Točka na koordinatni ravnini. Začnite v znanosti
Pravokotni koordinatni sistem na ravnini
Pravokotni koordinatni sistem na ravnini tvorita dve med seboj pravokotni koordinatni osi X’X in Y’Y. Koordinatne osi se sekajo v točki O, ki se imenuje izhodišče, na vsaki osi je izbrana pozitivna smer. Pozitivna smer osi (v desnem koordinatnem sistemu) je izbrana tako, da se pri vrtenju osi X'X. v nasprotni smeri urnega kazalca za 90°, njegova pozitivna smer sovpada s pozitivno smerjo osi Y'Y. Štirje koti (I, II, III, IV), ki jih tvorita koordinatni osi X'X in Y'Y, se imenujejo koordinatni koti (glej sliko 1).
Položaj točke A na ravnini določata dve koordinati x in y. Koordinata x je enaka dolžini odseka OB, koordinata y je enaka dolžini odseka OC v izbranih merskih enotah. Odseka OB in OC določata črti, narisani iz točke A vzporedno z osema Y'Y oziroma X'X. Koordinato x imenujemo abscisa točke A, koordinato y imenujemo ordinata točke A. Zapišemo jo takole: A(x, y).
Če leži točka A v koordinatnem kotu I, ima točka A pozitivno absciso in ordinato. Če leži točka A v koordinatnem kotu II, ima točka A negativno absciso in pozitivno ordinato. Če leži točka A v koordinatnem kotu III, ima točka A negativno absciso in ordinato. Če leži točka A v koordinatnem kotu IV, ima točka A pozitivno absciso in negativno ordinato.
Pravokotni koordinatni sistem v prostoru tvorijo tri med seboj pravokotne koordinatne osi OX, OY in OZ. Koordinatne osi se sekajo v točki O, ki se imenuje izhodišče, na vsaki osi je izbrana pozitivna smer, označena s puščicami, in merska enota za segmente na oseh. Merske enote so enake za vse osi. OX - abscisna os, OY - ordinatna os, OZ - aplikativna os. Pozitivna smer osi je izbrana tako, da pri vrtenju osi OX v nasprotni smeri urnega kazalca za 90° njena pozitivna smer sovpada s pozitivno smerjo osi OY, če to rotacijo opazujemo iz pozitivne smeri osi OZ. Tak koordinatni sistem imenujemo desnosučni. če palec desna roka vzamemo smer X kot smer X, indeksno smer kot smer Y in srednjo kot smer Z, potem se oblikuje desni koordinatni sistem. Podobni prsti leve roke tvorijo levi koordinatni sistem. Nemogoče je združiti desni in levi koordinatni sistem tako, da ustrezni osi sovpadata (glej sliko 2).
Položaj točke A v prostoru določajo tri koordinate x, y in z. Koordinata x je enaka dolžini odseka OB, koordinata y je dolžina odseka OC, koordinata z je dolžina odseka OD v izbranih merskih enotah. Odseke OB, OC in OD določajo ravnine, narisane iz točke A vzporedno z ravninami YOZ, XOZ in XOY. Koordinato x imenujemo abscisa točke A, koordinato y imenujemo ordinato točke A, koordinato z imenujemo aplikata točke A. Zapišemo jo takole: A(a, b, c).
Orty
Pravokotni koordinatni sistem (katere koli dimenzije) je prav tako opisan z nizom enotskih vektorjev, poravnanih s koordinatnimi osemi. Število enotskih vektorjev je enako dimenziji koordinatnega sistema in so vsi pravokotni drug na drugega.
V tridimenzionalnem primeru so takšni enotski vektorji običajno označeni jaz j k oz e x e l e z. V tem primeru v primeru desnosučnega koordinatnega sistema veljajo naslednje formule z vektorskim produktom vektorjev:
- [jaz j]=k ;
- [j k]=jaz ;
- [k jaz]=j .
Zgodba
Pravokotni koordinatni sistem je prvi uvedel Rene Descartes v svojem delu "Diskurz o metodi" leta 1637. Zato se pravokotni koordinatni sistem imenuje tudi - Kartezični koordinatni sistem. Koordinatna metoda opisovanja geometrijskih objektov je pomenila začetek analitične geometrije. K razvoju koordinatne metode je prispeval tudi Pierre Fermat, vendar so bila njegova dela prvič objavljena po njegovi smrti. Descartes in Fermat sta uporabila koordinatno metodo le na ravnini.
Koordinatno metodo za tridimenzionalni prostor je prvi uporabil Leonhard Euler že v 18. stoletju.
Poglej tudi
Povezave
Fundacija Wikimedia. 2010.
Oglejte si, kaj je "koordinatna ravnina" v drugih slovarjih:
rezalna ravnina- (Pn) Koordinatna ravnina tangentna na rezalni rob v obravnavani točki in pravokotna na glavno ravnino. [...
V topografiji mreža namišljenih črt, ki obkrožajo Zemlja v širinski in meridionalni smeri, s katerimi lahko natančno določite položaj katere koli točke na zemeljski površini. Zemljepisne širine se merijo od ekvatorja - velikega kroga,... ... Geografska enciklopedija
V topografiji je mreža namišljenih linij, ki obkrožajo zemeljsko oblo v širinski in meridionalni smeri, s pomočjo katere lahko natančno določite položaj katere koli točke na zemeljski površini. Zemljepisne širine se merijo od ekvatorja velikega kroga,... ... Collierjeva enciklopedija
Ta izraz ima druge pomene, glejte fazni diagram. Fazna ravnina je koordinatna ravnina, v kateri sta vzdolž koordinatnih osi narisani poljubni dve spremenljivki (fazne koordinate), ki enolično določata stanje sistema... ... Wikipedia
glavna rezalna ravnina- (Pτ) Koordinatna ravnina, pravokotna na presečišče glavne ravnine in sečne ravnine. [GOST 25762 83] Teme: obdelava z rezanjem Splošni izrazi: sistemi koordinatnih ravnin in koordinatne ravnine ... Priročnik za tehnične prevajalce
instrumentalna glavna rezalna ravnina- (Pτi) Koordinatna ravnina, pravokotna na presečišče instrumentalne glavne ravnine in rezalne ravnine. [GOST 25762 83] Teme: obdelava z rezanjem Splošni izrazi: sistemi koordinatnih ravnin in koordinatne ravnine ... Priročnik za tehnične prevajalce
rezalna ravnina orodja- (Pni) Koordinatna ravnina tangentna na rezalni rob v obravnavani točki in pravokotna na instrumentalno glavno ravnino. [GOST 25762 83] Predmeti rezalne obdelave Splošni pogoji sistemov koordinatnih ravnin in ... ... Priročnik za tehnične prevajalce
Matematika je precej kompleksna veda. Med študijem morate ne samo reševati primere in probleme, ampak tudi delati z različnimi oblikami in celo ravninami. Eden najbolj uporabljanih v matematiki je koordinatni sistem na ravnini. Otroci so se več kot eno leto učili pravilnega dela z njim. Zato je pomembno vedeti, kaj je in kako z njim pravilno delati.
Ugotovimo, kaj je ta sistem, katera dejanja je mogoče izvesti z njegovo pomočjo, in ugotovimo tudi njegove glavne značilnosti in značilnosti.
Opredelitev pojma
Koordinatna ravnina je ravnina, na kateri je določen določen koordinatni sistem. Tako ravnino določata dve ravni črti, ki se sekata pod pravim kotom. Na presečišču teh črt je izhodišče koordinat. Vsaka točka na koordinatni ravnini je podana s parom števil, imenovanim koordinate.
Pri šolskem tečaju matematike morajo šolarji precej tesno sodelovati s koordinatnim sistemom - na njem sestaviti figure in točke, določiti, kateri ravnini pripada določena koordinata, pa tudi določiti koordinate točke in jih napisati ali poimenovati. Zato se pogovorimo podrobneje o vseh značilnostih koordinat. Toda najprej se dotaknimo zgodovine ustvarjanja, nato pa bomo govorili o tem, kako delati na koordinatni ravnini.
Zgodovinska referenca
Ideje o ustvarjanju koordinatnega sistema so obstajale že v času Ptolemeja. Že takrat so astronomi in matematiki razmišljali, kako bi se naučili določiti položaj točke na ravnini. Na žalost takrat še ni bilo znanega koordinatnega sistema in znanstveniki so morali uporabljati druge sisteme.
Sprva so določili točke z zemljepisno širino in dolžino. Za dolgo časa to je bil eden najpogosteje uporabljenih načinov vnosa te ali one informacije na zemljevid. Toda leta 1637 je Rene Descartes ustvaril svoj lasten koordinatni sistem, kasneje imenovan po "kartezijskem".
Že ob koncu 17. stol. Koncept "koordinatne ravnine" je postal široko uporabljen v svetu matematike. Kljub temu, da je od nastanka tega sistema minilo več stoletij, se še vedno pogosto uporablja v matematiki in celo v življenju.
Primeri koordinatne ravnine
Preden govorimo o teoriji, bomo podali nekaj vizualnih primerov koordinatne ravnine, da si jo boste lahko predstavljali. Koordinatni sistem se uporablja predvsem v šahu. Na tabli ima vsak kvadratek svoje koordinate - ena koordinata je abecedna, druga digitalna. Z njegovo pomočjo lahko določite položaj določene figure na plošči.
Drugi najbolj osupljiv primer je priljubljena igra "Battleship". Spomnite se, kako pri igranju poimenujete koordinato, na primer B3, s čimer natančno nakažete, kam ciljate. Hkrati pri postavljanju ladij določite točke na koordinatni ravnini.
Ta koordinatni sistem se pogosto uporablja ne le v matematiki, logične igre, pa tudi v vojaških zadevah, astronomiji, fiziki in številnih drugih vedah.
Koordinatne osi
Kot že rečeno, sta v koordinatnem sistemu dve osi. Pogovorimo se malo o njih, saj so zelo pomembni.
Prva os je abscisna - vodoravna. Označeno je kot ( Ox). Druga os je ordinata, ki poteka navpično skozi referenčno točko in je označena kot ( Oj). Ti dve osi tvorita koordinatni sistem, ki ravnino deli na štiri četrtine. Izvor se nahaja na presečišču teh dveh osi in ima vrednost 0 . Le če ravnino tvorita dve osi, ki se pravokotno sekata in imata referenčno točko, je ravnina koordinatna ravnina.
Upoštevajte tudi, da ima vsaka od osi svojo smer. Običajno je pri konstruiranju koordinatnega sistema smer osi običajno označena v obliki puščice. Poleg tega je pri konstruiranju koordinatne ravnine vsaka od osi podpisana.
Četrtine
Zdaj pa povejmo nekaj besed o takem konceptu kot četrtine koordinatne ravnine. Ravnina je z dvema osema razdeljena na štiri četrtine. Vsaka od njih ima svojo številko, letala pa so oštevilčena v nasprotni smeri urinega kazalca.
Vsaka od četrti ima svoje značilnosti. Torej, v prvi četrtini sta abscisa in ordinata pozitivni, v drugi četrtini je abscisa negativna, ordinata pozitivna, v tretji sta tako abscisa kot ordinata negativni, v četrti je abscisa pozitivna in ordinata negativna. .
Če si zapomnite te značilnosti, lahko enostavno ugotovite, kateri četrtini pripada določena točka. Poleg tega vam lahko te informacije koristijo, če morate računati s kartezičnim sistemom.
Delo s koordinatno ravnino
Ko smo razumeli koncept letala in govorili o njegovih četrtinah, lahko preidemo na problem, kot je delo s tem sistemom, in govorimo tudi o tem, kako nanj postaviti točke in koordinate figur. Na koordinatni ravnini to ni tako težko, kot se morda zdi na prvi pogled.
Najprej je zgrajen sam sistem, nanj so nanesene vse pomembne oznake. Nato delamo neposredno s točkami ali oblikami. Še več, tudi pri konstruiranju figur se na ravnino najprej narišejo točke, nato pa se narišejo figure.
Pravila za konstrukcijo letala
Če se odločite za označevanje oblik in točk na papirju, boste potrebovali koordinatno ravnino. Nanj so vrisane koordinate točk. Za sestavo koordinatne ravnine potrebujete le ravnilo in pisalo ali svinčnik. Najprej se nariše vodoravna os, nato se nariše navpična os. Pomembno si je zapomniti, da se osi sekata pod pravim kotom.
Naslednja obvezna točka je nanašanje oznak. Na vsaki od osi v obeh smereh so označeni in označeni segmenti enote. To se naredi tako, da lahko nato delate z letalom z največjim udobjem.
Označite točko
Zdaj pa se pogovorimo o tem, kako narisati koordinate točk na koordinatni ravnini. To so osnove, ki jih morate poznati, če želite uspešno postaviti različne oblike na ravnino in celo označiti enačbe.
Pri gradnji točk se morate spomniti, kako so pravilno zapisane njihove koordinate. Torej, običajno pri določanju točke sta v oklepaju zapisani dve številki. Prva številka označuje koordinato točke vzdolž osi abscise, druga - vzdolž ordinatne osi.
Točko je treba sestaviti na ta način. Prva oznaka na osi Ox določeno točko, nato označite točko na osi Oj. Nato iz teh oznak narišite namišljene črte in poiščite mesto, kjer se sekata - to bo dana točka.
Vse kar morate storiti je, da ga označite in podpišete. Kot lahko vidite, je vse precej preprosto in ne zahteva posebnih veščin.
Postavite figuro
Zdaj pa preidimo na vprašanje konstruiranja figur na koordinatni ravnini. Če želite sestaviti katero koli figuro na koordinatni ravnini, morate vedeti, kako na njej postaviti točke. Če veste, kako to storiti, potem postavljanje figure na letalo ni tako težko.
Najprej boste potrebovali koordinate točk figure. V skladu z njimi bomo tiste, ki ste jih izbrali, uporabili v našem koordinatnem sistemu. Razmislimo o uporabi pravokotnika, trikotnika in kroga.
Začnimo s pravokotnikom. Nanaša se zelo enostavno. Najprej so na ravnini označene štiri točke, ki označujejo vogale pravokotnika. Nato so vse točke zaporedno povezane med seboj.
Risanje trikotnika ni nič drugačno. Edina stvar je, da ima tri kote, kar pomeni, da so na ravnini označene tri točke, ki označujejo njena oglišča.
Kar zadeva krog, bi morali poznati koordinate dveh točk. Prva točka je središče kroga, druga pa točka, ki označuje njegov polmer. Ti dve točki sta narisani na ravnini. Nato vzemite šestilo in izmerite razdaljo med dvema točkama. Konico šestila postavimo na točko, ki označuje sredino, in opišemo krog.
Kot lahko vidite, tudi tukaj ni nič zapletenega, glavna stvar je, da imate vedno pri roki ravnilo in kompas.
Zdaj veste, kako narisati koordinate figur. Narediti to na koordinatni ravnini ni tako težko, kot se morda zdi na prvi pogled.
zaključki
Ogledali smo si torej enega najzanimivejših in najosnovnejših pojmov matematike, s katerimi se mora spopasti vsak šolar.
Ugotovili smo, da je koordinatna ravnina ravnina, ki jo tvori presečišče dveh osi. Z njegovo pomočjo lahko določite koordinate točk in nanjo rišete oblike. Letalo je razdeljeno na četrtine, od katerih ima vsaka svoje značilnosti.
Glavna veščina, ki jo je treba razviti pri delu s koordinatno ravnino, je sposobnost pravilnega risanja danih točk na njej. Če želite to narediti, morate poznati pravilno lokacijo osi, značilnosti četrtin in pravila, po katerih so določene koordinate točk.
Upamo, da so bile informacije, ki smo jih predstavili, dostopne in razumljive ter da so bile tudi koristne za vas in vam pomagale bolje razumeti to temo.
Kaj je koordinatna ravnina?
Izraz "koordinate" je preveden iz latinski jezik pomeni beseda "naročeno".
Recimo, da moramo označiti položaj točke na ravnini. Da bi to naredili, vzamemo 2 pravokotni ravni črti, ki ju imenujemo koordinatne osi, kjer bo X abscisna os, Y ordinatna os, izhodišče koordinat pa točka O. Pravi koti, oblikovani s koordinatnimi osmi imenujemo koordinatni koti.
Tako pridemo do definicije in zdaj vemo, da je koordinatna ravnina ravnina z danim koordinatnim sistemom.
Zdaj pa poglejmo številčenje koordinatnih kotov:
Zdaj pa prikažimo pravokotni koordinatni sistem in v njem označimo točko M.
Nato moramo narisati ravno črto skozi točko M, ki bo vzporedna z osjo Y. Zdaj pa poglejmo, kaj imamo. Kot vidimo, premica seka os X v točki, kjer bo koordinata enaka −2. Ta koordinata je abscisa točke M.
Sedaj moramo skozi točko M narisati ravno črto, ki bo vzporedna z osjo X.
Ti in jaz vidimo, da ta ravna črta seka os X v točki, katere koordinata je enaka tri. Ta koordinata bo ordinata točke M.
Zapis koordinat toka M bo videti takole:
Pri takem zapisu je abscisa vedno na prvem mestu, ordinata pa na drugem. Če upoštevamo primer koordinat točke M(-2;3), potem -2 deluje kot abscisa točke M, ordinata te točke pa bo številka 3.
Iz tega sledi, da na koordinatni ravnini vsaka točka M ustreza paru števil, kot sta njena abscisa in ordinata. Prav tako bo resnična nasprotna izjava, to je, da vsak tak par števil ustreza eni točki na ravnini, za katero so te številke koordinate.
Vaja:
Koordinatna ravnina v življenju
Ali menite, da bi lahko bilo koristno pri Vsakdanje življenje znanje o koordinatni ravnini? In ali ste že kdaj slišali besedno zvezo, kot je "pustite svoje koordinate" ali "na katerih koordinatah vas je mogoče najti"? In ali ste kdaj pomislili, kaj ti izrazi lahko pomenijo?
Izkazalo se je, da je vse zelo preprosto in banalno, kar pomeni lokacijo tega ali onega predmeta, po katerem je enostavno najti osebo ali določen kraj. Z gotovostjo lahko trdimo, da so koordinatni sistemi potrebni v praktično življenje ljudje povsod.
Tak koordinatni sistem je lahko domači naslov, telefonska številka, delovno mesto itd.
Navsezadnje tudi pri nakupu vozovnic za vlak ne poznate le njegove številke in destinacije, temveč je treba navesti tudi številko vagona in sedež.
Da greste na obisk k sošolcu, ni dovolj, da poznate samo hišo, v kateri živi, ampak morate vedeti tudi številko stanovanja.
telovadba
1. Katere informacije morate vedeti, da zasedete sedež v gledališču?
2. Katere podatke moraš imeti za določitev točk na zemeljskem površju?
3. S katerimi koordinatami lahko določimo mesto v kinu?
4. Kaj morate vedeti, da določite položaj figure na šahovnici?
5. Katere koordinate uporabljate, ko igrate pomorsko bitko?
Zgodovinska referenca
Zamisel o uporabi koordinat sega v starodavne čase. Sprva so jih astronomi začeli uporabljati za določanje nebesna telesa in geografi - določiti lokacijo in predmete na površju Zemlje.
Zahvaljujoč delom starogrškega astronoma Klavdija Plotomeja so se že v drugem stoletju znanstveniki naučili določiti zemljepisno dolžino in širino.
Ali veste, zakaj v matematiki obstaja nekaj takega kot "kartezični koordinatni sistem"? Izkazalo se je, da sta koordinatno metodo, ki ima splošno matematični pomen, odkrila francoska matematika Pierre Fermat in Rene Descartes v 17. stoletju, leta 1637 pa jo je Rene Descartes prvič opisal v knjigi o geometriji.
Toda izraze "abscisa", "ordinata" in "koordinate" je prvi uvedel Wilhelm Leibniz v sedemnajstem stoletju.
Domača naloga:
Na površini. Naj bo ena x, druga y. In naj bodo te črte medsebojno pravokotne (to je, da se sekajo pravokotno). Poleg tega bo točka njihovega presečišča izvor koordinat za obe črti in segment enote je enak (slika 1).
Torej smo dobili pravokotni koordinatni sistem, naša ravnina pa je postala koordinatna ravnina. Premici x in y pravimo koordinatni osi. Poleg tega je os x abscisna os, os y pa ordinatna os. Takšna ravnina je običajno označena z imenom osi in referenčno točko - xOy. Imenuje se tudi pravokotni koordinatni sistem Kartezični koordinatni sistem, saj ga je francoski matematik in filozof Rene Descartes prvi začel aktivno uporabljati.
Pravi koti ki jih tvorita ravni črti x in y, imenujemo koordinatnih kotov. Vsak vogal ima svojo številko, kot je prikazano na sl. 2.
Torej, ko smo govorili o koordinatni premici, je imela vsaka točka na tej premici eno koordinato. Zdaj ko govorimo o o koordinatni ravnini, potem bo vsaka točka te ravnine že imela dve koordinati. Ena ustreza premici x (ta koordinata se imenuje abscisa), druga ustreza premici y (ta koordinata se imenuje ordinata). Zapišemo ga takole: M(x;y), kjer je x abscisa in y ordinata. Beri kot: "Točka M s koordinatama x, y."
Kako določiti koordinate točke na ravnini?
Zdaj vemo, da ima vsaka točka na ravnini dve koordinati. Da bi ugotovili njegove koordinate, moramo skozi to točko narisati dve ravni črti, pravokotni na koordinatne osi. Točke presečišča teh črt s koordinatnimi osmi bodo zahtevane koordinate. Tako je na primer na sl. 3 smo ugotovili, da sta koordinati točke M 5 in 3.
Kako zgraditi točko na ravnini z njenimi koordinatami?
Zgodi se tudi, da koordinate točke na ravnini že poznamo. In najti moramo njegovo lokacijo. Recimo, da so naše koordinate točke (-2;5). To pomeni, da je abscisa enaka -2, ordinata pa 5. Vzemite točko na premici x (abscisni osi) s koordinato -2 in skozi njo narišite premico a, vzporedno z osjo y. Upoštevajte, da bo imela katera koli točka na tej premici absciso -2. Zdaj pa poiščimo točko s koordinato 5 na y premici (ordinatni osi) in skozi njo narišimo premico b, vzporedno z osjo x. Upoštevajte, da bo imela katera koli točka na tej premici ordinato enako 5. Na presečišču premic a in b bo točka s koordinatami (-2;5). Označimo ga s črko P (slika 4).
Dodajmo še, da je premica a, katere vse točke imajo absciso -2, podana z enačbo
x = -2 ali da je x = -2 enačba premice a. Zaradi udobja ne moremo reči "ravna črta, ki je podana z enačbo x = -2", ampak preprosto "ravna črta x = -2". Dejansko za vsako točko na premici a velja enakost x = -2. In premica b, katere vse točke imajo ordinato 5, je podana z enačbo y = 5 oziroma da je y = 5 enačba premice b.
