1 Mineraloji- mineral bilimi - doğal kimyasal bileşikler.

Mineraloji minerallerin bileşimini, özelliklerini, yapılarını ve oluşum koşullarını inceler

Mineraller jeolojik süreçler sırasında ortaya çıkan kristal elementler veya kimyasal bileşiklerdir.

2 Mineral görünüm belirli bir kristal yapıya sahip, belirli bir kimyasal bileşime sahip minerallerin bir koleksiyonudur.

1. dakika türleri aşağıdaki özelliklerle karakterize edilen tüm mineral bireyleri içerir:

Aynı yapısal grup

Kimyasal bileşimin belirli sınırlar içerisinde sürekli değişmesi

Yer kabuğunun belirli termodinamik koşullarında dengenin varlığı

3 Kristal çokyüzlülerin simetrik dönüşümleri ve simetri elemanları.

Simetri – kristal sınırlayıcı elemanların doğru tekrarlanabilirliği

Simetrik işlemleri gerçekleştirmek.

Kristallerin sınırlayıcı unsurları yüzleri, kenarları ve köşeleridir.

Simetrik işlemler kristalin dönmesi ve yansımasıdır

simetri elemanlarına göre.

1. tür simetri elemanları.

Simetri ekseni Ln- bu, kristal döndüğünde geçen ve aynı açıyla kısıtlama elemanlarının tekrarının gözlemlendiği hayali bir düz çizgidir. L6-L4L3L2

2. türden simetri elemanları:

-simetri düzlemi (P) -Şekilleri her biri diğerinin ayna görüntüsü olan iki eşit parçaya bölen düzlem

-simetri merkezi (ters çevirme) (C)- kristalin içinde, her iki tarafta eşit mesafelerde aynı yüz ve köşe noktalarının bulunduğu bir noktayı temsil eder.Yalnızca bir ters çevirme merkezi vardır veya yoktur.

Ln simetrisinin ters dönme ekseni– bu, etrafında eksen sırasına göre belirlenen bir açıyla döndürüldüğünde, bu eksen üzerinde uzanan bir noktada yansımanın takip ettiği, ters dönme merkezinde olduğu gibi kristalin kendi üzerine bindirildiği hayali bir çizgidir.

Bu nedenle, ters çevirme ekseninin hareketi iki moment içerir: birincisi, sırayla belirtilen bir açıyla dönüş

eksen, ikincisi ise tersinmenin merkezinde olduğu gibi bir noktada yansıma.

4. Polar ve polar olmayan simetri eksenleri

a) kutupsal - eksenin uçlarında farklı şekiller vardır;

b) eksenin uçlarındaki kutupsal olmayan (iki kutuplu) özdeş elemanlar.

5. Kristallerde tek yönler.

Kristalde tekrarlanmayan tek yöne denir. Bekar.

Bir küpte tek bir yön yoktur; burada herhangi bir yön için simetrik olarak eşit bir yön bulabilirsiniz.

Simetriye ve birim yönlerin sayısına bağlı olarak kristaller üç kategoriye ayrılır: alt, orta ve yüksek.

6Eğitim sembolizminde Bravais sembolizmi - simetri eksenleri Ln olarak gösterilir

Alt simge sayısal n'nin sırayı belirttiği yer

eksenler1 Grafiksel olarak simetri eksenleri çokgenlerle gösterilir:

uçakta -

simetri düzlemi P

Bir noktada yansıma (ters çevirme) –

simetri merkezi, ters C

Bir noktada yansımayla dönme - ters L ekseniNBen-üstte bir çizgi ile. Eksen sırası 1, 2, 3, 4, 6'dır.

Ters çevirme eksenleri Ayna eksenleri

L 6 = L 3 + fail P. L 6 = L 3

L 4 L 3 = L 6

L 3 = L 3 + C.L 4 = L 4

L 2 = P.L 2 =C

L 1 = C.

Simetri formülü belirli bir kristalin belirli bir sırayla kaydedilmiş simetri elemanlarından oluşur: yüksek dereceli eksenlerin eksenleri L2®simetri düzlemleri ®simetri merkezi. Kübik sistemde ikinci sıra her zaman 4L3. Herhangi bir öğe eksikse atlanır.

DERSİN METİN TRANSKRİSİ:

Çokyüzlülerle tanışıklığımız devam ediyor.

Aşağıdaki koşullar yerine getirilirse bir çokyüzlünün düzenli olarak adlandırıldığını hatırlayın:

1. dışbükey çokyüzlü;

2. tüm yüzleri eşit düzgün çokgenlerdir;

3. her köşede aynı sayıda yüz birleşir;

4. tüm dihedral açıları eşittir.

Önceki derslerde beş tür düzenli çokyüzlünün benzersiz varlığını öğrenmiştiniz:

tetrahedron, oktahedron, icosahedron, hexahedron (küp) ve dodecahedron.

Bugün incelenen düzenli çokyüzlülerin simetri unsurlarına bakacağız.

Düzenli bir tetrahedronun simetri merkezi yoktur.

Simetri ekseni karşılıklı kenarların orta noktalarından geçen düz bir çizgidir.

Simetri düzlemi, karşı kenara dik olan herhangi bir kenardan geçen düzlemdir.

Düzenli bir tetrahedronun üç simetri ekseni ve altı simetri düzlemi vardır.

Küpün bir simetri merkezi vardır; bu, köşegenlerinin kesişme noktasıdır.

Simetri eksenleri, karşıt yüzlerin merkezlerinden ve aynı yüze ait olmayan iki karşıt kenarın orta noktalarından geçen düz çizgilerdir.

Küpün simetri merkezinden geçen dokuz simetri ekseni vardır.

Herhangi iki simetri ekseninden geçen düzlem simetri düzlemidir.

Küpün dokuz simetri düzlemi vardır.

Düzenli bir oktahedronun bir simetri merkezi vardır - oktahedronun merkezi, 9 simetri ekseni ve 9 simetri düzlemi: üç simetri ekseni zıt köşelerden, altısı kenarların orta noktalarından geçer.

Bir oktahedronun simetri merkezi, simetri eksenlerinin kesişme noktasıdır.

Tetrahedronun 9 simetri düzleminden üçü, aynı düzlemde bulunan oktahedronun her 4 köşesinden geçer.

Altı simetri düzlemi aynı yüze ait olmayan iki köşeden ve karşıt kenarların orta noktalarından geçer.

Normal bir ikosahedronun 12 köşesi vardır. İkosahedronun bir simetri merkezi vardır - ikosahedronun merkezi, 15 simetri ekseni ve 15 simetri düzlemi: Beş simetri düzlemi, ilk zıt köşe çiftinden geçer (her biri, tepe noktasını içeren, birbirine dik olan bir kenardan geçer) ters açı).

Üçüncü çift için 3 yeni uçak, dördüncü çift için iki uçak ve beşinci çift için yalnızca bir yeni uçak alıyoruz.

Altıncı köşe çiftinden tek bir yeni simetri düzlemi bile geçmeyecek.

Düzenli bir dodekahedron on iki düzenli beşgenden oluşur. Dodecahedronun bir simetri merkezi vardır - dodecahedronun merkezi, 15 simetri ekseni ve 15 simetri düzlemi: simetri düzlemleri, karşı kenara dik olarak tepe noktasını içeren kenardan geçer. Bu nedenle, 5 düzlem karşılıklı beşgenlerin ilk çiftinden, 4 ikinci çiftten, 3 üçüncüden, 2 dördüncüden ve 1 beşinciden geçer.

Edinilen bilgiyi kullanarak birkaç görevi çözelim.

Düzgün bir dörtyüzlüde, yüzlerinin merkezlerini birleştiren parçaların eşit olduğunu kanıtlayın.

Düzenli bir tetrahedronun tüm yüzleri eşit olduğundan ve bunlardan herhangi biri taban, diğer üçü de yan yüz olarak kabul edilebileceğinden, OM ve ON parçalarının eşitliğini kanıtlamak yeterli olacaktır.

Kanıt:

1. Ek yapı: F noktasını elde ederek AC tarafıyla kesişene kadar düz bir DN çizgisi çizin;

AB tarafıyla kesişene kadar DM düz çizgisini çizersek E noktasını elde ederiz.

Daha sonra A köşesini F noktasına bağlayın;

E noktası ile C köşesi.

2. DEO ve DOP üçgenlerini düşünün.

dikdörtgen çünkü DO tetrahedronun yüksekliğidir, o zaman hipotenüs ve kenar bakımından eşittirler: DO-toplam, DE = DF (tetrahedronun eşit yüzlerinin yükseklikleri)).

Bu üçgenlerin eşitliğinden OE=OF, ME=NF (eşit kenarların orta noktaları),

DEO açısı DFO açısına eşittir.

3. Yukarıda kanıtlanmış olanlardan, OEM ve OFN üçgenlerinin her iki tarafta ve aralarındaki açının eşit olduğu sonucu çıkmaktadır (2. noktaya bakınız).

Ve bu üçgenlerin eşitliğinden OM = ON sonucu çıkar.

Q.E.D.

Karşılıklı kenarları tabana dik olan dörtgen bir piramit var mı?

Böyle bir piramidin var olmadığını çelişkiyle kanıtlayalım.

Kanıt:

1. PA1 kenarı piramidin tabanına dik olsun ve PA2 kenarı da tabana dik olsun.

2. Sonra teoreme göre (üçüncüye dik iki çizgi paraleldir), RA1 kenarının RA2 kenarına paralel olduğunu elde ederiz.

3. Ancak piramidin tüm yan kenarları (ve dolayısıyla yüzleri) için ortak bir noktası vardır - piramidin tepesi.

Bir çelişki elde ettik, dolayısıyla karşıt yüzleri tabana dik olan dörtgen bir piramit yok.

Bölüm 12.1'de, düzgün bir çokyüzlüyü, aynı türdeki tüm elemanların birbirine eşit olduğu bir çokyüzlü olarak tanımladık: yüzler, kenarlar, vb. Ancak düzenli çokyüzlüler, tüm çokyüzlülerin en simetrik olanı olarak tanımlanabilir. Bu şu anlama gelir. Düzenli bir çokyüzlüyü belirli bir A köşesi, ona uygun bir a kenarı ve bu kenara uygun bir yüz ve benzer herhangi bir küme alırsak, o zaman çokyüzlüde böyle bir kendi kendine hizalanma olur,

A köşesini A köşesine, a kenarını a kenarına, a yüzünü a yüzüne götürür.

Hadi kanıtlayalım. Düzgün çokyüzlülerin herhangi iki yüzü eşit olduğundan, birini diğerine dönüştürecek bir hareket vardır. Bu çokyüzlünün tüm dihedral açıları eşit olduğundan, yüzlerin birleştirilmesinin bir sonucu olarak, çokyüzlünün tamamı kendi kendine hizalanacak veya ikinci yüzün düzlemine göre orijinaline simetrik olan bir çokyüzlüye dönüşecektir. İkinci durumda, bu yüzün düzlemine göre simetri, normal çokyüzlünün kendi kendine hizalanma sürecini tamamlayacaktır.

Bunun tersi de doğrudur: Bu özelliğe sahip çokyüzlüler düzenli olacaktır çünkü tüm kenarları, tüm düzlem açıları ve tüm dihedral açıları eşit olacaktır.

Şimdi düzgün çokyüzlülerin simetri elemanlarını ele alalım.

Küpün simetri elemanlarıyla başlayalım.

1. Simetrinin merkezi küpün merkezidir.

2. Simetri düzlemleri (Şekil 12.17): 1) merkezlerindeki kaburgalara dik olan üç simetri düzlemi; 2) Zıt kenarlardan geçen altı simetri düzlemi.

3. Simetri eksenleri: 1) karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen 4. dereceden üç simetri ekseni (Şekil 12.18a); 2) zıt kenarların ortasından geçen 2. dereceden altı dönme simetrisi ekseni (Şekil 12.186); 4) küpün dört köşegeni, küpü kendi kendine hizalayan altıncı dereceden ayna dönüşünün eksenleridir (Şekil 12.18c).

Bu, küpün simetrisinin en ilginç ve hemen göze çarpmayan unsurudur. Bir küpün merkezinden köşegenine dik olarak geçen bir düzlemin kesiti düzgün bir altıgeni temsil eder; Küp bir köşegen etrafında 60° açıyla döndürüldüğünde altıgen kendi üzerine yansıtılır, ancak küpün bir bütün olarak yine de altıgen düzleminde yansıtılması gerekir.

Oktahedron küp ile çifttir ve bu nedenle aynı simetri elemanlarına sahiptir; ancak küp için yüzlerin köşelerinden ve merkezlerinden geçen simetri düzlemleri ve eksenler oktahedron için ters yönde geçer: içinden yüzlerin ve köşelerin merkezleri (Şekil 12.19). Yani, 6.nın ayna ekseni

düzen oktahedronun zıt yüzlerinin merkezlerinden geçer.

Düzenli bir tetrahedronun simetri elemanlarına dönelim.

1. Her biri bir kenardan ve karşı kenarın ortasından geçen altı simetri düzlemi (Şekil 12.20a).

2. Karşılarındaki yüzlerin köşelerinden ve merkezlerinden geçen 3. dereceden dört eksen; tetrahedronun yükseklikleri boyunca (Şekil 12.20b).

3. Karşılıklı kaburgaların ortasından geçen, 4. dereceden ayna dönüşünün üç ekseni (Şekil 12.20c).

Tetrahedronun simetri merkezi yoktur.

Bir küpün içine iki normal tetrahedron sığdırabilirsiniz (Şekil 12.16). Küp kendi kendine hizalamalarda, bu tetrahedralar ya kendi kendine hizalanır ya da birbirleriyle eşleştirilir. Tetrahedronların küpün hangi kendi kendine hizalanmalarında kendi kendine hizalandıklarını ve hangilerinde birbirleriyle eşleştiklerini öğrenin.

İlk durumun tetrahedronun tüm kendi kendine hizalanmalarını ürettiğinden emin olun; böylece küp simetri grubu, küp simetri grubunu bir alt grup olarak içerir. (Madde 28.4'e bakınız).

Oniki yüzlü ve ikosahedron'un simetri grupları aynıdır, çünkü bu düzenli çokyüzlüler ikilitir.

birbirine göre. Bir simetri merkezine, simetri düzlemlerine, dönme simetrisi eksenlerine ve ayna dönme simetrisi eksenlerine sahiptirler. Bu simetri elemanlarının sonuncusu bulunması en zor olanıdır. Bunları nasıl inşa edeceğinizi size göstereceğiz.

İkosahedrondaki (ve ayrıca küpteki) ayna dönme simetrisinin eksenleri, bu çokyüzlünün zıt köşelerini birbirine bağlar (Şekil 12.21) ve dodekahedronda (oktahedronda olduğu gibi) bu eksenler paralel yüzlerinin merkezlerinden geçer (Şekil 12.22). Düzenli çokyüzlülerin simetri merkezlerinden geçen ve belirtilen eksenlere dik olan düzlemler, normal çokyüzlüler boyunca düzenli çokyüzlülerle kesişir (Şekil 12.23).

Özellikle oniki yüzlü ve ikosahedronu düzenli ongenler boyunca keserler (Şekil 12.23 d,e). Yukarıdan, ikosahedron ve dodekahedron'un altıncı ve onuncu derecelerin eksenlerine göre ayna dönüşleri ile kendi kendine hizalandığı anlaşılmaktadır.

İkosahedron ve dodekahedronun daha basit simetri unsurlarını - simetri düzlemleri ve dönme simetrisi eksenini - kendi başınıza bulun.

Çalışmanın Amacı 1. Öğrencilere uzayda simetriyi tanıtmak. 2. Öğrencileri yeni bir dışbükey çokyüzlü türü olan düzenli çokyüzlülerle tanıştırın. 3. Felsefi teorilerin ve fantastik hipotezlerin ortaya çıkışında düzenli çokyüzlülerin etkisini gösterin. 4. Geometri ve doğa arasındaki bağlantıyı gösterin. 5. Öğrencilere düzenli çokyüzlülerin simetrisini tanıtın.

Tahmin edilen sonuç 1. Bir noktaya, doğruya, düzleme göre simetrik noktalar kavramını bilin; Bir şeklin merkezi, ekseni ve simetri düzlemi kavramları. 2.Düzgün dışbükey çokyüzlülerin tanımını bilir. 3. Bu tür cisimlerin yalnızca beş tipinin olduğunu kanıtlayabileceksiniz. 4. Düzenli çokyüzlülerin her tipini karakterize edebilecektir. 5. Düzgün çokyüzlülerin simetri elemanlarını karakterize edebilecektir. 6. Düzgün çokyüzlülerin elemanlarını bulma problemlerini çözebilecektir.

Bir noktaya (düz çizgi, düzlem), şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, şeklin simetri merkezi (eksen, düzlem) olarak adlandırılır. Bir şeklin bir merkezi (eksen, simetri düzlemi) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğu söylenir.

Şekil 4,5,6 dikdörtgen bir paralelyüzlü O merkezini, a eksenini ve a simetri düzlemini göstermektedir. Dikdörtgen olmayan ancak düz bir prizma olan paralel yüzlü bir düzlem (veya tabanı eşkenar dörtgen ise düzlemler), bir eksen ve bir simetri merkezine sahiptir.

Bir şeklin bir veya daha fazla simetri merkezi (eksenleri, simetri düzlemleri) olabilir. Örneğin, bir küpün yalnızca bir simetri merkezi ve birkaç simetri ekseni ve düzlemi vardır. Sonsuz sayıda merkeze, eksene veya simetri düzlemine sahip şekiller vardır. Bu şekillerin en basitleri düz çizgi ve düzlemdir. Düzlemdeki herhangi bir nokta simetri merkezidir. Belirli bir düzleme dik olan herhangi bir düz çizgi (düzlem), onun simetri eksenidir (düzlemi). Öte yandan merkezleri, eksenleri veya simetri düzlemleri olmayan şekiller de vardır. Örneğin, düz bir prizma olmayan paralel yüzlü bir simetri eksenine sahip değildir, ancak bir simetri merkezine sahiptir.

Doğada, mimaride, teknolojide ve günlük yaşamda simetriye sıklıkla rastlıyoruz. Bu nedenle birçok bina, örneğin Moskova'nın ana binası düzleme göre simetriktir. Devlet Üniversitesi. Dişliler gibi mekanizmaların birçok parçası simetriktir. Doğada bulunan hemen hemen tüm kristallerin bir merkezi, ekseni veya simetri düzlemi vardır (Şekil 7).

Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Beş tür düzenli dışbükey çokyüzlü vardır. Yüzleri düzgün üçgenler, düzgün dörtgenler (kareler) ve düzgün beşgenlerdir. Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Beş tür düzenli dışbükey çokyüzlü vardır. Yüzleri düzgün üçgenler, düzgün dörtgenler (kareler) ve düzgün beşgenlerdir.

Yüzleri düzgün altıgen, yedigen ve genel olarak n 6 için n-gon olan düzgün bir çokyüzlü olmadığını kanıtlayalım. Düzgün bir çokgenin açısı α n = (180°(n-2)) formülüyle hesaplanır. : N. Çokyüzlünün her bir köşesinde en az üç düzlem açısı vardır ve bunların toplamı 360°'den az olmalıdır. n=3 olduğunda, çokyüzlünün yüzleri, açısı 60°'ye eşit olan düzgün üçgenlerdir. 60°3 = 180°

Eğer n = 4 ise α = 90° ise çokyüzlünün yüzleri karedir. 90°3 = 270°360°. Bu durumda, elimizde yalnızca bir tane düzenli çokyüzlü var; dodekahedron. Eğer n 6 ise, o zaman α n 120°, α n 3 360° ve dolayısıyla, yüzleri n 6 için düzenli n-gon olan düzenli bir çokyüzlü yoktur. Eğer n = 4 ise, o zaman α = 90° ise, çokyüzlü - kareler. 90°3 = 270°360°. Bu durumda, elimizde yalnızca bir tane düzenli çokyüzlü var; dodekahedron. Eğer n 6 ise, o zaman α n 120°, α n 3 360° olur ve bu nedenle, yüzleri n 6 için düzenli n-gon olan düzgün bir çokyüzlü yoktur.

« Düzenli çokyüzlüler Platon'un felsefi dünya resminde" Düzenli çokyüzlülere bazen Platonik katılar denir, çünkü büyük düşünür tarafından geliştirilen dünyanın felsefi resminde önemli bir yer tutarlar. Antik Yunan Platon (MÖ.428 – MÖ.348). Platon, dünyanın dört "elementten" (ateş, toprak, hava ve su) inşa edildiğine ve bu "elementlerin" atomlarının dört düzenli çokyüzlü şeklinde olduğuna inanıyordu. Tetrahedron, tepe noktası yanan bir alev gibi yukarıya doğru baktığı için ateşi temsil ediyordu; ikosahedron - en akıcı su olarak; küp, figürlerin en kararlı olanıdır - dünya ve oktahedron havadır. Günümüzde bu sistem maddenin dört hali ile karşılaştırılabilir: katı, sıvı, gaz ve alev. Beşinci çokyüzlü, dodekahedron, tüm dünyayı simgeliyordu ve en önemlisi olarak kabul ediliyordu. Bu, sistematikleştirme fikrini bilime tanıtmaya yönelik ilk girişimlerden biriydi.

Şimdi Antik Yunan'dan, harika Alman gökbilimci ve matematikçi Johannes Kepler'in (1571 - 1630) yaşadığı ve çalıştığı 10. - 10. - 2. yüzyıllardaki Avrupa'ya geçelim. “Kepler Kupası” Kendimizi Kepler’in yerinde hayal edelim. Önünde çeşitli tablolar var - sayı sütunları. Bunlar gezegenlerin hareketlerine ilişkin gözlemlerin sonuçlarıdır. Güneş Sistemi- hem kendisinin hem de büyük öncüllerinin - gökbilimciler. Bu hesaplamalı çalışma dünyasında bazı modeller bulmak istiyor. Düzenli çokyüzlülerin favori çalışma konusu olduğu Johannes Kepler, beş düzenli çokyüzlü ile o zamana kadar keşfedilen güneş sisteminin altı gezegeni arasında bir bağlantı olduğunu öne sürdü. Bu varsayıma göre, Jüpiter'in yörüngesinin uyduğu Satürn'ün yörüngesi küresine bir küp yazılabilir. Şimdi Antik Yunan'dan, harika Alman gökbilimci ve matematikçi Johannes Kepler'in (1571 - 1630) yaşadığı ve çalıştığı 10. - 10. - 2. yüzyıllardaki Avrupa'ya geçelim. “Kepler Kupası” Kendimizi Kepler’in yerinde hayal edelim. Önünde çeşitli tablolar var - sayı sütunları. Bunlar, güneş sistemindeki gezegenlerin - hem kendisinin hem de büyük öncüllerinin - gökbilimcilerin hareketlerine ilişkin gözlemlerin sonuçlarıdır. Bu hesaplamalı çalışma dünyasında bazı modeller bulmak istiyor. Düzenli çokyüzlülerin favori çalışma konusu olduğu Johannes Kepler, beş düzenli çokyüzlü ile o zamana kadar keşfedilen güneş sisteminin altı gezegeni arasında bir bağlantı olduğunu öne sürdü. Bu varsayıma göre, Jüpiter'in yörüngesinin uyduğu Satürn'ün yörüngesi küresine bir küp yazılabilir.

Mars'ın yörüngesinin küresinin yakınında tanımlanan tetrahedron da buna uyuyor. On iki yüzlü, Dünya'nın yörüngesinin küresinin uyduğu Mars'ın yörüngesinin küresine uyar. Ve içine Venüs'ün yörüngesinin küresinin yazıldığı ikosahedronun yakınında anlatılıyor. Bu gezegenin küresi, içine Merkür küresinin sığdığı oktahedronun etrafında tanımlanmaktadır. Güneş sisteminin bu modeline Kepler'in "Kozmik Kupası" adı verildi. Bilim adamı hesaplamalarının sonuçlarını “Evrenin Gizemi” kitabında yayınladı. Evrenin sırrının açığa çıktığına inanıyordu. Yıllar geçtikçe gözlemlerini geliştirdi, meslektaşlarının verilerini tekrar kontrol etti ama sonunda bu cezbedici hipotezi terk edecek gücü buldu. Ancak bunun izleri, Güneş'ten ortalama uzaklığın küplerinden bahseden Kepler'in üçüncü yasasında görülebilir. Bugün gezegenler arasındaki mesafelerin ve bunların sayısının hiçbir şekilde çokyüzlülerle ilişkili olmadığını güvenle söyleyebiliriz. Elbette güneş sisteminin yapısı rastgele değil, gerçek nedenler Neden başka türlü değil de bu şekilde düzenlendiği hala bilinmiyor. Kepler'in fikirlerinin hatalı olduğu ortaya çıktı, ancak hipotezler olmadan, bazen en beklenmedik, görünüşte çılgınca olanlar olmadan bilim var olamaz.

Platon ve Kepler'in, düzenli çokyüzlülerin çağımızdaki dünyanın uyumlu yapısıyla bağlantısı hakkındaki fikirleri, 80'li yılların başında ortaya çıkan ilginç bir bilimsel hipotezle devam ettirildi. Moskova mühendisleri V. Makarov ve V. Morozov tarafından ifade edildi. Dünyanın çekirdeğinin, gezegende meydana gelen tüm doğal süreçlerin gelişimini etkileyen, büyüyen bir kristalin şekline ve özelliklerine sahip olduğuna inanıyorlar. Bu kristalin ışınları veya daha doğrusu kuvvet alanı, Dünya'nın on iki yüzlü yapısı olan ikosahedron'u belirler. (Şek. 8) Yer kabuğunda yazılı olanların projeksiyonlarında kendini gösterir. Toprak düzenli çokyüzlüler: ikosahedron ve dodecahedron. Pek çok maden yatağı on iki yüzlü bir ağ olan ikosahedron boyunca uzanır; Yazarlar tarafından düğümler olarak adlandırılan çokyüzlülerin kenarlarının 62 köşesi ve orta noktaları, bazı anlaşılmaz olayları açıklamayı mümkün kılan bir dizi spesifik özelliğe sahiptir. Sıcak noktaların bulunduğu yer burası Eski kültürler ve medeniyetler: Peru, Kuzey Moğolistan, Haiti, Ob kültürü ve diğerleri. Bu noktalarda maksimum ve minimum atmosfer basıncı ve Dünya Okyanusu'nun dev girdapları gözlemlenmektedir. Bu düğümler Loch Ness ve Bermuda Şeytan Üçgeni'ni içerir.

Şimdi bilimsel hipotezlerden bilimsel gerçeklere geçelim. Düzenli çokyüzlü Tepe Noktası Yüz Sayısı Kenarlar Dörtyüzlü 446 Küp 6812 Oktahedron 8612 Onikiyüzlü İkosahedron

Yüz ve Köşe Sayısı (g+c) Kenarlar Tetrahedron = 8 6 Küp = Oktahedron = Dodecahedron = Icosahedron = 32 30

Г + В = Р + 2 Bu formül 1640 yılında Descartes tarafından fark edilmiş ve daha sonra Euler (1752) tarafından yeniden keşfedilmiş olup o zamandan bu yana adını almıştır. Euler'in formülü herhangi bir dışbükey çokyüzlü için doğrudur. Heykeltıraşlar, mimarlar ve sanatçılar da düzenli çokyüzlü formlara büyük ilgi gösterdiler. Hepsi çokyüzlülerin mükemmelliği ve uyumu karşısında hayrete düşmüşlerdi. Leonardo da Vinci () çokyüzlüler teorisine düşkündü ve bunları sıklıkla tuvallerinde tasvir ediyordu. Salvador Dali, “Son Akşam Yemeği” adlı tablosunda I. İsa'yı öğrencileriyle birlikte devasa şeffaf bir onikiyüzlü fonunda tasvir etti.
42

Canlı doğada düzenli çokyüzlüler bulunur. Örneğin tek hücreli organizma Feodaria'nın iskeleti ikosahedron şeklindedir. Feodaria'nın bu doğal geometrisine ne sebep oldu? Görünüşe göre, tüm çokyüzlüler aynı sayıda yüze sahip olduğundan, en küçük yüzey alanına sahip en büyük hacme sahip olan ikosahedrondur. Bu özellik deniz organizmasının su sütununun basıncını aşmasına yardımcı olur. Düzenli çokyüzlüler en avantajlı figürlerdir. Ve doğa bundan geniş ölçüde yararlanıyor. Bu, bazı kristallerin şekliyle doğrulanır. Örneğin onsuz yapamayacağımız sofra tuzunu ele alalım. Suda çözünebildiği ve elektrik akımının iletkeni olarak görev yaptığı bilinmektedir. Sofra tuzu kristalleri ise küp şeklindedir. Alüminyum üretiminde, tek kristali düzenli bir oktahedron şeklinde olan alüminyum-potasyum kuvars kullanılır. Sülfürik asit, demir ve özel tip çimento üretimi sülfürlü piritler olmadan yapılamaz. Bunun kristalleri kimyasal madde on iki yüzlü bir şekle sahiptir. Bilim adamlarının sentezlediği bir madde olan antimon sodyum sülfat, çeşitli kimyasal reaksiyonlarda kullanılmaktadır. Sodyum antimon sülfat kristali bir tetrahedron şekline sahiptir. İkosahedron bor kristallerinin şeklini taşır. Bir zamanlar birinci nesil yarı iletkenleri oluşturmak için bor kullanıldı.

Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları Düzenli bir tetrahedronun simetri merkezi yoktur, üç simetri ekseni ve altı simetri düzlemi vardır. Küpün bir simetri merkezi vardır - köşegenlerinin kesişme noktası, dokuz simetri ekseni, dokuz simetri düzlemi. Düzenli oktahedron, düzenli ikosahedron ve düzenli dodekahedron bir simetri merkezine ve çeşitli eksenlere ve simetri düzlemlerine sahiptir.

Test 1. Listelenen geometrik cisimlerden hangisi düzenli bir çokyüzlü değildir? a) düzenli tetrahedron; b) düzenli altı yüzlü; c) doğru prizma; d) düzenli on iki yüzlü; e) düzenli oktahedron. 2. Doğru ifadeyi seçin: a) yüzleri düzgün altıgen olan düzgün bir çokyüzlüye düzgün altı yüzlü denir;

B) düzgün bir on iki yüzlünün tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı 324°'dir; c) küpün iki simetri merkezi vardır - her bir tabanda bir tane; d) normal bir tetrahedron 8 normal üçgenden oluşur; e) Toplamda 6 tür düzenli çokyüzlü vardır. 3. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? a) düzgün bir tetrahedronun ve düzgün bir oktahedronun dihedral açılarının toplamı 180°'dir; b) küpün yüzlerinin merkezleri normal bir oktahedronun köşeleridir;

C) düzenli bir dodekahedron 12 düzenli beşgenden oluşur; d) düzenli bir ikosahedronun her bir köşesindeki düzlem açılarının toplamı 270°'dir; e) bir küp ve bir düzgün altı yüzlü bir ve aynıdır. Özetleyelim. - Bugün hangi yeni geometrik cisimlerle tanıştık? - L. Carroll neden bu çokyüzlülerin önemini bu kadar çok takdir etti? -Ödev: paragraf 35, paragraf 36, s (sözlü olarak)

§ 1 Düzenli çokyüzlü

Bu dersimizde düzenli çokyüzlülere, yani bu tür şekillerin simetrisine bakacağız. Yaratıcılığında kimin düzenli çokyüzlülerin uyumuna ve güzelliğine yöneldiği hakkında konuşalım.

Düzenli çokyüzlünün tanımını hatırlayalım ve hangi düzenli çokyüzlülerin var olduğunu ve geometride incelendiğini hatırlayalım.

Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Yalnızca beş düzgün çokyüzlü vardır: tetrahedron, hexahedron, octahedron, dodecahedron, icosahedron.

Uzayda ne tür simetrilerden bahsettiğimizi de hatırlayalım - bu merkezi simetridir (bir noktaya göre), eksenel simetri(düz bir çizgiye göre) ve bir düzleme göre simetri.

§ 2 Düzenli bir tetrahedronun simetri unsurları

Düzgün bir tetrahedronun simetri elemanlarını ele alalım. Simetri merkezi yoktur. Ancak karşılıklı iki kenarın ortasından geçen düz çizgi simetri eksenidir.

ABCD düzgün tetrahedronunun AB kenarından karşı CD kenarına dik olarak geçen düzlem bir simetri düzlemidir. Bakın, düzenli bir tetrahedronun üç simetri ekseni ve altı simetri düzlemi vardır.

§ 3 Küpün simetri unsurları

Küpün bir simetri merkezi vardır; köşegenlerinin kesişme noktası. Sırasıyla karşıt yüzlerin merkezlerinden ve aynı yüze ait olmayan iki karşıt kenarın orta noktalarından geçen düz çizgiler a ve b, simetri eksenleridir. Küpün dokuz simetri ekseni vardır. Lütfen tüm simetri eksenlerinin simetri merkezinden geçtiğini unutmayın. Bir küpün simetri düzlemi herhangi iki simetri ekseninden geçen düzlemdir. Küpün dokuz simetri düzlemi vardır. Geriye kalan üç normal çokyüzlü de bir simetri merkezine ve çeşitli eksenlere ve simetri düzlemlerine sahiptir. Sayılarını saymaya çalışın.

§ 4 Sanatta Polyhedra

Çokyüzlülerin incelenmesi birçok kişiyi büyüledi yaratıcı insanlar. Ünlü sanatçı Albrecht Dürer, ünlü “Melankoli” gravüründe ön planda bir dodecahedronu tasvir etti. İşte sanatçı Salvador Dali'nin "Son Akşam Yemeği" tablosunun bir görüntüsü. Bu, sanatçının Leonardo da Vinci ile rekabet etmeye karar verdiği devasa bir tuval. Resmin ön planında gösterilenlere dikkat edin. Mesih ve öğrencileri, devasa şeffaf bir on iki yüzlünün arka planında tasvir edilmiştir. 1989 yılında Leeuwarden'de doğan Hollandalı sanatçı Moritz Cornelis Escher, çok çeşitli matematiksel fikirleri kullanan veya tasvir eden benzersiz ve büyüleyici çalışmalar yarattı. Düzenli geometrik cisimler - çokyüzlüler - Escher için özel bir çekiciliğe sahipti. Eserlerinin çoğunda çokyüzlüler vardır. ana figür ve daha birçok eserde yardımcı unsurlar olarak karşımıza çıkıyorlar. "Dört Beden" gravüründe Escher, aynı simetri ekseninde bulunan ana düzenli çokyüzlülerin kesişimini tasvir etti; buna ek olarak, çokyüzlüler yarı saydam görünüyor ve geri kalanı herhangi birinden görülebiliyor. 20. yüzyılın başında Fransa'da modernist hareket ortaya çıktı. güzel Sanatlar, öncelikle resimde - vurgulu bir şekilde geometrikleştirilmiş kullanımıyla karakterize edilen kübizm koşullu formlar, gerçek nesneleri stereometrik ilkellere "bölme" arzusu. En ünlü kübist eserler Picasso'nun "Les Demoiselles d'Avignon" ve "Gitar" resimleriydi.

§ 5 Doğada çokyüzlüler

Doğa da aynı derecede şaşırtıcı yaratımlar yaratır. Sofra tuzu küp şeklindeki kristallerden oluşur. Tek hücreli organizma Feodaria'nın iskeleti bir ikosahedrondur. Mineral silvit ayrıca küp şeklinde bir kristal kafese sahiptir. Pirit kristalleri dodekahedron şeklindedir. Su molekülleri tetrahedron şeklindedir.

Mineral silvit ayrıca küp şeklinde bir kristal kafese sahiptir. Pirit kristalleri dodekahedron şeklindedir. Su molekülleri tetrahedron şeklindedir. Mineral kuprit oktahedron şeklinde kristaller oluşturur. Yalnızca nükleik asit ve proteinden oluşan virüsler, ikosahedron şekline sahiptir.Tüm bunlara her yerde hayranlık duyabilir ve hayran olabiliriz.

Ve bir kez daha Alman matematikçi, astronom, tamirci, gözlükçü ve astrolog, gezegenlerin hareket yasalarının kaşifi Johannes Kepler'in şu sözlerine dönmek istiyorum: “Matematik, dünyanın güzelliğinin prototipidir.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Geometri. 10 – 11. Sınıflar: Genel eğitim için ders kitabı. kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev ve diğerleri]. – 22. baskı. – M.: Eğitim, 2013. – 255 s. : hasta. – (MSU - okulda)
2. Eğitici – Araç seti okul öğretmenine yardım etmek. Yarovenko V.A. tarafından derlenmiştir. L. S. Atanasyan ve arkadaşlarının (M.: Prosveshcheniye) 10. sınıf eğitim seti için geometri dersi geliştirmeleri
3. Rabinovich E. M. Hazır çizimlerle ilgili görevler ve alıştırmalar. 10 – 11 sınıflar. Geometri. – M.: Ilexa, 2006. – 80 sn.
4. M. Ya Vygodsky İlköğretim matematik el kitabı M.: AST Astrel, 2006. - 509 s.
5. Avanta+. Çocuklar için ansiklopedi. Cilt 11. Matematik 2. baskı, gözden geçirilmiş - M.: World of Avanta+ ansiklopedileri: Astrel 2007. - 621 s. Ed. yönetim kurulu: M. Aksyonova, V. Volodin, M. Samsonov.

Kullanılan görseller: