Slayt 2

Bir noktaya göre simetri A düz çizgisine göre simetri A A1 O Eğer O, AA1 doğru parçasının orta noktası ise, A ve A1 noktaları O noktasına (simetri merkezi) göre simetrik olarak adlandırılır. O noktası kendisine simetrik kabul edilir. A A1 a Düz çizgi AA1 doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve bu parçaya dikse, A ve A1 noktalarına düz bir çizgiye (simetri ekseni) göre simetrik denir. Bir doğru üzerindeki her noktanın kendisine simetrik olduğu kabul edilir. bir bir bir

Slayt 3

A düzlemine göre simetri Düzlem AA1 segmentinin ortasından geçiyorsa ve bu segmente dik ise, A ve A1 noktalarına düzleme (simetri düzlemi) göre simetrik denir. Düzlemin her noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir. A1 Ç

Slayt 4

Bir şeklin bir simetri merkezi (eksen, düzlem) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğu söylenir. Bir şeklin bir veya daha fazla simetri merkezi (simetri eksenleri, simetri düzlemleri) olabilir. O A Simetri Merkezi O A Simetri Düzlemi O A a A1 Şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, bir noktaya (düz çizgi, düzlem) simetri merkezi (eksen, düzlem) denir. Bir şeklin merkezi, ekseni, simetri düzlemi. A1 Simetri ekseni A1

Slayt 5

Mimaride simetriye sıklıkla rastlıyoruz.

Slayt 6

Doğada bulunan hemen hemen tüm kristallerin bir ekseni veya simetri düzlemi vardır. Geometride, bir çokyüzlünün merkezi, eksenleri ve simetri düzlemleri o çokyüzlünün simetri elemanları olarak adlandırılır. Apatit Altın

Slayt 7

Kalsit (çift) Sofra tuzu Buz

Slayt 8

Almandin Stavrolit (çift)

Slayt 9

Düzenli bir tetrahedron dört eşkenar üçgenden oluşur ve her köşede 3 kenar buluşur. 4 yüz, 4 köşe ve 6 kenar. Her tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı 1800'e eşittir. Dışbükey bir çokyüzlüye, eğer tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında birleşiyorsa, düzenli denir. eşit sayı pirzola Her düzgün çokyüzlüde, sayı ve köşelerin toplamı, 2 artırılan kenar sayısına eşittir. Kenar köşe yüzleri Г + В = Р + 2 60+ 60 + 60

Slayt 10

Düzenli bir tetrahedron ile düzenli bir piramit arasında ayrım yapıyoruz. Tüm kenarları eşit olan normal bir tetrahedrondan farklı olarak, normal bir üçgen piramitte yan kenarlar birbirine eşittir, ancak piramidin tabanının kenarlarına eşit olmayabilir. “tetra” - 4 Çokyüzlülerin isimleri nereden geliyor? Antik Yunan ve yüz sayısını gösterirler.

Slayt 11

Düzenli bir tetrahedronun simetri merkezi yoktur. 3 simetri ekseni vardır. 6 simetri düzlemi vardır. Karşılıklı iki kenarın orta noktalarından geçen düz çizgi simetri eksenidir. Karşı kenara dik olan kenardan geçen düzlem simetri eksenidir. Dört yüzlünün simetri unsurları.

Slayt 12

Küp altı kareden oluşur. Küpün her köşesi üç karenin tepe noktasıdır. Dolayısıyla her tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı 2700'dür. “Hex”in 6 yüzü, 8 köşesi ve 12 kenarı - 6 Küp, altı yüzlü.

Slayt 13

Küpün 9 simetri düzlemi vardır.

Slayt 14

Düzenli bir oktahedron sekiz eşkenar üçgenden oluşur. Oktahedronun her köşesi dört üçgenin tepe noktasıdır. Her köşedeki düzlem açılarının toplamı 2400'dür. “octa” - 8 Oktahedronun 8 yüzü, 6 köşesi ve 12 kenarı vardır.

Slayt 15

Düzenli ikosahedron yirmi eşkenar üçgenden oluşur. İkosahedronun her köşesi beş düzgün üçgenin tepe noktasıdır. Dolayısıyla her köşedeki düzlem açılarının toplamı 3000'dir. “ikosahedron” - 20 İkosahedronun 20 yüzü, 12 köşesi ve 30 kenarı vardır.

Slayt 16

Düzenli dodekahedron on iki düzenli altıgenden oluşur. Dodecahedronun her köşesi, üç düzgün beşgenin tepe noktasıdır. Dolayısıyla her bir köşedeki düzlem açılarının toplamı 3240 olur. “Dodeca” - 12 Dodecahedronun 12 yüzü, 20 köşesi ve 30 kenarı vardır.

Slayt 17

İlk özellikler düzenli çokyüzlüler Antik Yunan bilim adamı Platon tarafından tanımlandı. Bu nedenle düzenli çokyüzlülere Platonik katılar da denir. Platon MÖ 428 – 348 Platon, dünyanın dört "elementten" (ateş, toprak, hava ve su) inşa edildiğine ve bu "elementlerin" atomlarının dört düzenli çokyüzlü şeklinde olduğuna inanıyordu.

Slayt 18

ateş hava su toprak Platon'un felsefi dünya resmindeki düzenli çokyüzlüler. Tetrahedron, tepe noktası yanan bir alev gibi yukarıya doğru baktığı için ateşi temsil ediyordu; ikosahedron - en akıcı su olarak; küp, figürlerin en kararlı olanıdır - dünya ve oktahedron havadır.

Slayt 19

evren Beşinci çokyüzlü, dodekahedron, tüm dünyayı simgeliyordu ve en önemlisi olarak kabul ediliyordu.

Slayt 20

Heykeltıraşlar, mimarlar ve sanatçılar düzenli çokyüzlü formlara büyük ilgi gösterdiler. Çok yüzlülerin mükemmelliği ve uyumu karşısında hayrete düştüler. Leonardo da Vinci (1452 - 1519) çokyüzlüler teorisiyle ilgilendi ve bunları sıklıkla tuvallerinde tasvir etti. Salvador Dali, "Son Akşam Yemeği" tablosunda, büyük şeffaf bir on iki yüzlünün arka planında İsa Mesih'i öğrencileriyle birlikte tasvir etti.

Slayt 21

Arşimet 287 – 212 M.Ö. Bunlar Platonik katılardan kesilmeleri sonucu elde edilen çokyüzlülerdir. kesik tetrahedron, kesik altı yüzlü (küp), kesik oktahedron, kesik dodekahedron, kesik ikosahedron. Arşimet yarı düzenli çokyüzlüleri tanımladı

Slayt 22

Kesik tetrahedron Basit kesitler oluşturarak olağandışı çokyüzlüler elde edebiliriz. Bir tetrahedronun dört köşesi kesilirse kesik bir tetrahedron elde edilir.

Slayt 23

Kesilmiş küp Köşeleri keserek yeni yüzler elde ederiz - üçgenler. Ve küpün yüzlerinden yüzler alıyoruz - sekizgenler. Bir küpün sekiz köşesinin tümü kesilirse kesik bir küp elde edilir.

Çalışmanın Amacı 1. Öğrencilere uzayda simetriyi tanıtmak. 2. Öğrencileri yeni bir dışbükey çokyüzlü türü olan düzenli çokyüzlülerle tanıştırın. 3. Felsefi teorilerin ve fantastik hipotezlerin ortaya çıkışında düzenli çokyüzlülerin etkisini gösterin. 4. Geometri ve doğa arasındaki bağlantıyı gösterin. 5. Öğrencilere düzenli çokyüzlülerin simetrisini tanıtın.

Tahmin edilen sonuç 1. Bir noktaya, doğruya, düzleme göre simetrik noktalar kavramını bilin; Bir şeklin merkezi, ekseni ve simetri düzlemi kavramları. 2.Düzgün dışbükey çokyüzlülerin tanımını bilir. 3. Bu tür cisimlerin yalnızca beş tipinin olduğunu kanıtlayabileceksiniz. 4. Düzenli çokyüzlülerin her tipini karakterize edebilecektir. 5. Düzgün çokyüzlülerin simetri elemanlarını karakterize edebilecektir. 6. Düzgün çokyüzlülerin elemanlarını bulma problemlerini çözebilecektir.

Bir noktaya (düz çizgi, düzlem), şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, şeklin simetri merkezi (eksen, düzlem) olarak adlandırılır. Bir şeklin bir merkezi (eksen, simetri düzlemi) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğu söylenir.

Şekil 4,5,6 dikdörtgen bir paralelyüzlü O merkezini, a eksenini ve a simetri düzlemini göstermektedir. Dikdörtgen olmayan ancak düz bir prizma olan paralel yüzlü bir düzlem (veya tabanı eşkenar dörtgen ise düzlemler), bir eksen ve bir simetri merkezine sahiptir.

Bir şeklin bir veya daha fazla simetri merkezi (eksenleri, simetri düzlemleri) olabilir. Örneğin, bir küpün yalnızca bir simetri merkezi ve birkaç simetri ekseni ve düzlemi vardır. Sonsuz sayıda merkeze, eksene veya simetri düzlemine sahip şekiller vardır. Bu şekillerin en basitleri düz çizgi ve düzlemdir. Düzlemdeki herhangi bir nokta simetri merkezidir. Belirli bir düzleme dik olan herhangi bir düz çizgi (düzlem), onun simetri eksenidir (düzlemi). Öte yandan merkezleri, eksenleri veya simetri düzlemleri olmayan şekiller de vardır. Örneğin, düz bir prizma olmayan paralel yüzlü bir simetri eksenine sahip değildir, ancak bir simetri merkezine sahiptir.

Doğada, mimaride, teknolojide ve günlük yaşamda simetriye sıklıkla rastlıyoruz. Bu nedenle birçok bina, örneğin Moskova'nın ana binası düzleme göre simetriktir. Devlet Üniversitesi. Dişliler gibi mekanizmaların birçok parçası simetriktir. Doğada bulunan hemen hemen tüm kristallerin bir merkezi, ekseni veya simetri düzlemi vardır (Şekil 7).

Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Beş tür düzenli dışbükey çokyüzlü vardır. Yüzleri düzgün üçgenler, düzgün dörtgenler (kareler) ve düzgün beşgenlerdir. Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Beş tür düzenli dışbükey çokyüzlü vardır. Yüzleri düzgün üçgenler, düzgün dörtgenler (kareler) ve düzgün beşgenlerdir.

Yüzleri düzgün altıgen, yedigen ve genel olarak n 6 için n-gon olan düzgün bir çokyüzlü olmadığını kanıtlayalım. Düzgün bir çokgenin açısı α n = (180°(n-2)) formülüyle hesaplanır. : N. Çokyüzlünün her bir köşesinde en az üç düzlem açısı vardır ve bunların toplamı 360°'den az olmalıdır. n=3 olduğunda, çokyüzlünün yüzleri, açısı 60°'ye eşit olan düzgün üçgenlerdir. 60°3 = 180°

Eğer n = 4 ise α = 90° ise çokyüzlünün yüzleri karedir. 90°3 = 270°360°. Bu durumda, elimizde yalnızca bir tane düzenli çokyüzlü var; dodekahedron. Eğer n 6 ise, o zaman α n 120°, α n 3 360° ve dolayısıyla, yüzleri n 6 için düzenli n-gon olan düzenli bir çokyüzlü yoktur. Eğer n = 4 ise, o zaman α = 90° ise, çokyüzlü - kareler. 90°3 = 270°360°. Bu durumda, elimizde yalnızca bir tane düzenli çokyüzlü var; dodekahedron. Eğer n 6 ise, o zaman α n 120°, α n 3 360° olur ve bu nedenle, yüzleri n 6 için düzenli n-gon olan düzgün bir çokyüzlü yoktur.

“Platon'un felsefi dünya resminde düzenli çokyüzlüler” Düzenli çokyüzlülere bazen Platonik katılar da denir, çünkü Antik Yunan'ın büyük düşünürü Platon (M.Ö. 428 - 348) tarafından geliştirilen dünyanın felsefi resminde önemli bir yer tutarlar. ). Platon, dünyanın dört "elementten" (ateş, toprak, hava ve su) inşa edildiğine ve bu "elementlerin" atomlarının dört düzenli çokyüzlü şeklinde olduğuna inanıyordu. Tetrahedron, tepe noktası yanan bir alev gibi yukarıya doğru baktığı için ateşi temsil ediyordu; ikosahedron - en akıcı su olarak; küp, figürlerin en kararlı olanıdır - dünya ve oktahedron havadır. Günümüzde bu sistem maddenin dört hali ile karşılaştırılabilir: katı, sıvı, gaz ve alev. Beşinci çokyüzlü, dodekahedron, tüm dünyayı simgeliyordu ve en önemlisi olarak kabul ediliyordu. Bu, sistematikleştirme fikrini bilime tanıtmaya yönelik ilk girişimlerden biriydi.

Şimdi Antik Yunan'dan, harika Alman gökbilimci ve matematikçi Johannes Kepler'in (1571 - 1630) yaşadığı ve çalıştığı 10. - 10. - 2. yüzyıllardaki Avrupa'ya geçelim. “Kepler Kupası” Kendimizi Kepler’in yerinde hayal edelim. Önünde çeşitli tablolar var - sayı sütunları. Bunlar gezegenlerin hareketlerine ilişkin gözlemlerin sonuçlarıdır. Güneş Sistemi- hem kendisinin hem de büyük öncüllerinin - gökbilimciler. Bu hesaplamalı çalışma dünyasında bazı modeller bulmak istiyor. Düzenli çokyüzlülerin favori çalışma konusu olduğu Johannes Kepler, beş düzenli çokyüzlü ile o zamana kadar keşfedilen güneş sisteminin altı gezegeni arasında bir bağlantı olduğunu öne sürdü. Bu varsayıma göre, Jüpiter'in yörüngesinin uyduğu Satürn'ün yörüngesi küresine bir küp yazılabilir. Şimdi Antik Yunan'dan, harika Alman gökbilimci ve matematikçi Johannes Kepler'in (1571 - 1630) yaşadığı ve çalıştığı 10. - 10. - 2. yüzyıllardaki Avrupa'ya geçelim. “Kepler Kupası” Kendimizi Kepler’in yerinde hayal edelim. Önünde çeşitli tablolar var - sayı sütunları. Bunlar, güneş sistemindeki gezegenlerin - hem kendisinin hem de büyük öncüllerinin - gökbilimcilerin hareketlerine ilişkin gözlemlerin sonuçlarıdır. Bu hesaplamalı çalışma dünyasında bazı modeller bulmak istiyor. Düzenli çokyüzlülerin favori çalışma konusu olduğu Johannes Kepler, beş düzenli çokyüzlü ile o zamana kadar keşfedilen güneş sisteminin altı gezegeni arasında bir bağlantı olduğunu öne sürdü. Bu varsayıma göre, Jüpiter'in yörüngesinin uyduğu Satürn'ün yörüngesi küresine bir küp yazılabilir.

Mars'ın yörüngesinin küresinin yakınında tanımlanan tetrahedron da buna uyuyor. On iki yüzlü, Dünya'nın yörüngesinin küresinin uyduğu Mars'ın yörüngesinin küresine uyar. Ve içine Venüs'ün yörüngesinin küresinin yazıldığı ikosahedronun yakınında anlatılıyor. Bu gezegenin küresi, içine Merkür küresinin sığdığı oktahedronun etrafında tanımlanmaktadır. Güneş sisteminin bu modeline Kepler'in "Kozmik Kupası" adı verildi. Bilim adamı hesaplamalarının sonuçlarını “Evrenin Gizemi” kitabında yayınladı. Evrenin sırrının açığa çıktığına inanıyordu. Yıllar geçtikçe gözlemlerini geliştirdi, meslektaşlarının verilerini tekrar kontrol etti ama sonunda bu cezbedici hipotezi terk edecek gücü buldu. Ancak bunun izleri, Güneş'ten ortalama uzaklığın küplerinden bahseden Kepler'in üçüncü yasasında görülebilir. Bugün gezegenler arasındaki mesafelerin ve bunların sayısının hiçbir şekilde çokyüzlülerle ilişkili olmadığını güvenle söyleyebiliriz. Elbette güneş sisteminin yapısı rastgele değil, gerçek nedenler Neden başka türlü değil de bu şekilde düzenlendiği hala bilinmiyor. Kepler'in fikirlerinin hatalı olduğu ortaya çıktı, ancak hipotezler olmadan, bazen en beklenmedik, görünüşte çılgınca olanlar olmadan bilim var olamaz.

Platon ve Kepler'in, düzenli çokyüzlülerin çağımızdaki dünyanın uyumlu yapısıyla bağlantısı hakkındaki fikirleri, 80'li yılların başında ortaya çıkan ilginç bir bilimsel hipotezle devam ettirildi. Moskova mühendisleri V. Makarov ve V. Morozov tarafından ifade edildi. Dünyanın çekirdeğinin, gezegende meydana gelen tüm doğal süreçlerin gelişimini etkileyen, büyüyen bir kristalin şekline ve özelliklerine sahip olduğuna inanıyorlar. Bu kristalin ışınları veya daha doğrusu kuvvet alanı, Dünya'nın oniki yüzlü yapısı olan ikosahedron'u belirler. (Şek. 8) Yer kabuğunda yazılı olanların projeksiyonlarında kendini gösterir. Toprak düzenli çokyüzlüler: ikosahedron ve dodecahedron. Pek çok maden yatağı on iki yüzlü bir ağ olan ikosahedron boyunca uzanır; Yazarlar tarafından düğümler olarak adlandırılan çokyüzlülerin kenarlarının 62 köşesi ve orta noktaları, bazı anlaşılmaz olayları açıklamayı mümkün kılan bir dizi spesifik özelliğe sahiptir. Sıcak noktaların bulunduğu yer burası Eski kültürler ve medeniyetler: Peru, Kuzey Moğolistan, Haiti, Ob kültürü ve diğerleri. Bu noktalarda maksimum ve minimum atmosfer basıncı ve Dünya Okyanusu'nun dev girdapları gözlemlenmektedir. Bu düğümler Loch Ness ve Bermuda Şeytan Üçgeni'ni içerir.

Şimdi bilimsel hipotezlerden bilimsel gerçeklere geçelim. Düzenli çokyüzlü Tepe Noktası Yüz Sayısı Kenarlar Dörtyüzlü 446 Küp 6812 Oktahedron 8612 Onikiyüzlü İkosahedron

Yüz ve Köşe Sayısı (g+c) Kenarlar Tetrahedron = 8 6 Küp = Oktahedron = Dodecahedron = Icosahedron = 32 30

Г + В = Р + 2 Bu formül 1640 yılında Descartes tarafından fark edilmiş ve daha sonra Euler (1752) tarafından yeniden keşfedilmiş olup o zamandan bu yana adını almıştır. Euler'in formülü herhangi bir dışbükey çokyüzlü için doğrudur. Heykeltıraşlar, mimarlar ve sanatçılar da düzenli çokyüzlü formlara büyük ilgi gösterdiler. Hepsi çokyüzlülerin mükemmelliği ve uyumu karşısında hayrete düşmüşlerdi. Leonardo da Vinci () çokyüzlüler teorisine düşkündü ve bunları sıklıkla tuvallerinde tasvir ediyordu. Salvador Dali, “Son Akşam Yemeği” adlı tablosunda I. İsa'yı öğrencileriyle birlikte devasa şeffaf bir onikiyüzlü fonunda tasvir etti.
42

Canlı doğada düzenli çokyüzlüler bulunur. Örneğin tek hücreli organizma Feodaria'nın iskeleti ikosahedron şeklindedir. Feodaria'nın bu doğal geometrisine ne sebep oldu? Görünüşe göre, tüm çokyüzlüler aynı sayıda yüze sahip olduğundan, en küçük yüzey alanına sahip en büyük hacme sahip olan ikosahedrondur. Bu özellik deniz organizmasının su sütununun basıncını aşmasına yardımcı olur. Düzenli çokyüzlüler en avantajlı figürlerdir. Ve doğa bundan geniş ölçüde yararlanıyor. Bu, bazı kristallerin şekliyle doğrulanır. Örneğin onsuz yapamayacağımız sofra tuzunu ele alalım. Suda çözünebildiği ve elektrik akımının iletkeni olarak görev yaptığı bilinmektedir. Sofra tuzu kristalleri ise küp şeklindedir. Alüminyum üretiminde, tek kristali düzenli bir oktahedron şeklinde olan alüminyum-potasyum kuvars kullanılır. Sülfürik asit, demir ve özel tip çimento üretimi sülfürlü piritler olmadan yapılamaz. Bunun kristalleri kimyasal madde on iki yüzlü bir şekle sahiptir. Bilim adamlarının sentezlediği bir madde olan antimon sodyum sülfat, çeşitli kimyasal reaksiyonlarda kullanılmaktadır. Sodyum antimon sülfat kristali bir tetrahedron şekline sahiptir. İkosahedron bor kristallerinin şeklini taşır. Bir zamanlar birinci nesil yarı iletkenleri oluşturmak için bor kullanıldı.

Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları Düzenli bir tetrahedronun simetri merkezi yoktur, üç simetri ekseni ve altı simetri düzlemi vardır. Küpün bir simetri merkezi vardır - köşegenlerinin kesişme noktası, dokuz simetri ekseni, dokuz simetri düzlemi. Düzenli oktahedron, düzenli ikosahedron ve düzenli dodekahedron bir simetri merkezine ve çeşitli eksenlere ve simetri düzlemlerine sahiptir.

Test 1. Listelenen geometrik cisimlerden hangisi düzenli bir çokyüzlü değildir? a) düzenli tetrahedron; b) düzenli altı yüzlü; c) doğru prizma; d) düzenli on iki yüzlü; e) düzenli oktahedron. 2. Doğru ifadeyi seçin: a) yüzleri düzgün altıgen olan düzgün bir çokyüzlüye düzgün altı yüzlü denir;

B) düzgün bir on iki yüzlünün tepe noktasındaki düzlem açılarının toplamı 324°'dir; c) küpün iki simetri merkezi vardır - her bir tabanda bir tane; d) normal bir tetrahedron 8 normal üçgenden oluşur; e) Toplamda 6 tür düzenli çokyüzlü vardır. 3. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? a) düzgün bir tetrahedronun ve düzgün bir oktahedronun dihedral açılarının toplamı 180°'dir; b) küpün yüzlerinin merkezleri normal bir oktahedronun köşeleridir;

C) düzenli bir dodekahedron 12 düzenli beşgenden oluşur; d) düzenli bir ikosahedronun her bir köşesindeki düzlem açılarının toplamı 270°'dir; e) bir küp ve bir düzgün altı yüzlü bir ve aynıdır. Özetleyelim. - Bugün hangi yeni geometrik cisimlerle tanıştık? - L. Carroll neden bu çokyüzlülerin önemini bu kadar çok takdir etti? -Ödev: paragraf 35, paragraf 36, s (sözlü olarak)

1 Mineraloji- mineral bilimi - doğal kimyasal bileşikler.

Mineraloji minerallerin bileşimini, özelliklerini, yapılarını ve oluşum koşullarını inceler

Mineraller jeolojik süreçler sırasında ortaya çıkan kristal elementler veya kimyasal bileşiklerdir.

2 Mineral görünüm belirli bir kristal yapıya sahip, belirli bir kimyasal bileşime sahip minerallerin bir koleksiyonudur.

1. dakika türleri aşağıdaki özelliklerle karakterize edilen tüm mineral bireyleri içerir:

Aynı yapısal grup

Kimyasal bileşimin belirli sınırlar içerisinde sürekli değişmesi

Yer kabuğunun belirli termodinamik koşullarında dengenin varlığı

3 Kristal çokyüzlülerin simetrik dönüşümleri ve simetri elemanları.

Simetri – kristal sınırlayıcı elemanların doğru tekrarlanabilirliği

Simetrik işlemleri gerçekleştirmek.

Kristallerin sınırlayıcı unsurları yüzleri, kenarları ve köşeleridir.

Simetrik işlemler kristalin dönmesi ve yansımasıdır

simetri elemanlarına göre.

1. tür simetri elemanları.

Simetri ekseni Ln- bu, kristal döndüğünde geçen ve aynı açıyla kısıtlama elemanlarının tekrarının gözlemlendiği hayali bir düz çizgidir. L6-L4L3L2

2. türden simetri elemanları:

-simetri düzlemi (P) -Şekilleri her biri diğerinin ayna görüntüsü olan iki eşit parçaya bölen düzlem

-simetri merkezi (ters çevirme) (C)- kristalin içinde, her iki tarafta eşit mesafelerde aynı yüz ve köşe noktalarının bulunduğu bir noktayı temsil eder.Yalnızca bir ters çevirme merkezi vardır veya yoktur.

Ln simetrisinin ters dönme ekseni– bu, etrafında eksen sırasına göre belirlenen bir açıyla döndürüldüğünde, bu eksen üzerinde uzanan bir noktada yansımanın takip ettiği, ters dönme merkezinde olduğu gibi kristalin kendi üzerine bindirildiği hayali bir çizgidir.

Bu nedenle, ters çevirme ekseninin hareketi iki moment içerir: birincisi, sırayla belirtilen bir açıyla dönüş

eksen, ikincisi ise tersinmenin merkezinde olduğu gibi bir noktada yansıma.

4. Polar ve polar olmayan simetri eksenleri

a) kutupsal - eksenin uçlarında farklı şekiller vardır;

b) eksenin uçlarındaki kutupsal olmayan (iki kutuplu) özdeş elemanlar.

5. Kristallerde tek yönler.

Kristalde tekrarlanmayan tek yöne denir. Bekar.

Bir küpte tek bir yön yoktur; burada herhangi bir yön için simetrik olarak eşit bir yön bulabilirsiniz.

Simetriye ve birim yönlerin sayısına bağlı olarak kristaller üç kategoriye ayrılır: alt, orta ve yüksek.

6Eğitim sembolizminde Bravais sembolizmi - simetri eksenleri Ln olarak gösterilir

Alt simge sayısal n'nin sırayı belirttiği yer

eksenler1 Grafiksel olarak simetri eksenleri çokgenlerle gösterilir:

uçakta -

simetri düzlemi P

Bir noktada yansıma (ters çevirme) –

simetri merkezi, ters C

Bir noktada yansımayla dönme - ters L ekseniNBen-üstte bir çizgi ile. Eksen sırası 1, 2, 3, 4, 6'dır.

Ters çevirme eksenleri Ayna eksenleri

L 6 = L 3 + fail P. L 6 = L 3

L 4 L 3 = L 6

L 3 = L 3 + C.L 4 = L 4

L 2 = P.L 2 =C

L 1 = C.

Simetri formülü belirli bir kristalin belirli bir sırayla kaydedilmiş simetri elemanlarından oluşur: yüksek dereceli eksenlerin eksenleri L2®simetri düzlemleri ®simetri merkezi. Kübik sistemde ikinci sıra her zaman 4L3. Herhangi bir öğe eksikse atlanır.

Düzenli çokyüzlüler. Uzayda simetri. “Simetri… insanlığın yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği açıklamaya ve yaratmaya çalıştığı bir fikirdir” (Herman Weil) Çokyüzlü, her tarafı yüz adı verilen düz çokgenlerle sınırlanmış geometrik bir cisimdir. Yüzlerin kenarlarına çokyüzlünün kenarları denir. Yüz sayısına bağlı olarak tetrahedronlar, pentahedronlar vb. ayırt edilir.Bir çokyüzlüye aşağıdaki durumlarda düzenli denir: - dışbükeyse - tüm yüzleri eşit düzenli çokgenlerse - her köşede aynı sayıda kenar birleşiyorsa. Beş tür düzenli çokyüzlü vardır. Bu çokyüzlüler ve özellikleri, iki bin yıldan fazla bir süre önce antik Yunan filozofu Platon tarafından tanımlanmış ve bu da onların ortak adını açıklamaktadır. Her düzenli çokyüzlü, yüz sayısı verilen çokyüzlünün köşe sayısına eşit olan başka bir düzenli çokyüzlüye karşılık gelir. Her iki çokyüzlü de aynı sayıda kenara sahiptir. Karşılıklılık Yasası 4 Çokyüzlünün her bir köşesinde, açılarının toplamı 0 0 360'tan küçük olacak kadar çok sayıda düzenli n-gon yakınsamalıdır. Yani βk formülü sağlanmalıdır< 360 (βградусная мера угла многоугольника, являющегося гранью многогранника, k – число многоугольников, сходящихся в одной вершине многогранника.) название β k Сумма плоских углов тетраэдр 60 3 180 октаэдр 60 4 240 икосаэдр 60 5 300 гексаэдр 90 3 270 додекаэдр 108 3 324 5 Выводы: Многогранник называется правильным, если: Он выпуклый; Все его грани равные правильные многоугольники; В каждой вершине сходится одно число граней; Все его двугранные углы равны. 6 Тетраэдр - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это – правильная треугольная пирамида). ППространственная теорема Пифагора Если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра- прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней. Гексаэдр - правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов Октаэдр - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины. Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Если все грани - правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p,q} .Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814-1895г.р.), швейцарским математиком, которому принадлежат не мало изящных результатов в геометрии и математическом анализе. Название Запись Шлефли Число вершин N0 Число ребер N1 Число граней N2 Тетраэдр {3,3} 4 6 4 Куб {4,3} 8 12 6 Октаэдр {3,4} 6 12 8 Икосаэдр {3,5} 12 30 20 Додекаэдр {5,3} 20 30 12 Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (17071783), который без преувеличения «поверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников. Вершины + Грани - Рёбра = 2. Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N0, числом рёбер N1 и числом граней N2 любого выпуклого правильного многогранника {p,q} .Речь идёт о соотношении N0 - N1 +N2= 2, которое называется «формулой Эйлера». Левая часть этой формулы называется «эйлеровой характеристикой». Полуправильные многогранники или Архимедовы тела - выпуклые, многогранники обладающие двумя свойствами: -Все грани являются правильными многогранниками двух или более типов (если все грани - правильные многоугольники одного типа, это -правильный многогранник); -Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. Двойственные к полуправильным многогранникам, так называемые Каталановы тела, имеют конгруэнтные грани, равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. Первое построение полуправильных многогранников приписывается, Архимеду хотя соответствующие работы утеряны. Существует две бесконечные последовательности полуправильных многогранников - правильные призмы и антипризмы. Кроме них, существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и курносый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Соответственно, существует 13 каталановых тел. Усечённый тетраэдр Усечённый додекаэдр Усечённый куб Усечённый октаэдр Усечённый икосаэдр Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукло-вогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Рассматривая пересечения продолжения граней Платоновых тел, мы будем получать звездчатые многогранники. Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Его можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя 100 лет переоткрыт Иоганом Кеплером (1571-1630) в 1619 году, и назвал его stella octangula - восьмиугольная звезда. Малый звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. Пересекающиеся плоскости граней додекаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к додекаэдру. Это двенадцать правильных пятиугольных пирамид, основания которых совпадают с гранями додекаэдра. При дальнейшем продолжении граней до нового пересечения образуется средний звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр второго продолжения. Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра является звездчатый додекаэдр третьего продолжения - большой звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения. Симметрией в геометрии называют способность фигур к отображению. В переводе с древнегреческого это слово обозначает «соразмерность». Существует несколько видов симметрии - зеркальная, лучевая, центральная, осевая. На практике симметричные построения применяются в архитектуре, дизайне и многих других отраслях. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как sağlam uzayda (örneğin, belirli bir çizgi etrafında dönme, belirli bir düzleme göre yansıma vb.), bu da çokyüzlünün köşe kümelerini, kenarlarını ve yüzlerini değiştirmeden bırakır. Başka bir deyişle, bir simetri dönüşümünün etkisi altında, bir tepe noktası, kenar veya yüz ya orijinal konumunu korur ya da başka bir tepe noktasının, başka bir kenarın veya başka bir yüzün başlangıç ​​konumuna aktarılır. Simetri merkezinin konumuyla ilgili üç durum dikkate alınır: merkez şeklin dışındadır; şeklin içinde merkez; merkez, belirli bir şeklin bir noktasıdır. Pratik çalışma ZH U N G O SH B P T Simetri türlerine göre sıralayın. Tanım Ayna simetrisi (bir düzleme göre simetri), herhangi bir M noktasının bu düzleme göre kendisine simetrik olan bir M1 noktasına gittiği uzayın kendi üzerine eşlenmesidir. M MM M m M K K OO K1 M1M OM=OM1 ; MM1 M1 MK=M1K1 Bir düzleme göre simetrik olan şekiller Bir şekle (gövdeye) belirli bir düzleme göre simetrik denir, eğer bu düzlem şekli iki eşit simetrik parçaya bölüyorsa. Bir küpün kaç tane simetri düzlemi vardır? Cevaplar: 2; 4; 5; 6; 9 Piramitte simetri Şu ifade doğru mu: Düzenli bir dörtgen piramidin dört simetri düzlemi vardır Prizmada ayna simetrisi 1) Düzenli bir dörtgen prizmanın kaç tane simetri düzlemi vardır? Cevaplar: a) 2 b) 4 c) 3 d) d) 5 5 e) 12 2) Tabanında dikdörtgen bulunan bir dik prizmanın kaç tane simetri düzlemi vardır? Cevaplar: b)b)33 c)1 a)2 d)4 e)8 3) Düzgün üçgen prizmanın kaç tane simetri düzlemi vardır? Cevaplar: a) a)44 b)3 c)1 d)2 e)5 Dört yüzlünün simetrileri Dört yüzlünün herhangi bir köşesinden ve merkezinden geçen herhangi bir düz çizgi, karşı yüzün merkezinden geçer. Tetrahedronun 4 köşesi (ve 4 yüzü) olduğundan, toplam 8 doğrudan simetri elde ederiz. Bir tetrahedronun bir kenarının merkezinden ve orta noktasından geçen herhangi bir düz çizgi, karşı kenarın orta noktasından geçer. Tetrahedronun 3 çift kenarı olduğundan, 3 doğrudan simetri daha elde ederiz. Sonuç olarak, kimlik dönüşümü de dahil olmak üzere doğrudan simetrilerin toplam sayısı 12'ye ulaşır. Düzenli çokyüzlü dört yüzlü oktahedron ikosahedron altı yüzlü dodekahedronun simetri elemanları Simetri merkezleri - 1 1 1 1 Simetri eksenleri 3 9 15 9 15 Simetri düzlemleri 6 9 15 9 15 28 Ev ödevi problemleri. 1. Bir piramidin tabanında kaç tane simetri düzlemi, bir dikdörtgen veya bir eşkenar dörtgen bulunur? Cevabınızın doğru olması için problem ifadesinde hangi ek koşulun bulunması gerekir? Ev ödevi görevleri. 2. Bir simetri düzlemi olan dörtgen bir piramit çizin. a) Piramidin tabanında hangi dörtgen bulunabilir? b) Piramidin tepesi nereye yansıtılmalıdır? 3. Tek bir simetri düzlemi olmayan dörtgen bir piramit var mıdır? (örnek vermek)