Definicija številskega zaporedja. Zaporedja naravnih števil

Naravno število je kvantitativna značilnost enega nespremenljivega niza, vendar se v praksi število predmetov nenehno spreminja, na primer število živine na določeni kmetiji. Poleg tega se v procesu štetja takoj pojavi najenostavnejše, a tudi najpomembnejše zaporedje - to je zaporedje naravnih števil: 1, 2, 3, ....

Če je sprememba števila predmetov v določeni populaciji fiksirana v obliki določenega zaporedja naravnih števil (členov zaporedja), takoj naravno nastane drugo zaporedje - zaporedje števil, npr.

Pri tem se pojavi problem poimenovanja členov zaporedja. Označevanje vsakega člana s posebno črko je izjemno neprijetno iz naslednjih razlogov. Prvič, zaporedje lahko vsebuje zelo veliko ali celo neskončno število členov. Drugič, različne črke prikrivajo dejstvo, da člani zaporedja pripadajo isti populaciji, čeprav spreminjajo število elementov. Nazadnje, v tem primeru številke članov v zaporedju ne bodo prikazane.

Zaradi teh razlogov je treba člane zaporedja označiti z eno črko in jih razlikovati po indeksu. Na primer, zaporedje, sestavljeno iz desetih členov, lahko označimo s črko A: A 1 , A 2 , A 3 , …, A 10. Dejstvo, da je zaporedje neskončno, je izraženo z elipso, kot da bi to zaporedje razširili v nedogled: A 1 , A 2 , A 3, ... Včasih se zaporedje začne številčiti od začetka: : A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , …

Nekatera zaporedja lahko dojemamo kot naključne nize števil, saj zakon oblikovanja členov zaporedja ni znan ali ga celo ni. Posebno pozornost pa pritegnejo zaporedja, za katera poznamo takšen zakon.

Za označevanje zakona oblikovanja členov zaporedja se najpogosteje uporabljata dve metodi. Prvi izmed njih je naslednji. Določi se prvi člen, nato pa se določi metoda, po kateri se z zadnjim, že znanim členom pridobi naslednji. Za pisanje zakona se uporabi člen zaporedja z nedoločeno številko, npr. in k in naslednji član in k +1, za katerim je zapisana formula, ki ju povezuje.

Najbolj znana in pomembna primera sta aritmetična in geometrijska progresija. Aritmetična progresija je definirana s formulo in k +1 = in k + r(oz in k +1 = in k – r). Členi aritmetičnega napredovanja enakomerno naraščajo (kot lestev) ali enakomerno padajo (prav tako kot lestev). Magnituda r se imenuje progresijska razlika, ker in k +1 – in k = r. Primeri aritmetičnih progresij z naravnimi členi so

a) naravna števila ( a 1 = 1 ;in k +1 = in k + 1);

b) neskončno zaporedje 1, 3, 5, 7, … ( a 1 = 1 ;in k +1 = in k + 2);

c) končno zaporedje 15, 12, 9, 6, 3 ( a 1 = 15 ;in k +1 = in k–3 ).

Geometrijsko napredovanje je podano s formulo b k +1 = b k ∙q. Magnituda q se imenuje imenovalec geometrijske progresije, ker b k +1: b k = q. Geometrijske progresije z naravnimi členi in imenovalcem večjim od ena rastejo in rastejo hitro, tudi kot plaz. Primeri geometrijskih progresij z naravnimi členi so

a) neskončno zaporedje 1, 2, 4, 8, … ( b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

b) neskončno zaporedje 3, 12, 48, 192, 768,… ( b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

Drugi način za navedbo zakona za določanje pogojev zaporedja je navedba formule, ki vam omogoča izračun člana zaporedja z nedoločenim številom (skupni izraz), na primer, in k, z uporabo številke k.

Na ta način je mogoče izračunati tudi člene aritmetične in geometrijske progresije. Ker je aritmetična progresija definirana s formulo in k +1 = in k + r, je lahko razumeti, kako je član izražen in k uporabo številke k:

a 1– določen poljubno;

a 2 = a 1 + r = a 1 + 1∙r;

a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;

a 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;

…………………………………

in k = a 1 + (k–1)∙r– končna formula.

Za geometrijsko progresijo se formula za splošni člen izpelje na podoben način: b k = b 1 ∙ q k –1 .

Poleg aritmetične in geometrijske progresije lahko na enak način določimo tudi druga zaporedja, ki imajo poseben značaj spreminjanja. Kot primer podajamo zaporedje kvadratov naravnih števil: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

Obstajajo bolj zapleteni načini oblikovanja zaporedij, na primer, ena je zgrajena s pomočjo druge. Posebej pomembna za aritmetiko je geometrijska progresija, ki jo določajo parametri b 1 = 1, q= 10, to je zaporedje potenc desetice: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... Uporablja se za predstavitev naravnih števil v položajnem številu sistem. Še več, za vsako naravno število n pojavi se zaporedje številk, s katerimi je zapisano dano število: a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. številka in k označuje, koliko izrazov tipa 10 k vsebuje številko n.

Koncept zaporedja vodi do najpomembnejših konceptov količine in funkcije za matematiko. Količina je spreminjajoča se numerična značilnost predmeta ali pojava. Njegovo spremembo dojemamo kot zaporedje številk. Obstoj razmerja med samimi členi in njihovimi številkami, pa tudi njegovo izražanje s formulami, tesno vodi do koncepta funkcije.

Najpomembnejše matematično odkritje, ki ga uporablja skoraj vsak član dokaj razvite družbe, je pozicijski številski sistem. Omogočila je rešitev glavnega problema štetja, to je zmožnost poimenovanja vedno več novih števil z uporabo zapisov (števk) samo za prvih nekaj števil.

Pozicijski številski sistem je tradicionalno povezan s številom deset, vendar so drugi sistemi, na primer binarni, lahko zgrajeni na istih načelih. Pri konstruiranju decimalnega pozicijskega številskega sistema je uvedenih deset arabskih številk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Z njihovo pomočjo je mogoče zapisati številko, ki izraža število predmetov v katera koli končna množica. V ta namen se uporablja poseben algoritem, to je jasno določeno zaporedje elementarnih dejanj.

Elementi, ki se štejejo, so združeni v skupine po deset, kar ustreza deljenju z deset z ostankom. Posledično nastaneta dva niza - enice in desetice. Desetice so ponovno razvrščene po deseticah v stotine. Jasno je, da število desetic (označujemo ga z a 1) je nujno manj kot deset in zato a 1 lahko označite s številko. Nato so stotine razvrščene v tisoče, tisoče v desettisoče itd., dokler niso vsi elementi združeni. Konstrukcija števila se zaključi s pisanjem dobljenih števil od leve proti desni od velikih indeksov do manjših. Digitalno in k ustrezajo številu skupin predmetov 10 k. Končni zapis števila je sestavljen iz končnega zaporedja števk a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. Ustrezno število je enako izrazu

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.

Beseda "pozicijski" v imenu številskega sistema je posledica dejstva, da število spreminja svoj pomen glede na položaj v zapisu števila. Zadnja številka določa število enot, predzadnja številka določa število desetic itd.

Upoštevajte, da je algoritem za pridobitev zapisa števil v številskem sistemu s katero koli osnovo n: sestoji iz zaporednega združevanja predmetov glede na n stvari. Ko pišete številke, morate uporabiti nštevilke

Razmislite o nizu naravnih števil: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Če zamenjamo vsako naravno število n v tej seriji za določeno število a n, po nekem zakonu dobimo novo vrsto števil:

a 1 , a 2 , a 3 , , a n –1 , a n , ,

na kratko označen in imenovan številčno zaporedje. Magnituda a n imenujemo skupni člen številskega zaporedja. Običajno je številsko zaporedje podano z neko formulo a n = f(n), kar vam omogoča, da poiščete katerega koli člana zaporedja po njegovi številki n; ta formula se imenuje splošna terminska formula. Upoštevajte, da ni vedno mogoče definirati številskega zaporedja s splošno izrazno formulo; včasih je zaporedje določeno z opisom njegovih članov.

Po definiciji zaporedje vedno vsebuje neskončno število elementov: katera koli dva različna elementa se razlikujeta vsaj po številu, ki jih je neskončno veliko.

Številsko zaporedje je poseben primer funkcije. Zaporedje je funkcija, definirana na množici naravnih števil in zavzema vrednosti v množici realnih števil, tj. funkcija oblike f : n  R.

Naknadno zaporedje
klical povečevanje(zmanjševanje), če sploh n  n
Takšna zaporedja imenujemo strogo monotono.

Včasih je priročno, da kot števila ne uporabimo vseh naravnih števil, ampak le nekatera od njih (na primer naravna števila, ki se začnejo z nekim naravnim številom n 0). Za oštevilčevanje je možno uporabiti ne samo naravna števila, ampak tudi druga števila, npr. n= 0, 1, 2,  (tu je ničla dodana kot drugo število množici naravnih števil). V takih primerih pri določanju zaporedja navedite, katere vrednosti imajo številke n.

Če v nekem zaporedju za katero koli n  n
potem se zaporedje pokliče nepadajoča(nenaraščajoča). Takšna zaporedja imenujemo monotono.

Primer 1 . Številsko zaporedje 1, 2, 3, 4, 5, ... je vrsta naravnih števil in ima skupen člen a n = n.

Primer 2 . Številsko zaporedje 2, 4, 6, 8, 10, ... je niz sodih števil in ima skupni člen a n = 2n.

Primer 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – številčno zaporedje približnih vrednosti z naraščajočo natančnostjo.

V zadnjem primeru je nemogoče podati formulo za splošni člen zaporedja.

Primer 4 . Zapišite prvih 5 členov številskega zaporedja z uporabo njegovega skupnega člena
. Za izračun a 1 je potreben v formuli za splošni izraz a n namesto n nadomestite 1 za izračun a 2 − 2 itd. Potem imamo:

Test 6 . Skupni člen zaporedja 1, 2, 6, 24, 120,  je:

1)

2)

3)

4)

Test 7 .
je:

1)

2)

3)

4)

Test 8 . Skupni član zaporedja
je:

1)

2)

3)

4)

Omejitev zaporedja številk

Razmislite o številskem zaporedju, katerega skupni člen se približuje nekemu številu A ko se serijska številka poveča n. V tem primeru naj bi imelo številsko zaporedje mejo. Ta koncept ima strožjo definicijo.

številka A imenujemo meja številskega zaporedja
:

(1)

če za katerokoli  > 0 obstaja takšno število n 0 = n 0 (), odvisno od , ki
pri n > n 0 .

Ta definicija pomeni, da A obstaja omejitev številskega zaporedja, če se njegov skupni člen približuje neomejeno A z naraščanjem n. Geometrično to pomeni, da je za vsako  > 0 mogoče najti takšno število n 0 , ki od n > n 0 se vsi členi zaporedja nahajajo znotraj intervala ( A – , A+ ). Zaporedje z limitom se imenuje konvergenten; drugače - divergenten.

Številsko zaporedje ima lahko samo eno mejo (končno ali neskončno) določenega predznaka.

Primer 5 . Harmonično zaporedje ima mejno število 0. Dejansko za vsak interval (–; +) kot število n 0 je lahko katero koli celo število, večje od . Potem za vse n > n 0 >imamo

Primer 6 . Zaporedje 2, 5, 2, 5,  je divergentno. Dejansko noben interval z dolžino, manjšo od na primer ena, ne more vsebovati vseh členov zaporedja, začenši z določeno številko.

Zaporedje se imenuje omejeno, če taka številka obstaja M, Kaj
za vse n. Vsako konvergentno zaporedje je omejeno. Vsako monotono in omejeno zaporedje ima mejo. Vsako konvergentno zaporedje ima edinstveno mejo.

Primer 7 . Naknadno zaporedje
se povečuje in omejuje. Ima mejo
=e.

številka e klical Eulerjevo število in približno enako 2,718 28.

Test 9 . Zaporedje 1, 4, 9, 16,  je:

1) konvergentni;

2) divergenten;

3) omejeno;

Test 10 . Naknadno zaporedje
je:

1) konvergentni;

2) divergenten;

3) omejeno;

4) aritmetična progresija;

5) geometrijsko napredovanje.

Test 11 . Naknadno zaporedje ni:

1) konvergentni;

2) divergenten;

3) omejeno;

4) harmonično.

Test 12 . Meja zaporedja, podana s skupnim členom
enaka.