Kako rešiti stopnjo z negativnim eksponentom. Stopnja in njene lastnosti. Obsežen vodnik (2019)

Ena od glavnih značilnosti v algebri in v vsej matematiki je diploma. Seveda je v 21. stoletju vse izračune mogoče narediti na spletnem kalkulatorju, vendar je za razvoj možganov bolje, da se tega naučite narediti sami.

V tem članku bomo obravnavali najpomembnejša vprašanja v zvezi s to definicijo. Namreč, razumejmo, kaj je na splošno in katere so njegove glavne funkcije, katere lastnosti so v matematiki.

Poglejmo primere, kako izgleda izračun in kakšne so osnovne formule. Oglejmo si glavne vrste količin in kako se razlikujejo od drugih funkcij.

Razumejmo, kako rešiti različne probleme s to količino. S primeri bomo pokazali, kako dvigniti na ničelno potenco, iracionalno, negativno itd.

Spletni kalkulator stopnjevanja

Kaj je potenca števila

Kaj je mišljeno z izrazom "povečanje števila na potenco"?

Potenca števila n je zmnožek faktorjev velikosti a n-krat zapored.

Matematično je to videti takole:

a n = a * a * a * …a n .

Na primer:

• 2 3 = 2 na tretji stopnji. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 na korak. dva = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 za korak. štiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 v 5 korakih. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 v 4 korakih. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Spodaj je tabela kvadratov in kock od 1 do 10.

Tabela stopinj od 1 do 10

Spodaj so rezultati dviga naravnih števil na pozitivne potence - "od 1 do 100".

Lastnosti stopinj

Kaj je značilno za takšno matematično funkcijo? Poglejmo si osnovne lastnosti.

Znanstveniki so ugotovili naslednje znaki, značilni za vse stopnje:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Preverimo s primeri:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Po drugi strani pa je 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Podobno: 2 3 : 2 2 = 8 / 4 =2. V nasprotnem primeru je 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Kaj pa, če je drugače? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kot lahko vidite, pravila delujejo.

Ampak kaj pa s seštevanjem in odštevanjem? Enostavno je. Najprej se izvede potenciranje, nato pa seštevanje in odštevanje.

Poglejmo primere:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Upoštevajte: pravilo ne bo držalo, če najprej odštejete: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Toda v tem primeru morate najprej izračunati dodatek, saj so v oklepajih dejanja: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvajati izračuni v zahtevnejših primerih? Vrstni red je enak:

• če obstajajo oklepaji, morate začeti z njimi;
• nato potenciranje;
• nato izvajajo operaciji množenje in deljenje;
• po seštevanju, odštevanju.

Obstajajo posebne lastnosti, ki niso značilne za vse stopnje:

1. Koren n števila a do stopnje m bo zapisan kot: a m / n.
2. Pri dvigovanju ulomka na potenco: temu postopku veljata tako števec kot njegov imenovalec.
3. Ko zmnožek različnih števil dvignemo na potenco, bo izraz ustrezal zmnožku teh števil na dano potenco. To je: (a * b) n = a n * b n.
4. Ko dvignete število na negativno potenco, morate 1 deliti s številom v istem stoletju, vendar z znakom "+".
5. Če je imenovalec ulomka na negativno potenco, potem je ta izraz enak produktu števca in imenovalca na pozitivno potenco.
6. Poljubno število na potenco 0 = 1 in na potenco. 1 = sebi.

Ta pravila so v nekaterih primerih pomembna; v nadaljevanju jih bomo podrobneje obravnavali.

Stopnja z negativnim eksponentom

Kaj storiti z minus stopinjo, tj. ko je indikator negativen?

Na podlagi lastnosti 4 in 5(glej točko zgoraj), Izkazalo se je:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

In obratno:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Kaj pa če je ulomek?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stopnja z naravnim indikatorjem

Razume se kot stopnja z eksponenti, ki so enaki celim številom.

Stvari, ki si jih morate zapomniti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... itd.

Poleg tega, če je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2 ... potem bo rezultat z znakom "+". Če negativno število dvignemo na liho potenco, potem obratno.

Zanje so značilne tudi splošne lastnosti in vse zgoraj opisane posebnosti.

Delna stopnja

To vrsto lahko zapišemo kot shemo: A m / n. Beri kot: n-ti koren števila A na potenco m.

Z delnim indikatorjem lahko počnete, kar želite: zmanjšate ga, razdelite na dele, dvignete na drugo moč itd.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Naj bo α iracionalno število in A ˃ 0.

Da bi razumeli bistvo diplome s takim indikatorjem, Poglejmo različne možne primere:

• A = 1. Rezultat bo enak 1. Ker obstaja aksiom - 1 v vseh potencah je enako ena;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalna števila;

• 0˂A˂1.

V tem primeru je obratno: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod enakimi pogoji kot v drugem odstavku.

Na primer, eksponent je število π. To je racionalno.

r 1 – v tem primeru je enako 3;

r 2 – bo enako 4.

Potem je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, nato 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, potem (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Za takšne stopnje so značilne vse zgoraj opisane matematične operacije in specifične lastnosti.

Zaključek

Povzemimo - za kaj so potrebne te količine, kakšne so prednosti takšnih funkcij? Seveda v prvi vrsti poenostavljajo življenje matematikov in programerjev pri reševanju primerov, saj jim omogočajo minimiziranje izračunov, skrajšanje algoritmov, sistematizacijo podatkov in še veliko več.

Kje drugje je lahko to znanje koristno? Na katerikoli delovna specialnost: medicina, farmakologija, zobozdravstvo, gradbeništvo, tehnologija, inženiring, oblikovanje itd.

Dvigovanje na negativno potenco je eden od osnovnih elementov matematike in ga pogosto srečamo pri reševanju algebrskih problemov. Spodaj so podrobna navodila.

Kako dvigniti na negativno potenco - teorija

Ko število dvignemo na navadno potenco, njegovo vrednost večkrat pomnožimo. Na primer, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Pri negativnem ulomku je ravno nasprotno. Splošni obrazec po formuli bo videti takole: a -n = 1/a n. Torej, če želite povečati število na negativno potenco, morate eno deliti s dano številko, vendar v pozitivni meri.

Kako dvigniti na negativno potenco - primeri navadnih števil

Ob upoštevanju zgornjega pravila rešimo nekaj primerov.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 = 1/16.

Toda zakaj sta odgovora v prvem in drugem primeru enaka? Dejstvo je, da ko negativno število povišamo na sodo potenco (2, 4, 6 itd.), postane predznak pozitiven. Če bi bila stopinja soda, bi minus ostal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako dvigniti števila od 0 do 1 na negativno potenco

Spomnimo se, da pri dvigovanju števila v območju od 0 do 1 in pozitivna stopnja, vrednost pada z naraščanjem stopnje. Tako je na primer 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rešitev: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (zaporedje dejanj):

• Pretvorite decimalni ulomek 0,5 v ulomek 1/2. Tako je lažje.
  Dvignite 1/2 na negativno potenco. 1/(2) -2 . Če 1 delimo z 1/(2) 2, dobimo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rešitev: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rešitev: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na podlagi 4. in 5. primera lahko potegnemo več zaključkov:

• Za pozitivno število v območju od 0 do 1 (primer 4), povišano na negativno potenco, ni pomembno, ali je potenca soda ali liha, vrednost izraza bo pozitivna. Poleg tega višja kot je stopnja, večja je vrednost.
• Za negativno število v območju od 0 do 1 (primer 5), povišano na negativno potenco, ni pomembno, ali je potenca soda ali liha, vrednost izraza bo negativna. V tem primeru višja kot je stopnja, nižja je vrednost.

Kako dvigniti na negativno potenco - potenco v obliki ulomka

Izrazi te vrste imajo naslednjo obliko: a -m/n, kjer je a navadno število, m je števec stopnje, n je imenovalec stopnje.

Poglejmo primer:
Izračunaj: 8 -1/3

Rešitev (zaporedje dejanj):

• Spomnimo se pravila dvigovanja števila na negativno potenco. Dobimo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Upoštevajte, da je imenovalec število 8 na ulomek. Splošna oblika izračuna frakcijske potence je naslednja: a m/n = n √8 m.
• Tako je 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobimo kubični koren iz osem, ki je enak 2. Od tod je 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odgovor: 8 -1/3 = 2

Lekcija in predstavitev na temo: "Eksponent z negativnim eksponentom. Definicija in primeri reševanja problemov"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 8. razred
Priročnik za učbenik Muravin G.K.    Priročnik za učbenik Alimov Sh.A.

Določitev stopnje z negativnim eksponentom

Dobro vemo, da je vsako število na ničelno potenco enako ena. $a^0=1$, $a≠0$.
Postavlja se vprašanje, kaj se zgodi, če število dvignemo na negativno potenco? Na primer, čemu bo enako število $2^(-2)$?
Prvi matematiki, ki so zastavili to vprašanje, so se odločili, da nima smisla znova izumljati kolesa in da je dobro, da so vse lastnosti stopinj ostale enake. To pomeni, da se pri množenju potenc z isto osnovo eksponenti seštevajo.
Poglejmo ta primer: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Ugotovili smo, da mora produkt takšnih števil dati ena. Enota v produktu se dobi z množenjem recipročnih števil, to je $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Takšno razmišljanje je vodilo do naslednje definicije.
Opredelitev. Če $n$ – naravno število in $a≠0$, potem velja enakost: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Pomembna identiteta, ki se pogosto uporablja, je: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Zlasti $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Primeri rešitev

rešitev.
Razmislimo o vsakem izrazu posebej.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Ostaja še izvajanje operacij seštevanja in odštevanja: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4) $.
Odgovor: $6\frac(1)(4)$.

Primer 2.
Predstavite dano število kot potenco praštevilo$\frac(1)(729)$.

rešitev.
Očitno je $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Vendar 729 ni praštevilo, ki se konča na 9. Lahko se domneva, da je to število tri. Dosledno delite 729 s 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Izvedenih je bilo šest operacij, kar pomeni: $729=3^6$.
Za našo nalogo:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Odgovor: $3^(-6)$.

Primer 3. Izraz izrazite kot potenco: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
rešitev. Prvo dejanje se vedno izvede znotraj oklepajev, nato pa množenje $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Odgovor: $a$.

Primer 4. Dokažite istovetnost:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

rešitev.
Na levi strani obravnavamo vsak faktor v oklepaju posebej.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Preidimo na ulomek, s katerim delimo.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Naredimo delitev.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Dobili smo pravo identiteto, kar smo morali tudi dokazati.

Na koncu lekcije bomo še enkrat zapisali pravila za delo s potencami, tu je eksponent celo število.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

Formule stopnje uporablja v procesu zmanjševanja in poenostavljanja kompleksnih izrazov, pri reševanju enačb in neenačb.

številka c je n-ta potenca števila a Kdaj:

Operacije s stopinjami.

1. Z množenjem stopinj z isto osnovo se dodajo njihovi indikatorji:

a m·a n = a m + n .

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo:

3. Moč zmnožka 2 oz več multiplikatorji je enak produktu moči teh faktorjev:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stopnja ulomki je enako razmerju potenc dividende in delitelja:

(a/b) n = a n /b n.

5. Povečanje moči na moč, se eksponenti pomnožijo:

(a m) n = a m n.

Vsaka zgornja formula velja v smeri od leve proti desni in obratno.

Na primer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s koreninami.

1. Koren zmnožka več faktorjev je enak delo korenine teh dejavnikov:

2. Koren razmerja je enak razmerju dividende in delitelja korenin:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da dvignete radikalno število na to potenco:

4. Če povečate stopnjo korenine v n enkrat in hkrati vgraditi v n th potenca je radikalno število, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate stopnjo korenine v n hkrati izvlecite korenino n-ta potenca radikalnega števila, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim eksponentom. Potenca določenega števila z nepozitivnim (celim) eksponentom je opredeljena kot ena, deljena s potenco istega števila z eksponentom, ki je enak absolutna vrednost nepozitiven indikator:

Formula a m:a n =a m - n se lahko uporablja ne le za m> n, ampak tudi z m< n.

Na primer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulo a m:a n =a m - n postalo pošteno, ko m=n, je potrebna prisotnost ničelne stopnje.

Diploma z ničelnim indeksom. Moč katerega koli števila, ne enako nič, pri čemer je eksponent nič enak ena.

Na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Zgraditi realno število A do stopnje m/n, morate izvleči koren n th stopnjo m-ta potenca tega števila A.