:

Razmislite o rombu. Dokažimo na primer, da je premica njena simetrijska os. Očitno je, da so točke simetrične same sebi, saj ležijo na tej premici. Poleg tega so točke in simetrične glede na to črto, saj . Izberimo zdaj poljubno točko in dokažimo, da tudi glede nanjo simetrična točka pripada rombu (glej sliko 11).

riž. enajst

Narišite pravokotno na črto skozi točko in jo razširite, dokler se ne seka z . Razmislite o trikotnikih in . Ti trikotniki so pravokotni (po konstrukciji), poleg tega pa imajo: - skupno nogo in (ker so diagonale romba njegove simetrale). Ti trikotniki so torej enaki: . To pomeni, da so vsi njihovi ustrezni elementi enaki, torej: . Iz enakosti teh segmentov sledi, da sta točki in simetrični glede na premico. To pomeni, da je simetrijska os romba. To dejstvo je mogoče dokazati podobno za drugo diagonalo.

Dokazano.

Naloga 5.

Dokaži, da je presečišče diagonal paralelograma njegovo simetrično središče.

Dokaz:

Razmislite o paralelogramu. Dokažimo, da je točka njegovo simetrično središče. Očitno je, da sta točki in , In po parih simetrični glede na točko , saj sta diagonali paralelograma razdeljeni na pol s presečiščem. Izberimo zdaj poljubno točko in dokažimo, da tudi glede nanjo simetrična točka pripada paralelogramu (glej sliko 12).

Simetrija že stoletja ostaja tema, ki navdušuje filozofe, astronome, matematike, umetnike, arhitekte in fizike. Stari Grki so bili z njo popolnoma obsedeni – in še danes se srečujemo s simetrijo v vsem, od postavitve pohištva do striženja.

Upoštevajte le, da ko boste to spoznali, boste verjetno začutili neizmerno željo po iskanju simetrije v vsem, kar vidite.

(Skupaj 10 fotografij)

Sponzor objave: Program za prenos glasbe na VKontakte: Nova različica Program Catch in Contact omogoča enostaven in hiter prenos glasbe in videoposnetkov, ki so jih uporabniki objavili s strani najbolj znanih socialno omrežje vkontakte.ru.

1. Romanski brokoli

Morda ste v trgovini videli brokoli Romanesco in pomislili, da gre za še en primer gensko spremenjenega izdelka. Toda v resnici je to še en primer fraktalne simetrije narave. Vsak cvet brokolija ima logaritemski spiralni vzorec. Romanesco je po videzu podoben brokoliju, vendar po okusu in konsistenci - cvetača. Bogato je s karotenoidi ter vitaminoma C in K, zaradi česar je ne le lepo, ampak tudi zdravo živilo.

Tisočletja so se ljudje čudili popolni šesterokotni obliki satja in se spraševali, kako lahko čebele instinktivno ustvarijo obliko, ki bi jo ljudje lahko reproducirali samo s šestilom in ravnilom. Kako in zakaj imajo čebele strast do ustvarjanja šesterokotnikov? Matematiki menijo, da je to idealna oblika, ki jim omogoča shranjevanje največje možne količine medu z minimalno količino voska. Kakor koli že, vse je produkt narave in presneto impresivno.

3. Sončnice

Sončnice se ponašajo z radialno simetrijo in zanimivo vrsto simetrije, znano kot Fibonaccijevo zaporedje. Fibonaccijevo zaporedje: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 itd. (vsako število je določeno z vsoto prejšnjih dveh števil). Če bi si vzeli čas in prešteli število semen v sončnici, bi ugotovili, da število spiral raste po principih Fibonaccijevega zaporedja. V naravi je veliko rastlin (tudi romanski brokoli), katerih cvetni listi, semena in listi ustrezajo temu zaporedju, zato je tako težko najti deteljico s štirimi listi.

Toda zakaj sončnice in druge rastline sledijo matematičnim pravilom? Tako kot šesterokotniki v panju je vse stvar učinkovitosti.

4. Školjka Nautilus

Poleg rastlin Fibonaccijevemu zaporedju sledijo tudi nekatere živali, na primer Nautilus. Lupina Nautilusa se zvije v Fibonaccijevo spiralo. Lupina skuša ohraniti enako sorazmerno obliko, kar ji omogoča, da jo ohranja vse življenje (za razliko od človeka, ki skozi življenje spreminja proporce). Vsi Navtilusi nimajo Fibonaccijeve lupine, vendar vsi sledijo logaritemski spirali.

Preden zavidate matematičnim školjkam, se spomnite, da tega ne počnejo namenoma, le ta oblika je zanje najbolj racionalna.

5. Živali

Večina živali ima dvostransko simetrijo, kar pomeni, da jih je mogoče razdeliti na dve enaki polovici. Tudi ljudje imamo dvostransko simetrijo in nekateri znanstveniki menijo, da je človekova simetrija najpomembnejši dejavnik, ki vpliva na dojemanje naše lepote. Z drugimi besedami, če imate enostranski obraz, lahko samo upate, da ga bodo nadomestile druge dobre lastnosti.

Nekateri gredo k popolni simetriji, da bi pritegnili partnerja, kot je pav. Darwina je ptič zelo razjezil in je v pismu zapisal, da "ko pogledam na repno perje pava, mi postane slabo!" Darwinu se je rep zdel okoren in ni imel evolucijskega smisla, saj se ni skladal z njegovo teorijo o "preživetju najmočnejšega". Bil je besen, dokler ni prišel na teorijo spolne selekcije, ki pravi, da živali razvijejo določene lastnosti, da bi povečale svoje možnosti za parjenje. Zato imajo pavi različne prilagoditve, da pritegnejo partnerja.

Obstaja približno 5000 vrst pajkov in vsi tvorijo skoraj popolno krožno mrežo z radialnimi nosilnimi nitmi na skoraj enakih razdaljah in spiralnimi mrežami za lovljenje plena. Znanstveniki niso prepričani, zakaj imajo pajki tako radi geometrijo, saj so testi pokazali, da okrogla krpa ne bo privabila hrane nič bolje kot platno nepravilne oblike. Znanstveniki teoretizirajo, da radialna simetrija enakomerno porazdeli udarno silo, ko se plen ujame v mrežo, kar ima za posledico manj razpok.

Dajte nekaj prevarantom desko, kosilnice in varnost teme, pa boste videli, da ljudje ustvarjajo tudi simetrične oblike. Zaradi kompleksnosti zasnove in neverjetne simetrije žitnih krogov, tudi po tem, ko so ustvarjalci krogov priznali in pokazali svoje spretnosti, mnogi še vedno verjamejo, da so jih naredili vesoljci.

Ko postajajo krogi bolj zapleteni, postaja vse bolj jasen njihov umetni izvor. Nelogično je domnevati, da bodo nezemljani svoja sporočila vse bolj oteževali, ko prvih niti ne bi mogli dešifrirati.

Ne glede na to, kako so nastali, je žitne kroge užitek gledati, predvsem zato, ker je njihova geometrija impresivna.

Tudi za drobne tvorbe, kot so snežinke, veljajo zakoni simetrije, saj ima večina snežink šestkotno simetrijo. To se deloma zgodi zaradi načina, kako se vodne molekule poravnajo, ko se strdijo (kristalizirajo). Molekule vode postanejo trdne z oblikovanjem šibkih vodikovih vezi, poravnajo se v urejeni razporeditvi, ki uravnovesi sile privlačnosti in odboja, ter tvorijo šesterokotno obliko snežinke. Toda hkrati je vsaka snežinka simetrična, vendar nobena snežinka ni podobna drugi. To se zgodi zato, ker vsaka snežinka, ko pade z neba, doživi edinstvene atmosferske razmere, zaradi katerih se njeni kristali razporedijo na določen način.

9. Galaksija Rimska cesta

Kot smo že videli, simetrija in matematični modeli obstajajo skoraj povsod, toda ali so ti naravni zakoni omejeni na naš planet? Očitno ne. Pred kratkim odprl nov oddelek na Galaxy's Edge mlečna cesta, in astronomi verjamejo, da je galaksija skoraj popolna zrcalna slika same sebe.

10. Simetrija Sonce-Luna

Glede na to, da ima Sonce premer 1,4 milijona km, Luna pa 3474 km, se zdi skoraj nemogoče, da bi Luna lahko blokirala sončno svetlobo in nam vsaki dve leti priredila približno pet sončnih mrkov. Kako to deluje? Po naključju je Sonce približno 400-krat širše od Lune, vendar je Sonce tudi 400-krat dlje. Simetrija zagotavlja, da sta Sonce in Luna enako veliki, gledano z Zemlje, zato lahko Luna zakrije Sonce. Seveda se lahko razdalja od Zemlje do Sonca poveča, zato včasih vidimo kolobarjaste in delne mrke. Toda vsako leto ali dve leti pride do natančne uskladitve in priča smo spektakularnemu dogodku, znanemu kot popolna Sončev mrk. Astronomi ne vedo, kako pogosta je ta simetrija med drugimi planeti, vendar menijo, da je precej redka. Vendar ne smemo domnevati, da smo posebni, saj je vse stvar naključja. Luna se na primer vsako leto premakne za približno 4 cm od Zemlje, kar pomeni, da bi bil pred milijardami let vsak Sončev mrk popolni mrk. Če se bodo stvari nadaljevale tako, bodo popolni mrki sčasoma izginili, to pa bo spremljalo izginotje kolobarjasti mrki. Izkazalo se je, da smo preprosto na pravem mestu v pravi čas videti ta pojav.

Torej, glede geometrije: obstajajo tri glavne vrste simetrije.

Prvič, centralna simetrija (ali simetrija glede na točko) - to je transformacija ravnine (ali prostora), pri kateri ena sama točka (točka O - središče simetrije) ostane na mestu, ostale točke pa spremenijo svoj položaj: namesto točke A dobimo točko A1 tako, da točka O je sredina segmenta AA1. Če želite zgraditi lik Ф1, simetričen figuri Ф glede na točko O, morate skozi vsako točko figure F narisati žarek, ki poteka skozi točko O (središče simetrije), in na tem žarku položiti simetrično točko na izbrano glede na točko O. Tako zgrajena množica točk bo dala lik F1.

Zelo zanimivi so liki, ki imajo središče simetrije: s simetrijo glede na točko O se vsaka točka na liku Φ spet spremeni v določeno točko na liku Φ.Takšnih likov je v geometriji veliko. Na primer: segment (sredina segmenta je središče simetrije), ravna črta (katera koli njegova točka je središče njegove simetrije), krog (središče kroga je središče simetrije), a pravokotnik (točka presečišča njegovih diagonal je središče simetrije). V živi in ​​neživi naravi je veliko sredinsko simetričnih objektov (sporočilo učencev). Pogosto ljudje sami ustvarjajo predmete, ki imajo središčno simeto(primeri iz rokodelstva, primeri iz strojništva, primeri iz arhitekture in številni drugi primeri).

Drugič, osna simetrija (ali simetrija okoli premice) - to je transformacija ravnine (ali prostora), pri kateri ostanejo na mestu samo točke premice p (ta premica je simetrijska os), medtem ko preostale točke spremenijo svoj položaj: namesto točke B postavimo dobimo točko B1 tako, da je premica p simetrala pravokotnica na odsek BB1. Za konstruiranje figure Ф1, simetrične na sliko F, ​​glede na ravno črto р, je potrebno za vsako točko figure F zgraditi točko, ki je simetrična glede na ravno črto р. Množica vseh teh konstruiranih točk daje želeno sliko F1. Veliko jih je geometrijske oblike ki ima simetrično os.

Pravokotnik ima dva, kvadrat ima štiri, krog ima poljubno premico, ki poteka skozi njegovo središče. Če natančno pogledate črke abecede, lahko med njimi najdete tiste, ki imajo vodoravno ali navpično, včasih pa obe simetrični osi. Predmeti s simetričnimi osemi se pogosto nahajajo v živi in ​​neživi naravi (poročila učencev). V svoji dejavnosti človek ustvari veliko predmetov (na primer okraskov), ki imajo več simetričnih osi.

______________________________________________________________________________________________________

Tretjič, ravninska (zrcalna) simetrija (ali simetrija glede na ravnino) - to je transformacija prostora, pri kateri le točke ene ravnine ohranijo svoje mesto (ravnina simetrije α), preostale točke prostora spremenijo svoj položaj: namesto točke C dobimo točko C1, skozi katero poteka ravnina α. sredina segmenta CC1, pravokotna nanj.

Za konstrukcijo figure Ф1, ki je simetrična sliki Ф glede na ravnino α, je potrebno za vsako točko figure F zgraditi točke, simetrične glede na α; te v svojem nizu tvorijo sliko F1.

Najpogosteje se v svetu stvari in predmetov okoli nas srečujemo s tridimenzionalnimi telesi. In nekatera od teh teles imajo simetrijske ravnine, včasih celo več. In človek sam pri svojih dejavnostih (gradbeništvo, ročna dela, modeliranje, ...) ustvarja predmete s simetričnimi ravninami.

Omeniti velja, da poleg treh naštetih vrst simetrije obstajajo (v arhitekturi)prenosni in vrtljivi, ki so v geometriji sestave več gibov.

Znanstvena in praktična konferenca

Mestna izobraževalna ustanova "Srednja" splošna šolašt. 23"

mesto Vologda

odsek: naravoslovje

projektantsko in raziskovalno delo

VRSTE SIMETRIJE

Delo je zaključila učenka 8. razreda

Kreneva Margarita

Vodja: višji učitelj matematike

leto 2014

Struktura projekta:

1. Uvod.

2. Cilji in cilji projekta.

3. Vrste simetrije:

3.1. Centralna simetrija;

3.2. osna simetrija;

3.3. Zrcalna simetrija (simetrija glede na ravnino);

3.4. Rotacijska simetrija;

3.5. Prenosna simetrija.

4. Sklepi.

Simetrija je ideja, skozi katero je človek skozi stoletja poskušal dojeti in ustvariti red, lepoto in popolnost.

G. Weil

Uvod.

Tema mojega dela je bila izbrana po preučevanju razdelka »Osna in centralna simetrija« pri predmetu »Geometrija 8. razreda«. Ta tema me je zelo zanimala. Želel sem vedeti: kakšne vrste simetrije obstajajo, kako se med seboj razlikujejo, kakšna so načela za gradnjo simetričnih figur v vsaki vrsti.

Cilj dela : Uvod v različne vrste simetrije.

Naloge:

Preučite literaturo o tem vprašanju.

Povzemite in sistematizirajte preučeno gradivo.

Pripravite predstavitev.

V starih časih je beseda "SIMETRIJA" pomenila "harmonijo", "lepoto". V prevodu iz grščine ta beseda pomeni »sorazmernost, sorazmernost, enakost v razporeditvi delov nečesa na nasprotnih straneh točke, ravne črte ali ravnine.

Obstajata dve skupini simetrij.

Prva skupina vključuje simetrijo položajev, oblik, struktur. To je simetrija, ki jo je mogoče neposredno videti. Lahko jo imenujemo geometrijska simetrija.

Druga skupina označuje simetrijo fizikalnih pojavov in zakonov narave. Ta simetrija je v samem temelju naravoslovne slike sveta: lahko ji rečemo fizična simetrija.

Nehal bom študiratigeometrijska simetrija .

Po drugi strani pa obstaja več vrst geometrijske simetrije: centralna, aksialna, zrcalna (simetrija glede na ravnino), radialna (ali rotacijska), prenosna in druge. Danes si bom ogledal 5 vrst simetrije.

Centralna simetrija

Dve točki A in A 1 se imenujejo simetrične glede na točko O, če ležijo na premici, ki poteka skozi točko O, in so na nasprotnih straneh od nje na enaki razdalji. Točko O imenujemo središče simetrije.

Lik naj bi bil simetričen glede na točkoO , če za vsako točko slike obstaja točka, ki ji je simetrična glede na točkoO spada tudi k tej figuri. PikaO imenujemo središče simetrije figure, za figuro pravimo, da ima središčno simetrijo.

Primera likov s centralno simetrijo sta krog in paralelogram.

Slike, prikazane na diapozitivu, so simetrične glede na določeno točko

2. Osna simetrija

Dve točkiX in Y se imenujejo simetrične glede na ravno črtot , če ta premica poteka skozi sredino segmenta XY in je pravokotna nanj. Prav tako je treba povedati, da je vsaka točka ravna črtat velja za simetričnega samemu sebi.

Naravnostt – simetrična os.

Lik naj bi bil simetričen glede na ravno črtot, če za vsako točko figure obstaja točka, ki ji je simetrična glede na premicot spada tudi k tej figuri.

Naravnosttki se imenuje simetrijska os figure, pravimo, da ima figura osno simetrijo.

Osno simetrijo imajo nerazvit kot, enakokraki in enakostranični trikotniki, pravokotnik in romb.pisma (glej predstavitev).

Zrcalna simetrija (simetrija glede na ravnino)

Dve točki P 1 in P se imenujejo simetrični glede na ravnino a, če ležijo na ravnini, pravokotni na ravnino a, in so od nje enako oddaljeni.

Zrcalna simetrija dobro poznan vsakemu človeku. Povezuje kateri koli predmet in njegov odsev v ravno ogledalo. Pravijo, da je ena figura zrcalno simetrična drugi.

Na ravnini je bil lik z neštetimi simetričnimi osemi krog. V prostoru ima žoga nešteto simetrijskih ravnin.

Toda če je krog edinstven, potem obstaja v tridimenzionalnem svetu cela vrsta teles z neskončnim številom simetrijskih ravnin: ravni valj s krogom na dnu, stožec s krožno osnovo, žoga.

Preprosto je ugotoviti, da je mogoče vsako simetrično ravnino poravnati s samim seboj z ogledalom. Presenetljivo je, da tako kompleksne figure, kot peterokraka zvezda ali enakostranični peterokotnik, so prav tako simetrični. Kot izhaja iz števila osi, jih odlikuje visoka simetrija. In obratno: zakaj je tako navidezno, ni tako lahko razumeti pravilna figura, kot poševni paralelogram, je asimetričen.

4. P rotacijska simetrija (ali radialna simetrija)

Rotacijska simetrija - to je simetrija, ohranjanje oblike predmetapri vrtenju okoli določene osi za kot 360°/n(ali večkratnik te vrednosti), kjern= 2, 3, 4, … Označena os se imenuje rotacijska osn-th red.

prin=2 so vse točke lika zasukane za kot 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) okoli osi, oblika figure pa je ohranjena, tj. vsaka točka figure gre v točko iste figure (figura se preobrazi vase). Os se imenuje os drugega reda.

Slika 2 prikazuje os tretjega reda, slika 3 - 4. red, slika 4 - 5. red.

Predmet ima lahko več kot eno vrtilno os: slika 1 - 3 osi vrtenja, slika 2 - 4 osi, slika 3 - 5 osi, slika 3 - 5 osi, slika 4 – samo 1 os

Dobro znani črki "I" in "F" imata rotacijsko simetrijo. Če črko "I" zavrtite za 180° okoli osi, ki je pravokotna na ravnino črke in poteka skozi njeno središče, se bo črka poravnala sama s seboj. Z drugimi besedami, črka "I" je simetrična glede na rotacijo 180°, 180°= 360°: 2,n=2, kar pomeni, da ima simetrijo drugega reda.

Upoštevajte, da ima črka "F" tudi rotacijsko simetrijo drugega reda.

Poleg tega ima črka simetrično središče, črka F pa simetrijsko os

Vrnimo se k primerom iz življenja: kozarec, stožčasta funta sladoleda, kos žice, pipa.

Če si ta telesa ogledamo pobližje, opazimo, da so vsa tako ali drugače sestavljena iz kroga, skozi neskončno število simetrijskih osi poteka nešteto simetrijskih ravnin. Večina teh teles (imenujemo jih rotacijska telesa) ima seveda tudi simetrično središče (središče krožnice), skozi katerega poteka vsaj ena rotacijska simetrijska os.

Na primer, os sladolednega korneta je jasno vidna. Poteka od sredine kroga (štrli iz sladoleda!) do ostrega konca lijakastega stožca. Celoto elementov simetrije telesa dojemamo kot nekakšno simetrično mero. Žoga je nedvomno v smislu simetrije neprekosljivo utelešenje popolnosti, ideal. Stari Grki so ga dojemali kot najpopolnejše telo, krog pa seveda kot najpopolnejšo ploščato postavo.

Za opis simetrije določenega predmeta je potrebno navesti vse vrtilne osi in njihov vrstni red ter vse simetrijske ravnine.

Vzemimo na primer geometrijsko telo, sestavljeno iz dveh enakih pravilnih štirikotnih piramid.

Ima eno rotacijsko os 4. reda (os AB), štiri rotacijske osi 2. reda (osi CE,DF, MP, NQ), pet simetrijskih ravnin (ravnineCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Prenosna simetrija

Druga vrsta simetrije jeprenosni z simetrija.

O takšni simetriji govorimo, ko figura pri premikanju vzdolž ravne črte na neko razdaljo "a" ali razdaljo, ki je večkratnik te vrednosti, sovpada sama s seboj. Premica, vzdolž katere poteka prenos, se imenuje prenosna os, razdalja "a" pa se imenuje elementarni prenos, perioda ali simetrični korak.

A

Občasno ponavljajoč se vzorec na dolgem traku imenujemo obroba. V praksi najdemo bordure v različnih oblikah (stenske poslikave, litoželezne, mavčni reliefi ali keramika). Obrobe uporabljajo slikarji in umetniki pri opremljanju prostora. Za izdelavo teh okraskov je izdelana šablona. Šablono premaknemo, jo obrnemo ali ne, zarišemo obris, ponovimo vzorec in dobimo ornament (vizualni prikaz).

Obrobo je enostavno zgraditi s šablono (izhodiščni element), jo premikati ali obračati in ponavljati vzorec. Slika prikazuje pet vrst šablon:A ) asimetrična;b, c ) z eno simetrično osjo: vodoravno ali navpično;G ) centralno simetrična;d ), ki ima dve simetrični osi: navpično in vodoravno.

Za izdelavo meja se uporabljajo naslednje transformacije:

A ) vzporedni prenos;b ) simetrija glede na navpično os;V ) centralna simetrija;G ) simetrija glede na vodoravno os.

Na enak način lahko zgradite vtičnice. Da bi to naredili, je krog razdeljen nan enakih sektorjih, v enem od njih se naredi vzorčni vzorec, ki se nato zaporedno ponovi v preostalih delih kroga, pri čemer se vzorec vsakič zasuka za kot 360°/n .

Jasen primer uporabe osne in prenosne simetrije je ograja, prikazana na fotografiji.

Zaključek: Torej obstajajo različne vrste simetrije, so simetrične točke v vsaki od teh vrst simetrije zgrajene v skladu z določenimi zakoni. V življenju se povsod srečujemo z eno vrsto simetrije in pogosto v predmetih, ki nas obdajajo, lahko opazimo več vrst simetrije hkrati. To ustvarja red, lepoto in popolnost v svetu okoli nas.

LITERATURA:

Priročnik za osnovno matematiko. M.Ya. Vygodsky. – Založba "Nauka". - Moskva 1971 – 416 strani.

Sodobni slovar tuje besede. - M.: Ruski jezik, 1993.

Zgodovina matematike v šoliIX - Xrazredi. G.I. Glaser. – Založba “Prosveshcheniye”. - Moskva 1983 – 351 strani.

Vizualna geometrija 5. – 6. razred. I.F. Sharygin, L.N. Erganžijeva. – Založba Drofa, Moskva 2005. – 189 strani

Enciklopedija za otroke. Biologija. S. Ismailova. – Založba Avanta+. - Moskva 1997 – 704 strani.

Urmantsev Yu.A. Simetrija narave in narava simetrije - M.: Mysl arhitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

Cilji:

• izobraževalni:
  • dati idejo o simetriji;
  • predstaviti glavne vrste simetrije na ravnini in v prostoru;
  • razvijajo močne spretnosti pri konstruiranju simetričnih likov;
  • razširite svoje razumevanje znanih figur z uvedbo lastnosti, povezanih s simetrijo;
  • pokazati možnosti uporabe simetrije pri reševanju različnih problemov;
  • utrditi pridobljeno znanje;
• Splošna izobrazba:
  • naučite se pripraviti na delo;
  • naučite se obvladovati sebe in soseda po mizi;
  • naučite se ocenjevati sebe in soseda po mizi;
• razvoj:
  • okrepiti samostojno dejavnost;
  • razvijati kognitivna dejavnost;
  • naučiti se povzemati in sistematizirati prejete informacije;
• izobraževalni:
  • razvijati »čut za ramena« pri učencih;
  • gojiti komunikacijske sposobnosti;
  • vzgajati kulturo komuniciranja.

MED POUKOM

Pred vsako osebo sta škarje in list papirja.

1. vaja(3 min).

- Vzemimo list papirja, ga zložimo na kose in izrežemo kakšno figuro. Zdaj pa razgrnimo list in poglejmo linijo pregiba.

vprašanje: Kakšno funkcijo opravlja ta linija?

Predlagani odgovor: Ta črta deli sliko na pol.

vprašanje: Kako se vse točke figure nahajajo na obeh nastalih polovicah?

Predlagani odgovor: Vse točke polovic so na enaki razdalji od pregibne črte in na isti ravni.

– To pomeni, da pregibna linija deli figuro na pol, tako da je 1 polovica kopija 2 polovic, tj. ta premica ni preprosta, ima izjemno lastnost (vse točke glede nanjo so na enaki razdalji), ta premica je simetrijska os.

Naloga 2 (2 minuti).

– Izrežite snežinko, poiščite simetrično os, jo označite.

Naloga 3 (5 minut).

– V zvezek nariši krog.

vprašanje: Ugotovite, kako poteka simetrična os?

Predlagani odgovor: Drugače.

vprašanje: Torej, koliko simetrijskih osi ima krog?

Predlagani odgovor: Veliko.

– Tako je, krog ima veliko simetrijskih osi. Enako izjemna figura je krogla (prostorska figura)

vprašanje: Katere druge figure imajo več kot eno simetrijsko os?

Predlagani odgovor: Kvadrat, pravokotnik, enakokraki in enakostranični trikotniki.

– Razmislite o tridimenzionalnih figurah: kocki, piramidi, stožcu, valju itd. Ti liki imajo tudi simetrijsko os.Ugotovite, koliko simetrijskih osi imajo kvadrat, pravokotnik, enakostranični trikotnik in predlagani tridimenzionalni liki?

Učencem razdelim polovice figur iz plastelina.

Naloga 4 (3 min).

– S pomočjo prejetih informacij dopolnite manjkajoči del slike.

Opomba: figura je lahko ravninska in tridimenzionalna. Pomembno je, da učenci ugotovijo, kako poteka simetrična os in dopolnijo manjkajoči element. Pravilnost dela ugotavlja sosed na mizi in oceni, kako pravilno je bilo delo opravljeno.

Črta (zaprta, odprta, s samopresekom, brez samopreseka) je na namizju položena iz čipke iste barve.

Naloga 5 (skupinsko delo 5 min).

– Vizualno določite os simetrije in glede nanjo dokončajte drugi del iz čipke druge barve.

Pravilnost opravljenega dela ugotavljajo dijaki sami.

Učencem predstavimo elemente risb

Naloga 6 (2 minuti).

– Poiščite simetrične dele teh risb.

Za utrjevanje obravnavane snovi predlagam naslednje naloge, razporejene po 15 minutah:

Poimenuj vse enake elemente trikotnika KOR in KOM. Katere vrste trikotnikov so to?

2. V zvezek nariši več enakokrakih trikotnikov s skupno osnovo 6 cm.

3. Nariši odsek AB. Zgradite daljsek AB, ki je pravokoten in poteka skozi njegovo razpolovišče. Na njej označimo točki C in D tako, da bo štirikotnik ACBD simetričen glede na premico AB.

– Naše začetne predstave o obliki segajo v zelo oddaljeno obdobje stare kamene dobe – paleolitik. Več sto tisoč let tega obdobja so ljudje živeli v jamah, v razmerah, ki so se malo razlikovale od življenja živali. Ljudje so izdelovali orodja za lov in ribolov, razvili jezik za medsebojno sporazumevanje, v dobi poznega paleolitika pa so svoj obstoj polepšali z ustvarjanjem umetnin, figuric in risb, ki razkrivajo izjemen občutek za obliko.
Ko je prišlo do prehoda od preprostega nabiranja hrane k njeni aktivni proizvodnji, od lova in ribolova do poljedelstva, je človeštvo vstopilo v novo kameno dobo, neolitik.
Neolitski človek je imel izostren občutek za geometrijsko obliko. Žganje in poslikava glinenih posod, izdelovanje rogoznic, košar, tkanin in kasnejša obdelava kovin so razvile ideje o ploskovnih in prostorskih figurah. Neolitski okraski so bili prijetni za oko, razkrivali so enakost in simetrijo.
– Kje se v naravi pojavi simetrija?

Predlagani odgovor: krila metuljev, hroščev, drevesnih listov...

– Simetrijo lahko opazimo tudi v arhitekturi. Pri gradnji stavb se gradbeniki strogo držijo simetrije.

Zato so zgradbe tako lepe. Tudi primer simetrije so ljudje in živali.

Domača naloga:

1. Izmislite si svoj okras, narišite ga na list A4 (lahko ga narišete v obliki preproge).
2. Narišite metulje, upoštevajte, kje so prisotni elementi simetrije.