Matematika je znanost, ki gradi svet. Tako znanstvenik kot navaden človek – nihče ne more brez tega. Majhne otroke najprej učijo šteti, nato pa seštevati, odštevati, množiti in deliti Srednja šola V poštev pridejo črkovne oznake, brez katerih v starejši igri ne gre.

Toda danes bomo govorili o tem, na čem temelji vsa znana matematika. O skupnosti števil, imenovani »meje zaporedja«.

Kaj so zaporedja in kje je njihova meja?

Pomena besede "zaporedje" ni težko razložiti. To je razporeditev stvari, kjer se nekdo ali nekaj nahaja v določenem vrstnem redu ali čakalni vrsti. Na primer, čakalna vrsta za vstopnice v živalski vrt je zaporedje. In lahko je samo eden! Če na primer pogledate vrsto v trgovini, je to eno zaporedje. In če ena oseba iz te vrste nenadoma odide, potem je to druga vrsta, drug vrstni red.

Besedo "meja" je tudi enostavno razlagati - to je konec nečesa. Vendar pa so v matematiki meje zaporedij tiste vrednosti na številski premici, h katerim teži zaporedje števil. Zakaj stremi in se ne konča? Preprosto je, številska premica nima konca in večina zaporedij, tako kot žarki, ima samo začetek in je videti takole:

x 1, x 2, x 3,...x n...

Zato je definicija zaporedja funkcija naravnega argumenta. več s preprostimi besedami je serija članov določene množice.

Kako je zgrajeno številsko zaporedje?

Najenostavnejši primer številčno zaporedje lahko izgleda takole: 1, 2, 3, 4, …n…

V večini primerov so za praktične namene zaporedja zgrajena iz številk in vsak naslednji član niza, označimo ga z X, ima svoje ime. Na primer:

x 1 je prvi člen zaporedja;

x 2 je drugi člen zaporedja;

x 3 je tretji člen;

x n je n-ti člen.

V praktičnih metodah je zaporedje podano s splošno formulo, v kateri je določena spremenljivka. Na primer:

X n =3n, potem bo sama serija številk izgledala takole:

Ne smemo pozabiti, da pri pisanju zaporedij na splošno lahko uporabite katere koli latinične črke, ne samo X. Na primer: y, z, k itd.

Aritmetična progresija kot del zaporedij

Preden iščemo meje zaporedij, je priporočljivo, da se poglobimo v sam koncept takšnega številskega niza, s katerim se je vsak srečal, ko je bil v srednji šoli. Aritmetična progresija je vrsta števil, v kateri je razlika med sosednjimi členi konstantna.

Problem: »Naj je a 1 = 15 in korak napredovanja številske serije d = 4. Sestavite prve 4 člene te serije"

Rešitev: a 1 = 15 (po pogoju) je prvi člen progresije (številske serije).

in 2 = 15+4=19 je drugi člen napredovanja.

in 3 =19+4=23 je tretji člen.

in 4 =23+4=27 je četrti člen.

Vendar je s to metodo težko doseči velike vrednosti, na primer do 125. . Posebej za take primere je bila izpeljana formula, primerna za prakso: a n =a 1 +d(n-1). V tem primeru je 125 =15+4(125-1)=511.

Vrste sekvenc

Večina sekvenc je neskončnih, vredno si jih je zapomniti do konca življenja. Obstajata dve zanimivi vrsti številskih nizov. Prvi je podan s formulo a n =(-1) n. Matematiki to zaporedje pogosto imenujejo bliskavica. Zakaj? Preverimo njegovo številčno serijo.

1, 1, -1, 1, -1, 1 itd. S takšnim primerom postane jasno, da je mogoče številke v zaporedju zlahka ponoviti.

Faktorsko zaporedje. Lahko je uganiti - formula, ki definira zaporedje, vsebuje faktorial. Na primer: a n = (n+1)!

Potem bo zaporedje videti takole:

a 2 = 1x2x3 = 6;

in 3 = 1x2x3x4 = 24 itd.

Podano zaporedje aritmetična progresija, se imenuje neskončno padajoča, če je neenakost -1 upoštevana za vse njene člene

in 3 = - 1/8 itd.

Obstaja celo zaporedje, sestavljeno iz iste številke. Torej je n = 6 sestavljeno iz neskončnega števila šestic.

Določanje meje zaporedja

Omejitve zaporedja že dolgo obstajajo v matematiki. Seveda si zaslužijo svoj kompetenten dizajn. Torej, čas je, da se naučite definicije omejitev zaporedja. Najprej si podrobno oglejmo mejo za linearno funkcijo:

1. Vse omejitve so okrajšane kot lim.
2. Zapis limite je sestavljen iz okrajšave lim, katere koli spremenljivke, ki teži k določenemu številu, ničli ali neskončnosti, pa tudi same funkcije.

Lahko je razumeti, da je definicijo meje zaporedja mogoče formulirati na naslednji način: to je določeno število, ki se mu vsi člani zaporedja neskončno približujejo. Preprost primer: a x = 4x+1. Potem bo samo zaporedje videti takole.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Tako bo to zaporedje naraščalo v nedogled, kar pomeni, da je njegova meja enaka neskončnosti pri x→∞, zapisati pa ga je treba takole:

Če vzamemo podobno zaporedje, vendar se x nagiba k 1, dobimo:

In niz številk bo takšen: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 itd. Vsakič, ko morate številko zamenjati bližje eni (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Iz te serije je razvidno, da je limita funkcije pet.

Iz tega dela si velja zapomniti, kaj je meja številskega zaporedja, definicijo in način reševanja preprostih problemov.

Splošna oznaka za mejo zaporedij

Ko ste preučili mejo številskega zaporedja, njegovo definicijo in primere, lahko nadaljujete na bolj zapleteno temo. Absolutno vse meje zaporedij je mogoče oblikovati z eno formulo, ki se običajno analizira v prvem semestru.

Torej, kaj pomeni ta niz črk, modulov in znakov neenakosti?

∀ je univerzalni kvantifikator, ki nadomešča fraze »za vse«, »za vse« itd.

∃ je eksistencialni kvantifikator, v tem primeru pomeni, da obstaja neka vrednost N, ki pripada množici naravnih števil.

Dolga navpična palica za N pomeni, da je dana množica N "takšna, da." V praksi lahko pomeni "tako to", "tako to" itd.

Za utrjevanje snovi glasno preberite formulo.

Negotovost in gotovost meje

Metoda iskanja meje zaporedij, o kateri smo govorili zgoraj, čeprav je enostavna za uporabo, v praksi ni tako racionalna. Poskusite najti omejitev za to funkcijo:

Če zamenjamo različne vrednosti "x" (vsakič povečamo: 10, 100, 1000 itd.), potem dobimo ∞ v števcu, a tudi ∞ v imenovalcu. Posledica tega je precej nenavaden ulomek:

Toda ali je res tako? Izračun meje številskega zaporedja se v tem primeru zdi precej enostaven. Vse bi bilo mogoče pustiti tako, kot je, ker je odgovor pripravljen in je bil prejet pod razumnimi pogoji, vendar obstaja še en način posebej za takšne primere.

Najprej poiščimo najvišjo stopnjo v števcu ulomka - to je 1, saj je x lahko predstavljen kot x 1.

Zdaj pa poiščimo najvišjo stopnjo v imenovalcu. Tudi 1.

Tako števec kot imenovalec delimo s spremenljivko na najvišjo stopnjo. V tem primeru delite ulomek z x 1.

Nato bomo ugotovili, h kateri vrednosti teži vsak izraz, ki vsebuje spremenljivko. V tem primeru se upoštevajo ulomki. Ko je x→∞, se vrednost vsakega ulomka nagiba k ničli. Ko pisno oddate svoje delo, naredite naslednje opombe:

Posledica tega je naslednji izraz:

Seveda ulomki, ki vsebujejo x, niso postali ničle! Toda njihova vrednost je tako majhna, da je povsem dopustno, da je ne upoštevamo pri izračunih. Pravzaprav x v tem primeru nikoli ne bo enak 0, ker ne morete deliti z nič.

Kaj je soseska?

Recimo, da ima profesor na razpolago zapleteno zaporedje, ki je očitno podano s prav tako zapleteno formulo. Profesor je našel odgovor, ampak ali je pravi? Navsezadnje vsi ljudje delamo napake.

Auguste Cauchy se je nekoč domislil odličnega načina za dokazovanje meja zaporedij. Njegova metoda se je imenovala sosedska manipulacija.

Recimo, da obstaja določena točka a, njena soseska v obeh smereh na številski premici je enaka ε ("epsilon"). Ker je zadnja spremenljivka razdalja, je njena vrednost vedno pozitivna.

Sedaj pa definirajmo neko zaporedje x n in predpostavimo, da je deseti člen zaporedja (x 10) v bližini a. Kako lahko to dejstvo zapišemo v matematični jezik?

Recimo, da je x 10 desno od točke a, potem je razdalja x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Zdaj je čas, da v praksi razložimo zgoraj omenjeno formulo. Pravično je, da določeno število imenujemo končna točka zaporedja, če je za katero koli njegovo mejo izpolnjena neenakost ε>0 in ima celotna soseska svoje naravno število N, tako da so vsi člani zaporedja z višjimi številkami bo znotraj zaporedja |x n - a|< ε.

S takim znanjem je enostavno rešiti meje zaporedja, dokazati ali ovreči že pripravljen odgovor.

Izreki

Izreki o limitih zaporedij so pomembna sestavina teorije, brez katere praksa ni mogoča. Obstajajo le štirje glavni izreki, če si jih zapomnite, lahko olajšate rešitev ali dokaz:

1. Edinstvenost limita zaporedja. Vsako zaporedje ima lahko samo eno omejitev ali pa nobene. Isti primer s čakalno vrsto, ki ima lahko samo en konec.
2. Če ima niz števil omejitev, je zaporedje teh števil omejeno.
3. Limita vsote (razlike, produkta) zaporedij je enaka vsoti (razliki, produktu) njihovih limitov.
4. Limita kvocienta deljenja dveh zaporedij je enaka kvocientu limitov, če in samo, če imenovalec ne izniči.

Dokaz zaporedij

Včasih morate rešiti inverzni problem, da dokažete dano mejo številskega zaporedja. Poglejmo si primer.

Dokažite, da je limita zaporedja, podanega s formulo, nič.

V skladu z zgoraj obravnavanim pravilom za vsako zaporedje velja neenakost |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Izrazimo n skozi "epsilon", da pokažemo obstoj določenega števila in dokažemo prisotnost meje zaporedja.

Na tej točki si je pomembno zapomniti, da sta "epsilon" in "en" pozitivni števili in nista enaki nič. Sedaj je mogoče nadaljevati z nadaljnjimi transformacijami z uporabo znanja o neenakostih, pridobljenega v srednji šoli.

Kako se izkaže, da je n > -3 + 1/ε. Ker velja spomniti, da govorimo o naravnih številih, lahko rezultat zaokrožimo tako, da ga damo v oglate oklepaje. Tako je bilo dokazano, da je za vsako vrednost »epsilon« okolice točke a = 0 najdena taka vrednost, da je začetna neenakost izpolnjena. Od tod lahko mirno rečemo, da je število a meja danega zaporedja. Q.E.D.

To priročno metodo je mogoče uporabiti za dokazovanje meje številskega zaporedja, ne glede na to, kako zapleteno je na prvi pogled. Glavna stvar je, da ne paničite, ko vidite nalogo.

Ali pa ga morda ni?

Obstoj meje skladnosti v praksi ni potreben. Z lahkoto lahko naletite na nize številk, ki jim res ni konca. Na primer, ista "utripajoča luč" x n = (-1) n. očitno je, da zaporedje, sestavljeno samo iz dveh števk, ki se ciklično ponavljata, ne more imeti meje.

Ista zgodba se ponavlja z zaporedji, sestavljenimi iz enega števila, ulomkov, ki imajo med izračuni negotovost poljubnega reda (0/0, ∞/∞, ∞/0 itd.). Vendar ne smemo pozabiti, da pride tudi do napačnih izračunov. Včasih vam bo dvakratno preverjanje lastne rešitve pomagalo najti mejo zaporedja.

Monotono zaporedje

Zgoraj je bilo obravnavanih več primerov zaporedij in metod za njihovo reševanje, zdaj pa poskusimo vzeti bolj specifičen primer in ga poimenovati "monotono zaporedje".

Definicija: vsako zaporedje lahko upravičeno imenujemo monotono naraščajoče, če zanj velja stroga neenakost x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Poleg teh dveh pogojev obstajajo tudi podobne nestroge neenakosti. V skladu s tem je x n ≤ x n +1 (nepadajoče zaporedje) in x n ≥ x n +1 (nenaraščujoče zaporedje).

Vendar je to lažje razumeti s primeri.

Zaporedje, podano s formulo x n = 2+n, tvori naslednjo vrsto števil: 4, 5, 6 itd. To je monotono naraščajoče zaporedje.

In če vzamemo x n =1/n, dobimo vrsto: 1/3, ¼, 1/5 itd. To je monotono padajoče zaporedje.

Limit konvergentnega in omejenega zaporedja

Omejeno zaporedje je zaporedje, ki ima mejo. Konvergentno zaporedje je niz števil, ki ima infinitezimalno mejo.

Tako je meja omejenega zaporedja vsako realno ali kompleksno število. Ne pozabite, da je lahko samo ena omejitev.

Limita konvergentnega zaporedja je infinitezimalna (realna ali kompleksna) količina. Če narišete diagram zaporedja, se bo na določeni točki zdelo, da konvergira, teži k temu, da se spremeni v določeno vrednost. Od tod tudi ime - konvergentno zaporedje.

Meja monotonega zaporedja

Za takšno zaporedje lahko obstaja omejitev ali pa ne. Najprej je koristno razumeti, kdaj obstaja; od tu lahko začnete pri dokazovanju neobstoja meje.

Med monotonimi zaporedji ločimo konvergentna in divergentna. Konvergentno je zaporedje, ki ga tvori množica x in ima v tej množici realno ali kompleksno mejo. Divergentno je zaporedje, ki nima omejitve v svojem nizu (niti realnega niti kompleksnega).

Poleg tega zaporedje konvergira, če se v geometrijski predstavitvi konvergirata njegova zgornja in spodnja meja.

Meja konvergentnega zaporedja je lahko v mnogih primerih enaka nič, saj ima vsako infinitezimalno zaporedje znano mejo (nič).

Ne glede na to, katero konvergentno zaporedje vzamete, so vsa omejena, vendar vsa omejena zaporedja ne konvergirajo.

Vsota, razlika, produkt dveh konvergentnih zaporedij je tudi konvergentno zaporedje. Kvocient pa je lahko tudi konvergenten, če je definiran!

Različne akcije z omejitvami

Omejitve zaporedja so pomembne (v večini primerov) kot števke in številke: 1, 2, 15, 24, 362 itd. Izkazalo se je, da je mogoče nekatere operacije izvajati z omejitvami.

Prvič, tako kot števke in številke je mogoče meje katerega koli zaporedja seštevati in odštevati. Na podlagi tretjega izreka o limitih zaporedij velja enakost: limita vsote zaporedij je enaka vsoti njihovih limitov.

Drugič, na podlagi četrtega izreka o limitih zaporedij velja naslednja enakost: limita produkta n-tega števila zaporedij je enaka produktu njihovih limitov. Enako velja za deljenje: limita količnika dveh zaporedij je enaka kvocientu njunih limitov, če limita ni nič. Konec koncev, če je meja zaporedij enaka nič, bo rezultat deljenje z nič, kar je nemogoče.

Lastnosti zaporednih količin

Zdi se, da je bila meja številskega zaporedja že podrobno obravnavana, vendar so fraze, kot so "neskončno majhna" in "neskončno velika" števila, omenjene večkrat. Očitno je, da če obstaja zaporedje 1/x, kjer je x→∞, potem je tak ulomek neskončno majhen, in če isto zaporedje, vendar meja teži k nič (x→0), potem ulomek postane neskončno velika vrednost. In takšne količine imajo svoje značilnosti. Lastnosti meje zaporedja, ki ima poljubne majhne ali velike vrednosti, so naslednje:

1. Tudi vsota poljubnega števila poljubnega števila majhnih količin bo majhna količina.
2. Vsota poljubnega števila velikih količin bo neskončno velika količina.
3. Produkt poljubno majhnih količin je neskončno majhen.
4. Produkt poljubnega števila velikih števil je neskončno velik.
5. Če izvirno zaporedje teži k neskončno velikemu številu, bo njegov inverz neskončno majhen in teži k ničli.

Pravzaprav izračun meje zaporedja ni tako težka naloga, če poznate preprost algoritem. Toda meje doslednosti so tema, ki zahteva maksimalno pozornost in vztrajnost. Seveda je dovolj, da preprosto dojamemo bistvo rešitve takih izrazov. Če začnete z majhnimi, lahko sčasoma dosežete velike višine.

Omejitev

OMEJITEV-A; m.

1. Edge, zadnji del nečesa. P. polja, gozdovi. Stepa se širi brez konca in konca. Zdi se, da puščava nima meja. P. življenje(smrt, smrt).

2. običajno množina: meje, -s. Naravna ali konvencionalna značilnost, ki je meja nečesa. ozemlja; meja Razširite meje zemljišča. Znajdi se zunaj države, domovine. Nisem potoval izven svoje države. // kaj ali kaj. Teren, prostor, zaprt v koga. meje. Gozd, zavarovana območja. Omejeno s sobo. Nahaja se v mestu ali regiji. // Trad.-pesnik. Regija, država. Zapustite domače meje. Uničiti meje drugih ljudi. Nekdo od daleč.

3. samo enote Razg. Usoda, usoda, usoda. Tako je bilo zanj – umreti v tuji deželi. Očitno sem upravičen do take klavzule.

4. običajno množina: meje, -s. Obroba, okvir česa sprejet, uveljavljen, dovoljen. Presegajte tisto, kar je sprejemljivo. Pojdi preko meja. Meje moči. Omejitve komercialnih poslov. Držite se meja spodobnosti. Postavite, postavite p. na kaj.(ustaviti, prekiniti kaj.).

5. Zadnja, skrajna stopnja česa. Zadnja, skrajna točka. P. potrpežljivost, krutost. Doseči mejo revščine. Ogorčenje je doseglo najvišjo mejo. Vse ima p. Moja hvaležnost ni meja. Materinska ljubezen ne pozna meja. Moč ljudi je bila na meji. P. sanje, sreča, želje. P. popolnost. // Specialist. Kritična točka, ki označuje možnost manifestacije nečesa. lastnosti, lastnosti. P. moč. P. vzdržljivost. P. elastičnost.

6. Optimalna mera, norma česa. P. temperatura tališča. P. življenje dreves. P. hitrost.

7. matematika Konstantna količina, ki se ji približuje spremenljiva količina, odvisno od druge spremenljive količine, z določeno spremembo slednje. P. številčno zaporedje. Koncept meje. Teorija meja.

◁ Na meji.

JAZ. v znaku. adv. V ekstremni napetosti. Delajte do konca.

II. v funkciji pravljica Zelo draži. kdor koli na meji. Živci do konca.

zaporedja realnih števil a 1 , a 2 , ..., a n, ..., številka Aa n zaporedij z dovolj velikim številom n razlikujejo od A kolikor želite (vnos: ). Na primer, meja zaporedja . Nima vsako zaporedje omejitev. Za funkcijo f(X) omejitev pri X, ki si prizadeva za X 0, se imenuje ta številka A, Kaj f(X A pri X, dovolj blizu X 0 (zapis). Teorija mej je osnova matematične analize.

MEJA zaporedja realnih števil a 1 , a 2 , ..., a n, ..., število a, ki ima lastnost, da vsi pogoji a n zaporedij z precej veliko število n razlikujejo od a kolikor hočeš (zapis:). Na primer omejitev zaporedja
Nima vsako zaporedje omejitev. Za funkcijo f( x) omejitev pri X, ki si prizadeva za X 0 imenujemo takšno število A, da f( x) se malo razlikuje od A pri X, dovolj blizu X 0 (vnos:). Teorija mej je osnova matematične analize.

enciklopedični slovar. 2009 .

Oglejte si, kaj je "meja" v drugih slovarjih:

MEJA, meja, mož. (knjiga). 1. samo množina Meja, črta, ki deli dežele in države med seboj; meja Pojdi izven mesta. Na zemljevidu označite meje območja. || Teren, prostor, zaprt v neke meje;... ... Razlagalni slovar Ušakova

Objekt, ki predstavlja namišljeno ali realno mejo za drug objekt. V matematični analizi glejte Limit (matematika), kot tudi: Limit zaporedja Limit funkcije Limit kategorije Delna meja Projektivna meja Banach ... ... Wikipedia

Glej apogej, meja preseganja meja dovoljenega, ne preseganje meja spodobnosti, nepoznavanje meje, postavljanje meje ... Slovar ruskih sinonimov in podobnih izrazov. Spodaj. izd. N. Abramova, M.: Ruski slovarji, 1999.… … Slovar sinonimov

Mož. začetek ali konec, konec, meja, rob, odsek, rob, meja ali meja; konec enega in začetek drugega, v materialnem in duhovnem smislu. Meje države, meje, meje. Meja morja, obale; kopna meja, voda. Meja življenja je smrt. Omejitev...... Dahlov razlagalni slovar

Zaporedja realnih števil a1 a2, ..., an, ..., število a z lastnostjo, da se vsi členi an zaporedja z dovolj velikim številom n razlikujejo od a kolikor želimo (zapis:). Na primer, meja zaporedja Ne vsak... ... Veliki enciklopedični slovar

MEJA, v matematiki vrednost ali vrednosti, ki se jim približujejo vrednosti zaporednih nizov števil. Meja matematične NIZE je vrednost, ki se ji približuje vsota, katere vrednost je tem večja, čim več števil je v njej.… … Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar

Omejitev- MEJA, konstantno število, ki se mu neomejeno približuje vrednost spremenljivke med nekim procesom njenega spreminjanja. Najenostavnejši koncept je limita številskega zaporedja a1, a2, ..., an, ... števila a, ki ima lastnost, da... ... Ilustrirani enciklopedični slovar

MEJA, ah, mož. 1. Prostorska ali časovna meja česa; tisto, kar omejuje kaj n. Zunaj države. V tekočem letu. 2. Zadnji, skrajni rob, stopnja česa. P. popolnost. P. hitrost. P. moč. P.… … Razlagalni slovar Ozhegov

Glej trenutno V.V. Vinogradov. Zgodovina slov., 2010 ... Zgodovina slov

Obstaja meja, ne smeš je prestopiti. Knjiga Zastarelo O črti, ki je ni mogoče prestopiti. /i> Vrača se k cerkvenoslovanskemu besedilu Svetega pisma. BMS 1998, 471 ... Velik slovar ruskih izrekov

Teorija meja- eden od razdelkov matematične analize, ki ga nekateri obvladajo, drugi pa težko izračunajo meje. Vprašanje iskanja meja je precej splošno, saj obstaja na desetine tehnik meje raztopine različne vrste. Iste meje je mogoče najti z uporabo L'Hopitalovega pravila in brez njega. Zgodi se, da vam načrtovanje niza neskončno majhnih funkcij omogoča hitro doseganje želenega rezultata. Obstaja nabor tehnik in trikov, ki vam omogočajo, da najdete mejo funkcije katere koli kompleksnosti. V tem članku bomo poskušali razumeti glavne vrste omejitev, ki se najpogosteje srečujejo v praksi. Tukaj ne bomo dajali teorije in definicije meje; na internetu je veliko virov, kjer se o tem razpravlja. Torej, pojdimo k praktičnim izračunom, tukaj je vaš "Ne vem! Ne morem! Niso nas učili!"

Izračun limitov z metodo substitucije

Primer 1. Poiščite limit funkcije
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rešitev: Primere te vrste je mogoče teoretično izračunati z običajno zamenjavo

Omejitev je 18/11.
Pri takšnih mejah ni nič zapletenega in pametnega - zamenjali smo vrednost, jo izračunali in kot odgovor zapisali mejo. Toda na podlagi takšnih omejitev je vsak naučen, da je treba najprej vrednost nadomestiti v funkcijo. Nadalje postanejo meje bolj zapletene, uvedejo koncept neskončnosti, negotovosti in podobno.

Meja z negotovostjo, kot je neskončnost, deljena z neskončnostjo. Tehnike razkrivanja negotovosti

Primer 2. Poiščite limit funkcije
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=neskončnost).
Rešitev: Podana je meja polinoma oblike, deljena s polinomom, spremenljivka pa teži v neskončnost

Preprosta zamenjava vrednosti, do katere je treba najti spremenljivko, da bi našli meje, ne bo pomagala, dobimo negotovost oblike neskončnost deljeno z neskončnostjo.
V skladu s teorijo meja je algoritem za izračun meje iskanje največje potence »x« v števcu ali imenovalcu. Nato sta števec in imenovalec poenostavljena na to in najdena je limita funkcije

Ker se vrednost nagiba k ničli, ko se spremenljivka približa neskončnosti, jih zanemarimo ali zapišemo v končni izraz v obliki ničel.

Takoj iz prakse lahko dobite dva zaključka, ki sta namig v izračunih. Če se spremenljivka nagiba k neskončnosti in je stopnja števca večja od stopnje imenovalca, potem je meja enaka neskončnosti. V nasprotnem primeru, če je polinom v imenovalcu višjega reda kot v števcu, je meja enaka nič.
Mejo lahko zapišemo v formulah, kot je ta:

Če imamo funkcijo oblike navadnega polja brez ulomkov, potem je njena meja enaka neskončnosti

Naslednja vrsta omejitev se nanaša na obnašanje funkcij blizu ničle.

Primer 3. Poiščite limit funkcije
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Rešitev: Tukaj ni treba odstraniti vodilnega faktorja polinoma. Ravno nasprotno, poiskati morate najmanjšo potenco števca in imenovalca ter izračunati mejo

Vrednost x^2; x težijo k nič, ko spremenljivka teži k nič. Zato so zanemarjeni, zato dobimo

da je meja 2,5.

Zdaj veš kako najti limit funkcije oblike deli polinom s polinomom, če se spremenljivka nagiba k neskončnosti ali 0. Toda to je le majhen in enostaven del primerov. Iz naslednjega gradiva se boste naučili kako odkriti negotovosti v mejah funkcije.

Meja z negotovostjo tipa 0/0 in metode za njen izračun

Vsi se takoj spomnijo pravila, da ne morete deliti z nič. Vendar pa teorija limitov v tem kontekstu implicira infinitezimalne funkcije.
Za jasnost si poglejmo nekaj primerov.

Primer 4. Poiščite limit funkcije
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rešitev: Ko zamenjamo vrednost spremenljivke x = -1 v imenovalec, dobimo nič, enako dobimo v števcu. Torej imamo negotovost oblike 0/0.
Ukvarjanje s takšno negotovostjo je preprosto: polinom morate faktorizirati oziroma izbrati faktor, ki funkcijo spremeni v nič.

Po razširitvi lahko limit funkcije zapišemo kot

To je celotna metoda za izračun limita funkcije. Enako storimo, če obstaja limita polinoma oblike, deljenega s polinomom.

Primer 5. Poiščite limit funkcije
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Rešitev: Neposredna zamenjava kaže
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
kaj imamo negotovost tipa 0/0.
Razdelimo polinome s faktorjem, ki uvaja singularnost


Obstajajo učitelji, ki učijo, da je treba polinome 2. reda, torej tipa "kvadratne enačbe", reševati preko diskriminante. Toda realna praksa kaže, da je to daljše in bolj zmedeno, zato se znebite funkcij v mejah v skladu z navedenim algoritmom. Tako funkcijo zapišemo v obliki enostavnih faktorjev in jo izračunamo v limiti

Kot lahko vidite, pri izračunu takšnih omejitev ni nič zapletenega. Ko študiraš meje, znaš deliti polinome, vsaj po programu bi ga moral že opraviti.
Med nalogami na negotovost tipa 0/0 V nekaterih je treba uporabiti skrajšane formule za množenje. Če pa jih ne poznate, lahko z deljenjem polinoma z monomom dobite želeno formulo.

Primer 6. Poiščite limit funkcije
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rešitev: Imamo negotovost tipa 0/0. V števcu uporabljamo skrajšano formulo množenja

in izračunajte zahtevano mejo

Metoda za razkrivanje negotovosti z množenjem s konjugatom

Metoda se uporablja za meje, v katerih negotovost ustvarjajo iracionalne funkcije. Števec ali imenovalec se na točki izračuna spremeni v nič in ni znano, kako najti mejo.

Primer 7. Poiščite limit funkcije
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
rešitev: Predstavimo spremenljivko v limitni formuli

Pri zamenjavi dobimo negotovost tipa 0/0.
V skladu s teorijo omejitev je način, kako zaobiti to lastnost, tako da iracionalni izraz pomnožimo z njegovim konjugatom. Da zagotovimo, da se izraz ne spremeni, je treba imenovalec deliti z isto vrednostjo

S pomočjo pravila razlike kvadratov poenostavimo števec in izračunamo limit funkcije

Poenostavimo izraze, ki ustvarjajo singularnost v limitu in izvedemo zamenjavo

Primer 8. Poiščite limit funkcije
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rešitev: Neposredna zamenjava pokaže, da ima limit singularnost oblike 0/0.

Za razširitev pomnožimo in delimo s konjugatom števca

Zapišemo razliko kvadratov

Poenostavimo izraze, ki uvedejo singularnost in poiščemo limit funkcije

Primer 9. Poiščite limit funkcije
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Rešitev: V formulo nadomestite dva

Dobimo negotovost 0/0.
Imenovalec je treba pomnožiti s konjugiranim izrazom, v števcu pa rešiti ali faktorizirati kvadratno enačbo ob upoštevanju singularnosti. Ker je znano, da je 2 koren, najdemo drugi koren z uporabo Vietovega izreka

Tako zapišemo števnik v obliki

in ga nadomestite z mejo

Z zmanjšanjem razlike kvadratov se znebimo singularnosti v števcu in imenovalcu

Na ta način se lahko znebite singularnosti v številnih primerih, uporabo pa je treba opozoriti povsod, kjer se podana razlika korenov med zamenjavo spremeni v nič. Druge vrste omejitev zadevajo eksponentne funkcije, infinitezimalne funkcije, logaritme, posebne omejitve in druge tehnike. Toda o tem lahko preberete v spodnjih člankih o omejitvah.

funkcija y = f (x) je zakon (pravilo), po katerem je vsak element x množice X povezan z enim in samo enim elementom y množice Y.

Element x ∈ X klical argument funkcije oz neodvisna spremenljivka.
Element y ∈ Y klical vrednost funkcije oz odvisna spremenljivka.

Množica X se imenuje domena funkcije.
Niz elementov y ∈ Y, ki imajo praslike v množici X, imenujemo območje ali niz funkcijskih vrednosti.

Pokliče se dejanska funkcija omejeno od zgoraj (od spodaj), če obstaja število M tako, da neenakost velja za vse:
.
Pokliče se funkcija števila omejeno, če obstaja število M tako, da za vse:
.

Zgornji rob oz natančna zgornja meja Realna funkcija se imenuje najmanjše število, ki omejuje njeno območje vrednosti od zgoraj. To pomeni, da je to število s, za katerega za vsakogar in za katerega koli obstaja argument, katerega vrednost funkcije presega s′: .
Zgornjo mejo funkcije lahko označimo na naslednji način:
.

Oziroma spodnji rob oz natančno spodnjo mejo Realna funkcija se imenuje največje število, ki omejuje njeno območje vrednosti od spodaj. To pomeni, da je to število i, za katerega za vsakogar in za katerega koli obstaja argument, katerega vrednost funkcije je manjša od i′: .
Infimum funkcije lahko označimo na naslednji način:
.

Določanje limita funkcije

Določitev limita funkcije po Cauchyju

Končne meje funkcije na končnih točkah

Naj bo funkcija definirana v neki okolici končne točke, z možno izjemo same točke. v točki, če za katero koli obstaja taka stvar, odvisno od , da za vse x, za katere velja neenakost
.
Meja funkcije je označena na naslednji način:
.
Ali pri.

Z uporabo logičnih simbolov obstoja in univerzalnosti lahko definicijo limite funkcije zapišemo takole:
.

Enostranske omejitve.
Leva meja v točki (levostranska meja):
.
Desna meja na točki (desna meja):
.
Leva in desna meja sta pogosto označeni na naslednji način:
; .

Končne meje funkcije v neskončnih točkah

Meje v točkah v neskončnosti so določene na podoben način.
.
.
.
Pogosto jih imenujemo:
; ; .

Uporaba koncepta okolice točke

Če uvedemo koncept preluknjane soseske točke, potem lahko podamo enotno definicijo končne meje funkcije na končnih in neskončno oddaljenih točkah:
.
Tukaj za končne točke
; ;
.
Vsaka soseska točk v neskončnosti je preluknjana:
; ; .

Neskončne omejitve funkcij

Opredelitev
Naj bo funkcija definirana v neki preluknjani okolici točke (končne ali v neskončnosti). Meja funkcije f (x) kot x → x 0 enako neskončnosti, če je za poljubno veliko število M > 0 , obstaja število δ M > 0 , glede na M, da za vse x, ki pripadajo preluknjani δ M - okolici točke: , velja neenakost:
.
Neskončna meja je označena na naslednji način:
.
Ali pri.

Z uporabo logičnih simbolov obstoja in univerzalnosti lahko definicijo neskončne meje funkcije zapišemo takole:
.

Uvedete lahko tudi definicije neskončnih mej določenih znakov, ki so enaki in :
.
.

Univerzalna definicija limita funkcije

Z uporabo koncepta soseščine točke lahko podamo univerzalno definicijo končne in neskončne meje funkcije, ki je uporabna tako za končne (dvostranske in enostranske) kot neskončno oddaljene točke:
.

Določitev limita funkcije po Heineju

Naj bo funkcija definirana na neki množici X:.
Število a imenujemo limita funkcije na točki:
,
če za vsako zaporedje, ki konvergira k x 0 :
,
katerega elementi pripadajo množici X: ,
.

Zapišimo to definicijo z uporabo logičnih simbolov obstoja in univerzalnosti:
.

Če vzamemo levo okolico točke x kot množico X 0 , potem dobimo definicijo leve meje. Če je desnosučna, potem dobimo definicijo desne meje. Če vzamemo okolico neskončne točke kot množico X, dobimo definicijo limita funkcije v neskončnosti.

Izrek
Cauchyjeva in Heinejeva definicija limite funkcije sta enakovredni.
Dokaz

Lastnosti in izreki limita funkcije

Nadalje predpostavljamo, da so obravnavane funkcije definirane v ustrezni okolici točke, ki je končno število ali eden od simbolov: . Lahko je tudi enostranska mejna točka, torej ima obliko ali . Soseska je dvostranska za dvostransko mejo in enostranska za enostransko mejo.

Osnovne lastnosti

Če so vrednosti funkcije f (x) spremenite (ali naredite nedefinirano) končno število točk x 1, x 2, x 3, ... x n, potem ta sprememba ne bo vplivala na obstoj in vrednost limite funkcije v poljubni točki x 0 .

Če obstaja končna meja, potem obstaja preluknjana okolica točke x 0 , na katerem je funkcija f (x) omejeno:
.

Naj ima funkcija v točki x 0 končna neničelna meja:
.
Potem za poljubno število c iz intervala obstaja taka preluknjana okolica točke x 0 , kaj za ,
, Če ;
, Če .

Če je na neki preluknjani okolici točke , konstanta, potem .

Če obstajajo končne meje in in na neki preluknjani okolici točke x 0
,
to.

Če , in na neki okolici točke
,
to.
Še posebej, če je v neki okolici točke
,
potem če , potem in ;
če , potem in .

Če na neki preluknjani okolici točke x 0 :
,
in obstajajo končne (ali neskončne določenega predznaka) enake meje:
, To
.

Dokazi o glavnih lastnostih so navedeni na strani
"Osnovne lastnosti limitov funkcije."

Aritmetične lastnosti limita funkcije

Naj sta funkciji in definirani v neki preluknjani okolici točke . In naj bodo končne meje:
In .
In naj bo C konstanta, to je dano število. Potem
;
;
;
, Če .

Če, potem.

Na strani so podani dokazi o aritmetičnih lastnostih
"Aritmetične lastnosti limitov funkcije".

Cauchyjev kriterij obstoja limita funkcije

Izrek
Da bi bila funkcija definirana na neki preluknjani soseski končne ali neskončne točke x 0 , imel na tej točki končno mejo, je nujno in zadostno, da za vsak ε > 0 obstajala je taka preluknjana okolica točke x 0 , da za poljubne točke in iz te soseske velja neenakost:
.

Limit kompleksne funkcije

Izrek o limiti kompleksne funkcije
Naj ima funkcija limito in preslikamo preluknjano okolico točke v preluknjano okolico točke. Naj bo funkcija definirana na tej soseski in ima na njej limit.
Tu so končne ali neskončno oddaljene točke: . Soseske in njihove ustrezne meje so lahko dvostranske ali enostranske.
Potem obstaja limita kompleksne funkcije in je enaka:
.

Limitni izrek kompleksne funkcije se uporabi, kadar funkcija ni definirana v točki ali ima vrednost, ki je drugačna od limite. Za uporabo tega izreka mora obstajati preluknjana soseska točke, kjer niz vrednosti funkcije ne vsebuje točke:
.

Če je funkcija zvezna v točki , lahko znak zvezne vrednosti uporabimo za argument zvezne funkcije:
.
Sledi izrek, ki ustreza temu primeru.

Izrek o limiti zvezne funkcije funkcije
Naj obstaja limita funkcije g (t) kot t → t 0 , in je enako x 0 :
.
Tukaj je točka t 0 lahko končno ali neskončno oddaljeni: .
In naj funkcija f (x) je zvezna v točki x 0 .
Potem obstaja limita kompleksne funkcije f (g(t)), in je enako f (x0):
.

Dokazi izrekov so podani na strani
"Limit in kontinuiteta kompleksne funkcije".

Infinitezimalne in neskončno velike funkcije

Infinitezimalne funkcije

Opredelitev
Za funkcijo pravimo, da je infinitezimalna, če
.

Vsota, razlika in zmnožek končnega števila infinitezimalnih funkcij pri je infinitezimalna funkcija pri .

Produkt omejene funkcije na neki preluknjani okolici točke je na infinitezimalno pri infinitezimalna funkcija pri .

Da ima funkcija končno mejo, je potrebno in zadostuje, da
,
kjer je infinitezimalna funkcija pri .

"Lastnosti infinitezimalnih funkcij".

Neskončno velike funkcije

Opredelitev
Za funkcijo pravimo, da je neskončno velika, če
.

Vsota ali razlika omejena funkcija, na neki preluknjani okolici točke in neskončno velika funkcija pri je neskončno velika funkcija pri .

Če je funkcija neskončno velika za in je funkcija omejena na neko preluknjano okolico točke, potem
.

Če funkcija , na neki preluknjani okolici točke , izpolnjuje neenakost:
,
in funkcija je infinitezimalna pri:
, in (na neki preluknjani okolici točke), potem
.

Dokazi o lastnostih so predstavljeni v razdelku
"Lastnosti neskončno velikih funkcij".

Razmerje med neskončno velikimi in infinitezimalnimi funkcijami

Iz prejšnjih dveh lastnosti sledi povezava med neskončno velikimi in infinitezimalnimi funkcijami.

Če je funkcija neskončno velika pri , potem je funkcija infinitezimalna pri .

Če je funkcija neskončno majhna za in , potem je funkcija neskončno velika za .

Razmerje med infinitezimalno in neskončno veliko funkcijo lahko izrazimo simbolično:
, .

Če ima infinitezimalna funkcija določen predznak pri , to je, da je pozitivna (ali negativna) na neki preluknjani okolici točke , potem lahko to dejstvo izrazimo na naslednji način:
.
Na enak način, če ima neskončno velika funkcija določen predznak pri , potem pišejo:
.

Potem lahko simbolno povezavo med neskončno majhnimi in neskončno velikimi funkcijami dopolnimo z naslednjimi relacijami:
, ,
, .

Dodatne formule, ki se nanašajo na simbole neskončnosti, najdete na strani
"Točke v neskončnosti in njihove lastnosti."

Meje monotonih funkcij

Opredelitev
Pokliče se funkcija, definirana na neki množici realnih števil X strogo narašča, če za vse tako velja naslednja neenakost:
.
V skladu s tem za strogo padajoče funkcija velja naslednja neenakost:
.
Za nepadajoča:
.
Za nenaraščajoča:
.

Iz tega sledi, da je strogo naraščajoča funkcija tudi nepadajoča. Strogo padajoča funkcija je tudi nenaraščajoča.

Funkcija se imenuje monotono, če ne pada ali ne narašča.

Izrek
Naj se funkcija ne zmanjša na intervalu, kjer je .
Če je zgoraj omejen s številom M: potem obstaja končna meja. Če ni omejeno od zgoraj, potem.
Če je od spodaj omejena s številom m: potem obstaja končna meja. Če ni omejeno od spodaj, potem.

Če sta točki a in b v neskončnosti, potem v izrazih mejni znaki pomenijo, da .
Ta izrek je mogoče formulirati bolj kompaktno.

Naj se funkcija ne zmanjša na intervalu, kjer je . Potem so enostranske omejitve v točkah a in b:
;
.

Podoben izrek za nenaraščajočo funkcijo.

Naj funkcija ne narašča na intervalu, kjer je . Potem so tu še enostranske omejitve:
;
.

Dokaz izreka je predstavljen na strani
"Meje monotonih funkcij".

Reference:
L.D. Kudrjavcev. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolski. Tečaj matematične analize. Zvezek 1. Moskva, 1983.

Negotovost tipa in vrste sta najpogostejši negotovosti, ki ju je treba razkriti pri reševanju omejitev.

Večina mejnih problemov, s katerimi se srečujejo učenci, vsebuje prav takšne negotovosti. Da bi jih razkrili ali, natančneje, da bi se izognili negotovostim, obstaja več umetnih tehnik za preoblikovanje vrste izraza pod mejnim znakom. Te tehnike so naslednje: člensko deljenje števca in imenovalca z največjo potenco spremenljivke, množenje s konjugiranim izrazom in faktorizacija za naknadno zmanjševanje z rešitvami kvadratne enačbe in skrajšane formule množenja.

Negotovost vrst

Primer 1.

n je enako 2. Zato števec in imenovalec člen za členom delimo z:

.

Komentirajte desno stran izraza. Puščice in številke kažejo, h katerim ulomkom težijo po zamenjavi n pomeni neskončnost. Tukaj, kot v primeru 2, stopnja n V imenovalcu je več kot v števcu, zaradi česar je celoten ulomek neskončno majhen ali »super majhen«.

Dobimo odgovor: limita te funkcije s spremenljivko, ki teži v neskončnost, je enaka .

Primer 2. .

rešitev. Tukaj je največja moč spremenljivke x je enak 1. Zato števec in imenovalec člen za členom delimo z x:

Komentar poteka odločitve. V števcu zabijemo "x" pod koren tretje stopnje in tako, da njegova prvotna stopnja (1) ostane nespremenjena, mu priredimo enako stopnjo kot koren, to je 3. Ni puščic ali dodatnih številk v tem vnosu, zato poskusite miselno, vendar po analogiji s prejšnjim primerom določite, h čemu težita izraza v števcu in imenovalcu, potem ko namesto »x« nadomestite neskončnost.

Dobili smo odgovor: limita te funkcije s spremenljivko, ki teži v neskončnost, je enaka nič.

Negotovost vrst

Primer 3. Odkrijte negotovost in poiščite mejo.

rešitev. Števec je razlika kock. Razložimo ga na faktorje s skrajšano formulo množenja iz šolskega tečaja matematike:

V imenovalcu je kvadratni trinom, ki ga bomo faktorizirali z reševanjem kvadratne enačbe (še enkrat povezava do reševanja kvadratnih enačb):

Zapišimo izraz, dobljen kot rezultat transformacij, in poiščimo mejo funkcije:

Primer 4. Odklenite negotovost in poiščite mejo

rešitev. Izrek o omejitvi kvocienta tukaj ni uporaben, saj

Zato ulomek preoblikujemo enako: števec in imenovalec pomnožimo z binomom, konjugatom na imenovalec, in zmanjšamo z x+1. Glede na posledico izreka 1 dobimo izraz, z rešitvijo katerega najdemo želeno mejo:

Primer 5. Odklenite negotovost in poiščite mejo

rešitev. Neposredna zamenjava vrednosti x= 0 v dano funkcijo vodi do negotovosti oblike 0/0. Da ga odpremo, naredimo transformacije identitete in končno dobimo želeno mejo:

Primer 6. Izračunaj

rešitev: Uporabimo izreke o mejah

odgovor: 11

Primer 7. Izračunaj

rešitev: v tem primeru sta meji števca in imenovalca enaki 0:

; . Prejeli smo, torej izreka o limiti količnika ni mogoče uporabiti.

Rastavlimo števec in imenovalec, da zmanjšamo ulomek s skupnim faktorjem, ki se nagiba k nič, in tako dobimo možna uporaba Izrek 3.

Razširimo kvadratni trinom v števcu z uporabo formule , kjer sta x 1 in x 2 korena trinoma. Po faktorizaciji in imenovalcu zmanjšajte ulomek za (x-2), nato pa uporabite izrek 3.

odgovor:

Primer 8. Izračunaj

rešitev: Ko se števec in imenovalec nagibata v neskončnost, torej ob neposredni uporabi izreka 3 dobimo izraz , ki predstavlja negotovost. Da bi se znebili tovrstne negotovosti, bi morali števec in imenovalec deliti z največjo močjo argumenta. V tem primeru morate deliti z X:

odgovor:

Primer 9. Izračunaj

rešitev: x 3:

odgovor: 2

Primer 10. Izračunaj

rešitev: Ko števec in imenovalec težita v neskončnost. Delimo števec in imenovalec z največjo močjo argumenta, tj. x 5:

=

Števec ulomka teži k 1, imenovalec k 0, torej ulomek teži k neskončnosti.

odgovor:

Primer 11. Izračunaj

rešitev: Ko števec in imenovalec težita v neskončnost. Delimo števec in imenovalec z največjo močjo argumenta, tj. x 7:

odgovor: 0

Izpeljanka.

Odvod funkcije y = f(x) glede na argument x se imenuje meja razmerja njegovega prirastka y do prirastka x argumenta x, ko se prirastek argumenta nagiba k ničli: . Če je ta meja končna, potem funkcija y = f(x) pravimo, da je diferenciabilnost v točki x. Če ta meja obstaja, potem pravijo, da funkcija y = f(x) ima neskončen odvod v točki x.

Izpeljanke osnovnih elementarnih funkcij:

1. (konst)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Pravila razlikovanja:

a)

V)

Primer 1. Poiščite odvod funkcije

rešitev:Če izpeljanko drugega člena najdemo s pravilom diferenciacije ulomkov, potem je prvi člen kompleksna funkcija, katere izpeljanko najdemo s formulo:

Kje pa potem

Pri reševanju so bile uporabljene naslednje formule: 1,2,10,a,c,d.

odgovor:

Primer 21. Poiščite odvod funkcije

rešitev: oba člena sta kompleksni funkciji, kjer je za prvo , , za drugo pa , , potem

odgovor:

Izpeljane aplikacije.

1. Hitrost in pospešek

Naj funkcija s(t) opiše položaj objekt v nekem koordinatnem sistemu v trenutku t. Potem je prvi odvod funkcije s(t) trenuten hitrost predmet:
v=s′=f′(t)
Drugi odvod funkcije s(t) predstavlja trenutno pospešek predmet:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangentna enačba
y−y0=f′(x0)(x−x0),
kjer so (x0,y0) koordinate tangentne točke, f′(x0) je vrednost odvoda funkcije f(x) v tangentni točki.

3. Normalna enačba
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

kjer so (x0,y0) koordinate točke, na katero je narisana normala, f′(x0) je vrednost odvoda funkcije f(x) na tej točki.

4. Naraščajoča in padajoča funkcija
Če je f′(x0)>0, potem funkcija narašča v točki x0. Na spodnji sliki funkcija narašča kot x x2.
Če je f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Če je f′(x0)=0 ali odvod ne obstaja, nam ta kriterij ne omogoča določitve narave monotonosti funkcije v točki x0.

5. Lokalni ekstremi funkcije
Funkcija f(x) ima lokalni maksimum v točki x1, če obstaja okolica točke x1 taka, da za vse x iz te okolice velja neenakost f(x1)≥f(x).
Podobno ima funkcija f(x). lokalni minimum v točki x2, če obstaja okolica točke x2 taka, da za vse x iz te okolice velja neenakost f(x2)≤f(x).

6. Kritične točke
Točka x0 je kritična točka funkcijo f(x), če je odvod f′(x0) v njej enak nič ali ne obstaja.

7. Prvi zadosten znak obstoja ekstrema
Če funkcija f(x) narašča (f′(x)>0) za vse x v nekem intervalu (a,x1] in pada (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) za vse x iz intervala )