Zaporedje naravnih števil. Zaporedje številk

Uvod…………………………………………………………………………………3

1. Teoretični del……………………………………………………………….4

Osnovni pojmi in izrazi……………………………………………………………..4

1.1 Vrste zaporedij……………………………………………………………...6

1.1.1.Omejena in neomejena številska zaporedja…..6

1.1.2. Monotonost zaporedij……………………………………6

1.1.3. Neskončno velika in neskončno majhna zaporedja…….7

1.1.4. Lastnosti infinitezimalnih zaporedij…………………8

1.1.5.Konvergentna in divergentna zaporedja in njihove lastnosti.....9

1.2 Omejitev zaporedja………………………………………………….11

1.2.1. Izreki o mejah zaporedij………………………………15

1.3 Aritmetična progresija…………………………………………………17

1.3.1. Lastnosti aritmetične progresije…………………………………..17

1.4 Geometrijska progresija……………………………………………………………..19

1.4.1. Lastnosti geometrijske progresije…………………………………….19

1.5. Fibonaccijeva števila………………………………………………………………..21

1.5.1 Povezava Fibonaccijevih števil z drugimi področji znanja………………….22

1.5.2. Uporaba Fibonaccijevega niza števil za opis žive in nežive narave……………………………………………………………………………………………….23

2. Lastna raziskava…………………………………………………….28

Zaključek…………………………………………………………………………………….30

Seznam referenc………………………………………………………………....31

Uvod.

Številčna zaporedja so zelo zanimiva in izobraževalna tema. To temo najdemo v nalogah povečane zahtevnosti, ki jih študentom ponujajo avtorji didaktičnih gradiv, v nalogah matematičnih olimpijad, sprejemnih izpitih na višjih šolah. Izobraževalne ustanove in na enotnem državnem izpitu. Zanima me, kako se matematična zaporedja povezujejo z drugimi področji znanja.

Tarča raziskovalno delo: Razširite znanje o številčno zaporedje.

1. Upoštevajte zaporedje;

2. Upoštevajte njegove lastnosti;

3. Razmislite o analitični nalogi zaporedja;

4. Dokazati svojo vlogo pri razvoju drugih področij znanja.

5. Pokažite uporabo Fibonaccijevega niza števil za opisovanje žive in nežive narave.

1. Teoretični del.

Osnovni pojmi in izrazi.

Opredelitev. Številsko zaporedje je funkcija oblike y = f(x), x О N, kjer je N množica naravna števila(ali funkcija naravnega argumenta), označena z y = f(n) ali y1, y2,…, yn,…. Vrednosti y1, y2, y3,... se imenujejo prvi, drugi, tretji,... člani zaporedja.

Število a imenujemo limita zaporedja x = (x n ), če za poljubno vnaprej določeno poljubno majhno pozitivno število ε obstaja tako naravno število N, da za vse n>N velja neenakost |x n - a|< ε.

Če je število a limita zaporedja x = (x n ), potem pravijo, da x n teži k a, in zapišejo

Za zaporedje (yn) pravimo, da narašča, če je vsak član (razen prvega) večji od prejšnjega:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Zaporedje (yn) se imenuje padajoče, če je vsak član (razen prvega) manjši od prejšnjega:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Naraščajoče in padajoče zaporedje združujemo pod skupnim pojmom - monotona zaporedja.

Zaporedje imenujemo periodično, če obstaja naravno število T tako, da izhajajoč iz nekega n velja enakost yn = yn+T. Število T imenujemo dolžina obdobja.

Aritmetična progresija je zaporedje (an), katerega vsak člen, začenši z drugim, je enak vsoti prejšnjega člena in istega števila d, se imenuje aritmetična progresija, število d pa je razlika aritmetična progresija.

torej aritmetična progresija je numerično zaporedje (an), ki je rekurzivno definirano z relacijami

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Geometrična progresija je zaporedje, v katerem so vsi členi različni od nič in katerega vsak člen, začenši od drugega, dobimo iz prejšnjega člena z množenjem z istim številom q.

Geometrična progresija je torej numerično zaporedje (bn), ki ga ponavljajoče določajo razmerja

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Vrste zaporedij.

1.1.1 Omejena in neomejena zaporedja.

Za zaporedje (bn) pravimo, da je zgoraj omejeno, če obstaja število M tako, da za poljubno število n velja neenakost bn≤ M;

Zaporedje (bn) se imenuje spodaj omejeno, če obstaja število M tako, da za poljubno število n velja neenakost bn≥ M;

Na primer:

1.1.2 Monotonost zaporedij.

Zaporedje (bn) imenujemo nenaraščajoče (nepadajoče), če za poljubno število n velja neenakost bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1);

Zaporedje (bn) imenujemo padajoče (naraščajoče), če za poljubno število n velja neenakost bn> bn+1 (bn

Padajoča in naraščajoča zaporedja se imenujejo strogo monotona, nenaraščujoča zaporedja pa monotona v širšem smislu.

Zaporedja, ki so omejena zgoraj in spodaj, se imenujejo omejena.

Zaporedje vseh teh vrst se imenuje monotono.

1.1.3 Neskončno velika in majhna zaporedja.

Infinitezimalno zaporedje je numerična funkcija ali zaporedje, ki teži k ničli.

Za zaporedje an pravimo, da je infinitezimalno, če

Funkcija se imenuje infinitezimalna v okolici točke x0, če je ℓimx→x0 f(x)=0.

Funkcija se imenuje infinitezimalna v neskončnosti, če je ℓimx→.+∞ f(x)=0 ali ℓimx→-∞ f(x)=0

Infinitezimalna je tudi funkcija, ki je razlika med funkcijo in njeno mejo, to je, če je ℓimx→.+∞ f(x)=a, potem je f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Neskončno veliko zaporedje je numerična funkcija ali zaporedje, ki teži v neskončnost.

Za zaporedje an pravimo, da je neskončno veliko, če

ℓimn→0 an=∞.

Za funkcijo pravimo, da je neskončno velika v okolici točke x0, če je ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Za funkcijo pravimo, da je v neskončnosti neskončno velika, če

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ali ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Lastnosti infinitezimalnih zaporedij.

Tudi vsota dveh neskončno majhnih zaporedij je sama po sebi infinitezimalno zaporedje.

Tudi razlika dveh infinitezimalnih zaporedij je sama po sebi infinitezimalno zaporedje.

Algebraična vsota katerega koli končnega števila neskončno majhnih zaporedij je tudi sama neskončno majhna zaporedja.

Produkt omejenega zaporedja in infinitezimalnega zaporedja je infinitezimalno zaporedje.

Produkt poljubnega končnega števila neskončno majhnih zaporedij je infinitezimalno zaporedje.

Vsako infinitezimalno zaporedje je omejeno.

Če je stacionarno zaporedje neskončno majhno, potem so vsi njegovi elementi, ki se začnejo od določene točke, enaki nič.

Če je celotno infinitezimalno zaporedje sestavljeno iz enaki elementi, potem so ti elementi ničle.

Če je (xn) neskončno veliko zaporedje, ki ne vsebuje ničelnih členov, potem obstaja zaporedje (1/xn), ki je neskončno majhno. Če pa (xn) vsebuje nič elementov, potem lahko zaporedje (1/xn) še vedno definiramo, začenši z nekim številom n, in bo še vedno infinitezimalno.

Če je (an) neskončno majhno zaporedje, ki ne vsebuje ničelnih členov, potem obstaja zaporedje (1/an), ki je neskončno veliko. Če (an) kljub temu vsebuje nič elementov, potem lahko zaporedje (1/an) še vedno definiramo, začenši z nekim številom n, in bo še vedno neskončno veliko.

1.1.5 Konvergentna in divergentna zaporedja in njihove lastnosti.

Konvergentno zaporedje je zaporedje elementov množice X, ki ima v tej množici limito.

Divergentno zaporedje je zaporedje, ki ni konvergentno.

Vsako infinitezimalno zaporedje je konvergentno. Njegova meja je nič.

Odstranitev poljubnega končnega števila elementov iz neskončnega zaporedja ne vpliva niti na konvergenco niti na mejo tega zaporedja.

Vsako konvergentno zaporedje je omejeno. Vendar pa vsako omejeno zaporedje ne konvergira.

Če zaporedje (xn) konvergira, vendar ni infinitezimalno, potem je z začetkom pri določenem številu definirano zaporedje (1/xn), ki je omejeno.

Vsota konvergentnih zaporedij je tudi konvergentno zaporedje.

Tudi razlika konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje.

Produkt konvergentnih zaporedij je tudi konvergentno zaporedje.

Kvocient dveh konvergentnih zaporedij je definiran z začetkom pri nekem elementu, razen če je drugo zaporedje infinitezimalno. Če je definiran kvocient dveh konvergentnih zaporedij, potem je to konvergentno zaporedje.

Če je konvergentno zaporedje omejeno spodaj, potem nobena njegova infimuma ne presega njegove meje.

Če je konvergentno zaporedje omejeno zgoraj, potem njegova meja ne presega nobene zgornje meje.

Če za katero koli število členi enega konvergentnega zaporedja ne presegajo členov drugega konvergentnega zaporedja, potem tudi limit prvega zaporedja ne presega limita drugega.

Najenostavnejša številka je naravno število. Uporabljajo se v vsakdanjem življenju za štetje predmetov, tj. izračunati njihovo število in vrstni red.

Kaj je naravno število: naravna števila poimenujte števila, ki jih uporabljate štetje predmetov ali za navedbo serijske številke katerega koli predmeta od vseh homogenih predmetov.

Cela števila- to so številke, ki se začnejo od ena. Nastanejo naravno pri štetju.Na primer 1,2,3,4,5 ... -prva naravna števila.

Najmanjše naravno število- ena. Največje naravno število ne obstaja. Pri štetju števila Ničla se ne uporablja, zato je ničla naravno število.

Niz naravnih števil je zaporedje vseh naravnih števil. Pisanje naravnih števil:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

V naravnem nizu je vsako število za eno večje od prejšnjega.

Koliko števil je v naravnem nizu? Naravni niz je neskončen, največje naravno število ne obstaja.

Decimalno število, saj 10 enot katere koli števke tvori 1 enoto najvišje števke. Pozicijsko tako kako je pomen števke odvisen od njenega mesta v številu, tj. iz kategorije, kjer je zapisano.

Razredi naravnih števil.

Vsako naravno število lahko zapišemo z 10 arabskimi številkami:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Za branje naravnih števil jih razdelimo, začenši z desne, v skupine po 3 števke. 3 najprej številke na desni so razredi enot, naslednje 3 so razredi tisočic, nato razredi milijonov, milijard initd. Vsako števko razreda imenujemo njenapraznjenje.

Primerjava naravnih števil.

Od 2 naravnih števil je manjše tisto število, ki ga pri štetju prej pokličemo. Na primer, številka 7 manj 11 (napisano takole:7 < 11 ). Ko je eno število večje od drugega, se zapiše takole:386 > 99 .

Tabela števk in razredi števil.

Naknadno zaporedje je množica elementov določene množice. Neskončno zaporedje- zaporedje, ki ga določa funkcija z domeno definicije n. V primeru, ko je ta funkcija numerična, potem neskončno številsko zaporedje. Nato bomo obravnavali številska zaporedja. Pomen f(n), kar ustreza naravnemu številu n, poklical n-ti člen zaporedja. Včasih namesto tega f(n) se uporabljajo oznake a n , x n .

Primeri zaporedja številk:

f(n) = 3n+ 2, od kje f(1) = 5, f(2) = 8,..., f(100) = 302,... ;

f(n) = 1 + (-1) n, kje f(1) = 0, f(2) = 2,... ali na splošno, f(2k - 1) = 0, f(2k) = 2 (k ∈ n).

Številsko zaporedje je mogoče določiti kot funkcijo različne poti. Formula, ki podaja številsko zaporedje, se imenuje formula n th (ali skupni) član. Z njegovo pomočjo lahko dobite vrednost katerega koli elementa zaporedja, tako da njegovo številko nadomestite s formulo. Na primer: a n = 2 n .

Obstaja še en način za določitev številčnega zaporedja - ponavljajoče se. Izraža katerega koli člana zaporedja glede na prejšnje. Na primer: a n = 2(a n-1 + 3), a 1 = 2. Potem a 2 = 10, a 3 = 26,...

Če ima zaporedje končno število členov, ga imenujemo končno. Končno zaporedje trimestnih števil je na primer: 100, 101, ..., 999. Sestavljeno je iz 900 elementov.

Zaporedje se imenuje povečevanje, če sploh n ∈ n neenakost velja a n a n+1 .

Zaporedje se imenuje padanje, če sploh n ∈ n neenakost velja a n > a n+1 .

Imenujemo naraščajoče in padajoče zaporedje monotono.

Na primer zaporedje, podano s formulo a n = n/(n+ 1), je monoton, narašča, ker Razlika a n+1 - a n = (n + 1)/(n + 2) - n/(n + 1) = 1/(n + 1)(n+ 2) > 0. To je a n a n+1. Zaporedje s skupnim izrazom a n = 1 + (-1) n ni monotono, saj a 1 a 2 , a a 2 > a 3 .

Zaporedje se imenuje omejeno zgoraj M ∈ R, Kaj a n ≤ M.

Zaporedje se imenuje omejeno spodaj, če taka številka obstaja m ∈ R, Kaj a n ≥ m.

Na primer zaporedje a n = n omejeno od spodaj, ne pa tudi od zgoraj. Naknadno zaporedje a n = (-1) n n ni omejeno ne zgoraj ne spodaj.

Zaporedje se imenuje omejeno, če je hkrati omejen zgoraj in spodaj.

številka a imenovana meja zaporedja ( a n), če za katero koli ε > 0 obstaja naravno število n, tako da za vsakogar n > n neenakost velja | a n - a| lim n→∞ a n = a oz a n → a.

Zaporedje, ki ima mejo, se imenuje konvergenten. Zaporedje, ki nima meje, se imenuje divergenten.

Če lim n→∞ a n= 0, potem zaporedje ( a n) imenujemo infinitezimalno.

Lastnosti omejitev številskega zaporedja:

1. Če je lim n→∞ a n = a in lim n→∞ b n = b, nato lim n→∞ (a n + b n) = a + b;

2. Če je lim n→∞ a n = a in lim n→∞ b n = b, nato lim n→∞ (a n b n) = ab;

3. Če je lim n→∞ a n = a in lim n→∞ b n = b≠ 0, nato lim n→∞ (a n /b n) = a/b;

4.lim n→∞ ca n = c lim n→∞ a n, Kje c ∈ R;

5. Če je lim n→∞ a n= lim n→∞ b n = a in a n ≤ c n ≤ b n, nato lim n→∞ c n = a.

6. Če je lim n→∞ a n = a, lim n→∞ b n = b in a n b n pri n ∈ n, To a ≤ b.

Podana je definicija številskega zaporedja. Obravnavani so primeri neskončno naraščajočih, konvergentnih in divergentnih zaporedij. Obravnava se zaporedje, ki vsebuje vsa racionalna števila.

Opredelitev .
Številčno zaporedje (xn) je zakon (pravilo), po katerem je vsako naravno število n = 1, 2, 3, . . . je določeno število x n.
Element x n se imenuje n-ti izraz ali element zaporedja.

Zaporedje je označeno kot n-ti člen v zavitih oklepajih: . Možne so tudi naslednje oznake: . Eksplicitno nakazujejo, da indeks n pripada množici naravnih števil, samo zaporedje pa ima neskončno število členov. Tukaj je nekaj primerov zaporedij:
, , .

Z drugimi besedami, številsko zaporedje je funkcija, katere domena definicije je množica naravnih števil. Število elementov zaporedja je neskončno. Med elementi so lahko tudi členi, ki imajo enak pomen. Zaporedje lahko obravnavamo tudi kot oštevilčen niz števil, sestavljen iz neskončnega števila članov.

Zanimalo nas bo predvsem vprašanje, kako se zaporedja obnašajo, ko n teži v neskončnost: . To gradivo je predstavljeno v razdelku Limit zaporedja - osnovni izreki in lastnosti. Tukaj si bomo ogledali nekaj primerov zaporedij.

Primeri zaporedij

Primeri neskončno naraščajočih zaporedij

Razmislite o zaporedju. Skupni člen tega zaporedja je . Zapišimo prvih nekaj izrazov:
.
Vidimo lahko, da z naraščanjem števila n elementi neomejeno naraščajo proti pozitivne vrednosti. Lahko rečemo, da to zaporedje teži k: za .

Zdaj razmislite o zaporedju s skupnim izrazom. Tukaj je prvih nekaj članov:
.
Ko število n narašča, se elementi tega zaporedja neomejeno povečujejo absolutna vrednost, vendar nimajo konstantnega predznaka. To pomeni, da se to zaporedje nagiba k: pri .

Primeri zaporedij, ki konvergirajo k končnemu številu

Razmislite o zaporedju. Njen skupni član. Prvi izrazi imajo naslednjo obliko:
.
Vidimo lahko, da se z naraščanjem števila n elementi tega zaporedja približujejo mejni vrednosti a = 0 : pri . Torej je vsak naslednji člen bližje ničli kot prejšnji. V nekem smislu lahko štejemo, da obstaja približna vrednost za število a = 0 z napako. Jasno je, da z naraščanjem n ta napaka teži k ničli, to pomeni, da lahko z izbiro n napako naredimo tako majhno, kot želimo. Poleg tega za katero koli dano napako ε > 0 lahko določite število N tako, da za vse elemente s številkami, večjimi od N:, odstopanje števila od mejne vrednosti a ne bo preseglo napake ε:.

Nato razmislite o zaporedju. Njen skupni član. Tukaj je nekaj njegovih prvih članov:
.
V tem zaporedju so sodo oštevilčeni členi enaki nič. Izrazi z lihim n so enaki. Zato se z naraščanjem n njihove vrednosti približajo mejni vrednosti a = 0 . To izhaja tudi iz dejstva, da
.
Tako kot v prejšnjem primeru lahko določimo poljubno majhno napako ε > 0 , za katero je mogoče najti takšno število N, da bodo elementi s številkami, večjimi od N, odstopali od mejne vrednosti a = 0 za znesek, ki ne presega navedene napake. Zato to zaporedje konvergira k vrednosti a = 0 : pri.

Primeri divergentnih zaporedij

Razmislite o zaporedju z naslednjim pogostim izrazom:

Tukaj so njeni prvi člani:


.
Vidimo lahko, da izrazi s sodimi števili:
,
konvergirajo k vrednosti a 1 = 0 . Lihi člani:
,
konvergirajo k vrednosti a 2 = 2 . Samo zaporedje, ko n raste, ne konvergira k nobeni vrednosti.

Zaporedje s členi, porazdeljenimi v interval (0;1)

Zdaj pa poglejmo bolj zanimivo zaporedje. Vzemimo odsek na številski premici. Razdelimo ga na pol. Dobimo dva segmenta. Pustiti
.
Vsak od segmentov ponovno razdelimo na pol. Dobimo štiri segmente. Pustiti
.
Vsak segment ponovno razdelimo na pol. Vzemimo


.
In tako naprej.

Kot rezultat dobimo zaporedje, katerega elementi so razporejeni v odprtem intervalu (0; 1) . Ne glede na točko, ki jo vzamemo iz zaprtega intervala , vedno lahko najdemo člene zaporedja, ki bodo poljubno blizu te točke ali sovpadali z njo.

Nato lahko iz prvotnega zaporedja izberemo podzaporedje, ki bo konvergiralo v poljubno točko iz intervala . To pomeni, da se bodo člani podzaporedja z večanjem števila n vedno bolj približevali vnaprej izbrani točki.

Na primer za točko a = 0 lahko izberete naslednje podzaporedje:
.
= 0 .

Za točko a = 1 Izberimo naslednje podzaporedje:
.
Členi tega podzaporedja konvergirajo k vrednosti a = 1 .

Ker obstajajo podzaporedja, ki konvergirajo k različne pomene, potem samo izvirno zaporedje ne konvergira k nobenemu številu.

Zaporedje, ki vsebuje vsa racionalna števila

Zdaj pa sestavimo zaporedje, ki vsebuje vsa racionalna števila. Poleg tega se bo vsako racionalno število pojavilo v takem zaporedju neskončno velikokrat.

Racionalno število r lahko predstavimo na naslednji način:
,
kjer je celo število; - naravno.
Vsako naravno število n moramo prirediti paru števil p in q, tako da bo vsak par p in q vključen v naše zaporedje.

Če želite to narediti, na ravnino narišite osi p in q. Mrežne črte narišemo skozi celoštevilske vrednosti p in q. Potem bo vsako vozlišče te mreže c ustrezalo racionalnemu številu. Celoten niz racionalnih števil bo predstavljen z nizom vozlišč. Najti moramo način, kako oštevilčiti vsa vozlišča, da ne zamudimo nobenega vozlišča. To je enostavno narediti, če oštevilčite vozlišča s kvadrati, katerih središča se nahajajo v točki (0; 0) (glej sliko). V tem primeru so spodnji deli kvadratov s q < 1 ne potrebujemo ga. Zato niso prikazani na sliki.

Torej, za zgornjo stran prvega kvadrata imamo:
.
Naprej številčimo zgornji del naslednji kvadrat:

.
Oštevilčimo zgornji del naslednjega kvadrata:

.
In tako naprej.

Na ta način dobimo zaporedje, ki vsebuje vsa racionalna števila. Opazite lahko, da se vsako racionalno število v tem zaporedju pojavi neskončno velikokrat. Poleg vozlišča bo to zaporedje vključevalo tudi vozlišča, kjer je naravno število. Toda vsa ta vozlišča ustrezajo istemu racionalnemu številu.

Nato lahko iz zaporedja, ki smo ga zgradili, izberemo podzaporedje (ki ima neskončno število elementov), ​​katerega vsi elementi so enaki vnaprej določenemu racionalnemu številu. Ker ima zaporedje, ki smo ga zgradili, podzaporedja, ki konvergirajo k različnim številom, zaporedje ne konvergira k nobenemu številu.

Zaključek

Tukaj smo podali natančno definicijo številskega zaporedja. Izpostavili smo tudi vprašanje njegove konvergence, ki temelji na intuitivnih zamislih. Natančna definicija konvergence je obravnavana na strani Definiranje limita zaporedja. Povezane lastnosti in izreki so navedeni na strani

1 Opredelitev

2 Primeri

3 Operacije na zaporedjih

4 Naslednje

• 4.1 Primeri

  4.2 Lastnosti

5 Mejna točka zaporedja

6 Omejitev zaporedja

7 Nekatere vrste zaporedij

• 7.1 Omejena in neomejena zaporedja

  • 7.1.1 Kriterij omejenosti številskega zaporedja

    7.1.2 Lastnosti omejenih zaporedij

7.2 Neskončno velika in neskončno majhna zaporedja

• 7.2.1 Lastnosti infinitezimalnih zaporedij

7.3 Konvergentna in divergentna zaporedja

• 7.3.1 Lastnosti konvergentnih zaporedij

7.4 Monotone sekvence

7.5 Temeljna zaporedja

Zaporedje številk- To podzaporedje elementi številskega prostora.

Številska zaporedja so eden glavnih predmetov obravnave pri matematična analiza.

Opredelitev

Pustite nabor X je bodisi množica realnih števil bodisi množica kompleksnih števil. Nato zaporedje elementov množice X klical številčno zaporedje.

Primeri

Operacije na zaporedjih

Vklopljeno veliko vsa zaporedja elementov množice X mogoče določiti aritmetika in drugi operacije, če so definirani na nizu X. Takšne operacije so običajno definirane na naraven način, to je element za elementom.

Tako so na primer definirane aritmetične operacije za številska zaporedja.

Znesek x n) In ( l nz n) tako, da z n = x n + l n .

Z razliko številska zaporedja ( x n) In ( l n) se imenuje številsko zaporedje ( z n) tako, da z n = x n − l n .

Delo številska zaporedja x n in l n imenovano številsko zaporedje ( z n) tako, da .

Zasebno številčno zaporedje x n in številčno zaporedje l n, katerega vsi elementi se razlikujejo od nič, se imenuje številsko zaporedje . Če v zaporedju l n položaj še vedno ima ničelni element, potem lahko rezultat deljenja s takim zaporedjem še vedno definiramo kot zaporedje .

Seveda lahko aritmetične operacije definiramo ne le na množici številskih zaporedij, ampak tudi na katerikoli množici zaporedij elementov množic, na katerih so definirane aritmetične operacije, pa naj bo polja ali celo prstani.

Naslednje

Naknadno zaporedje zaporedja ( x n) je zaporedje, kjer ( k n) je naraščajoče zaporedje elementov množice naravnih števil.

Z drugimi besedami, podzaporedje dobimo iz zaporedja z odstranitvijo končnega ali preštetega števila elementov.

Primeri

Naknadno zaporedje praštevila je podzaporedje zaporedja naravnih števil.

Zaporedje naravnih števil, večkratniki 12 , je podzaporedje zaporedja celo naravna števila.

Lastnosti

Vsako zaporedje je svoje podzaporedje.

Podzaporedje konvergentnega zaporedja konvergira do iste meje kot izvirno zaporedje.

Če vse podzaporedje nekega izvirnega zaporedja konvergirajo, potem so njihove meje enake.

Vsako podzaporedje neskončno velikega zaporedja je tudi neskončno veliko.

Iz poljubnega neomejenega številskega zaporedja lahko izberemo neskončno veliko podzaporedje, katerega vsi elementi imajo določen predznak.

Iz poljubnega številskega zaporedja lahko izberemo bodisi konvergentno podzaporedje bodisi neskončno veliko podzaporedje, katerega vsi elementi imajo določen predznak.

Mejna točka zaporedja

Glavni članek: Mejna točka

Mejna točka zaporedja je točka v kateri koli okolici, katere elementov tega zaporedja je neskončno veliko. Za konvergentna številska zaporedja mejna točka sovpada z omejitev.

Omejitev zaporedja

Glavni članek: Omejitev zaporedja

Omejitev zaporedja - to je predmet, ki se mu člani zaporedja približujejo, ko število narašča. Torej brezplačno topološki prostor meja zaporedja je element v katerem koli soseska ki vsebuje vse člene zaporedja, začenši z nekaterimi. Zlasti za številska zaporedja je limit število, v katerikoli okolici ležijo vsi členi zaporedja, ki se začnejo od določene točke.

Delna omejitev zaporedja je meja enega od njegovih podzaporedij. Za konvergentna številska zaporedja vedno sovpada z običajno mejo.

Zgornja meja zaporedja je največja mejna točka tega zaporedja.

Spodnja meja zaporedja je najmanjša mejna točka tega zaporedja.

Nekatere vrste zaporedij

Stacionarno zaporedje je zaporedje, katerega vsi členi, ki se začnejo na neki točki, so enaki.

(x n) stacionarno

Omejena in neomejena zaporedja

Ob predpostavki linearni red kompleti X elementov zaporedja, lahko uvedemo pojma omejenega in neomejenega zaporedja.

Zgornje omejeno zaporedje X, katerega vsi člani ne presegajo nekega elementa iz te množice. Ta element se imenuje zgornji rob to zaporedje.

(x n) omejena zgoraj

Spodaj omejeno zaporedje je zaporedje elementov množice X, za katerega v tem nizu obstaja element, ki ne presega vseh njegovih članov. Ta element se imenuje spodnji rob to zaporedje.

(x n) omejeno spodaj

Omejeno zaporedje (zaporedje, omejeno na obeh straneh ) je zaporedje, omejeno zgoraj in spodaj.

(x n) omejeno

Neomejeno zaporedje je zaporedje, ki ni omejeno.

(x n) neomejeno

Kriterij omejenosti številskega zaporedja

Številsko zaporedje je omejeno, če in samo če obstaja število, tako da moduli vseh členov zaporedja ga ne preseže.

(x n) omejeno

Lastnosti omejenih zaporedij

Neskončno velika in neskončno majhna zaporedja

Infinitezimalno zaporedje je zaporedje omejitev kar je enako nič.

Neskončno veliko zaporedje je zaporedje, katerega meja je neskončnost.

Lastnosti infinitezimalnih zaporedij

Infinitezimalna zaporedja odlikujejo številne izjemne lastnosti, ki se aktivno uporabljajo v matematična analiza, pa tudi v sorodnih in splošnejših disciplinah.

Tudi vsota dveh neskončno majhnih zaporedij je sama po sebi infinitezimalno zaporedje.

Tudi razlika dveh infinitezimalnih zaporedij je sama po sebi infinitezimalno zaporedje.

Algebraična vsota katerega koli končnega števila neskončno majhnih zaporedij je tudi sama neskončno majhna zaporedja.

Produkt omejenega zaporedja in infinitezimalnega zaporedja je infinitezimalno zaporedje.

Produkt poljubnega končnega števila neskončno majhnih zaporedij je infinitezimalno zaporedje.

Vsako infinitezimalno zaporedje je omejeno.

Če je stacionarno zaporedje neskončno majhno, potem so vsi njegovi elementi, ki se začnejo od določene točke, enaki nič.

Če je celotno infinitezimalno zaporedje sestavljeno iz enakih elementov, potem so ti elementi ničle.

Če ( x n) je neskončno veliko zaporedje, ki ne vsebuje nič členov, potem obstaja zaporedje (1 / x n), ki je neskončno majhna. Če ( x n) še vedno vsebuje nič elementov, potem zaporedje (1 / x n n, in bo še vedno neskončno majhen.

Če (α n) je infinitezimalno zaporedje, ki ne vsebuje nič členov, potem obstaja zaporedje (1 / α n), ki je neskončno velik. Če (α n) še vedno vsebuje nič elementov, potem zaporedje (1 / α n) še vedno lahko definiramo, začenši z neko številko n, in bo še vedno neskončno velik.

Konvergentna in divergentna zaporedja

Konvergentno zaporedje je zaporedje elementov množice X, ob omejitev v tej množici.

Divergentno zaporedje je zaporedje, ki ni konvergentno.

Lastnosti konvergentnih zaporedij

Vsako infinitezimalno zaporedje je konvergentno. Njegova meja je nič.

Odstranitev poljubnega končnega števila elementov iz neskončnega zaporedja ne vpliva niti na konvergenco niti na mejo tega zaporedja.

Vsako konvergentno zaporedje elementov Hausdorffov prostor ima samo eno omejitev.

Vsako konvergentno zaporedje je omejeno. Vendar pa vsako omejeno zaporedje ne konvergira.

Zaporedje konvergira, če in samo, če je omejeno in hkrati svoje zgornje in spodnje meje ujemati se.

Če zaporedje ( x n) konvergira, vendar ni infinitezimalen, potem, začenši z določeno številko, zaporedje (1 / x n), ki je omejena.

Vsota konvergentnih zaporedij je tudi konvergentno zaporedje.

Tudi razlika konvergentnih zaporedij je konvergentno zaporedje.

Produkt konvergentnih zaporedij je tudi konvergentno zaporedje.

Kvocient dveh konvergentnih zaporedij je definiran z začetkom pri nekem elementu, razen če je drugo zaporedje infinitezimalno. Če je definiran kvocient dveh konvergentnih zaporedij, potem je to konvergentno zaporedje.

Če je konvergentno zaporedje omejeno spodaj, potem nobena njegova infimuma ne presega njegove meje.

Če je konvergentno zaporedje omejeno zgoraj, potem njegova meja ne presega nobene zgornje meje.

Če za katero koli število členi enega konvergentnega zaporedja ne presegajo členov drugega konvergentnega zaporedja, potem tudi limit prvega zaporedja ne presega limita drugega.

Če vsi elementi določenega zaporedja, začenši z določeno številko, ležijo na segmentu med ustreznimi elementi dveh drugih zaporedij, ki konvergirata k isti meji, potem tudi to zaporedje konvergira k isti meji.

Vsako konvergentno zaporedje ( x n) lahko predstavimo kot ( x n) = (a + α n), Kje a- omejitev zaporedja ( x n), in α n- neko infinitezimalno zaporedje.

Vsako konvergentno zaporedje je temeljni. V tem primeru temeljno številsko zaporedje vedno konvergira (kot vsako temeljno zaporedje elementov popolnega prostora).

Monotone sekvence

Glavni članek:

Monotono zaporedje je nenaraščujoče ali nepadajoče zaporedje. V tem primeru se predpostavlja, da je na množici, iz katere so vzeti elementi zaporedja, razmerje reda.

Temeljna zaporedja

Glavni članek:

Temeljno zaporedje (konvergentno zaporedje , Cauchyjevo zaporedje ) je zaporedje elementov metrični prostor, v katerem za katero koli vnaprej določeno razdaljo obstaja tak element, da razdalja do katerega koli elementa, ki mu sledi, ne presega navedene. Za številska zaporedja sta koncepta temeljnega in konvergentnega zaporedja enakovredna, vendar na splošno ni tako.

Serija zaporednih številk Povzetek >> Matematika

Va konvergentne vrste Številčno vrsta - neskončna podzaporedještevila povezana z znakom... tok dogodkov tok dogodkov- podzaporedje dogodki, ki se zgodijo naključno... -va: 1. F(x) je vseskozi definiran številčno ravni R; 2.F(x) se ne zmanjšuje, tj. ...