Üçgen, üç tarafı olan bir çokgen veya üç bağlantılı kapalı bir kesik çizgi veya aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir (bkz. Şekil 1).

Abc üçgeninin temel elemanları

Zirveler – A, B ve C noktaları;

Partiler – köşeleri birbirine bağlayan a = BC, b = AC ve c = AB segmentleri;

Açılar – α, β, γ üç kenar çiftinden oluşur. Açılar genellikle köşelerle aynı şekilde A, B ve C harfleriyle gösterilir.

Bir üçgenin kenarlarının oluşturduğu ve onun iç alanında kalan açıya iç açı, komşu olana ise üçgenin komşu açısı denir (2, s. 534).

Bir üçgenin yükseklikleri, kenarortayları, açıortayları ve orta çizgileri

Üçgenin ana elemanlarına ek olarak ilginç özelliklere sahip diğer parçalar da dikkate alınır: yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve orta çizgiler.

Yükseklik

Üçgen yükseklikleri- bunlar üçgenin köşelerinden zıt taraflara bırakılan dikmelerdir.

Yüksekliği çizmek için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) üçgenin kenarlarından birini içeren düz bir çizgi çizin (eğer yükseklik geniş bir üçgende dar açının tepe noktasından çiziliyorsa);

2) Çizilen çizginin karşısındaki tepe noktasından, noktadan bu çizgiye 90 derecelik bir açı yaparak bir parça çizin.

Üçgenin kenarını yüksekliğin kestiği noktaya denir yükseklik tabanı (bkz. Şekil 2).

Üçgen yüksekliklerinin özellikleri

Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından çizilen yükseklik, onu orijinal üçgene benzer iki üçgene böler.

Dar bir üçgende, iki yüksekliği benzer üçgenleri ondan keser.

Üçgen dar ise, yüksekliklerin tüm tabanları üçgenin kenarlarına aittir ve geniş bir üçgende iki yükseklik kenarların devamına düşer.

Dar bir üçgende üç yükseklik bir noktada kesişir ve bu noktaya denir. diklik merkezi üçgen.

Medyan

Medyanlar(Latince mediana'dan - “orta”) - bunlar üçgenin köşelerini karşı tarafların orta noktalarına bağlayan bölümlerdir (bkz. Şekil 3).

Medyanı oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) kenarın ortasını bulun;

2) Üçgenin kenarının ortasındaki noktayı karşı köşeye bir doğru parçasıyla bağlayın.

Üçgen kenarortaylarının özellikleri

Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her biri köşeden sayılarak 2:1 oranında bölünür. Bu noktaya denir ağırlık merkezi üçgen.

Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Açıortay

Bisektörler(Latince bis - iki kez ve seko - kesimden gelir), bir üçgenin içine alınmış ve açılarını ikiye bölen düz çizgi parçalarıdır (bkz. Şekil 4).

Bir açıortay oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) açının tepe noktasından çıkan ve onu iki eşit parçaya (açının açıortayı) bölen bir ışın oluşturun;

2) üçgenin açısının açıortayının karşı tarafla kesişme noktasını bulun;

3) üçgenin tepe noktasını karşı taraftaki kesişme noktasına bağlayan bir doğru parçası seçin.

Üçgen açıortayların özellikleri

Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı bitişik iki kenarın oranına eşit bir oranda böler.

Üçgenin iç açılarının açıortayları bir noktada kesişir. Bu noktaya yazılı dairenin merkezi denir.

İç ve dış açıların açıortayları birbirine diktir.

Bir üçgende bir dış açının açıortayı karşı kenarın uzantısıyla kesişiyorsa ADBD=ACBC olur.

Üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları bir noktada kesişir. Bu nokta, bu üçgenin üç dış çemberinden birinin merkezidir.

Bir üçgenin iki iç ve bir dış açısının açıortaylarının tabanları, eğer dış açının açıortayı üçgenin karşı kenarına paralel değilse aynı düz çizgi üzerinde bulunur.

Bir üçgenin dış açılarının açıortayları karşı kenarlara paralel değilse tabanları aynı düz çizgi üzerindedir.

Bir okul kursunda herhangi bir konuyu incelerken, belirli bir minimum problemi seçebilirsiniz ve bunları çözme yöntemlerine hakim olan öğrenciler, çalışılan konuyla ilgili program gereksinimleri düzeyinde herhangi bir sorunu çözebileceklerdir. Okul matematik dersinde bireysel konuların karşılıklı ilişkilerini görmenizi sağlayacak problemleri düşünmeyi öneriyorum. Bu nedenle, derlenmiş görev sistemi Etkili araçlar tekrarlama, genelleme ve sistemleştirme Eğitim materyaliÖğrencileri sınava hazırlarken.

Sınavı geçmek gereksiz olmayacak Ek Bilgiler Bir üçgenin bazı elemanları hakkında. Bir üçgenin medyanının özelliklerini ve bu özelliklerin kullanılabileceği problemleri ele alalım. Önerilen görevler seviye farklılaşması ilkesini uygular. Tüm görevler şartlı olarak seviyelere bölünmüştür (seviye her görevden sonra parantez içinde gösterilir).

Bir üçgenin medyanının bazı özelliklerini hatırlayalım

Mülk 1. Bir üçgenin medyanının olduğunu kanıtlayın ABC, tepe noktasından çekilmiş A kenarları toplamının yarısından azı AB Ve AC..

Kanıt

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Mülk 2. Medyan üçgeni iki eşit alana böler.

Kanıt

ABC üçgeninin B köşesinden BD kenarortayını ve BE yüksekliğini çizelim..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

BD segmenti medyan olduğundan, o zaman

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Mülk 4. Bir üçgenin kenarortayları üçgeni 6 eşit üçgene böler.

Kanıt

Medyanların ABC üçgenini böldüğü altı üçgenin her birinin alanının ABC üçgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, örneğin AOF üçgenini düşünün ve A köşesinden BF çizgisine dik bir AK bırakın.

Özellik 2 nedeniyle,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Mülk 6. Bir dik üçgende dik açının köşesinden çizilen kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

Kanıt

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Sonuçlar:1. Bir dik üçgenin çevrelediği dairenin merkezi hipotenüsün ortasında yer alır.

2. Bir üçgende kenarortay uzunluğu çizildiği kenarın uzunluğunun yarısına eşitse bu üçgen dik açılıdır.

GÖREVLER

Sonraki her problemi çözerken kanıtlanmış özellikler kullanılır.

№1 Konular: Medyanın iki katına çıkarılması. Zorluk: 2+

Paralelkenarın işaretleri ve özellikleri Sınıflar: 8,9

Durum

Medyanın devamında sabahüçgen ABC puan başına M bölüm ertelendi MD, eşit sabah. Dörtgen olduğunu kanıtlayın ABDC- paralelkenar.

Çözüm

Paralelkenarın işaretlerinden birini kullanalım. Bir dörtgenin köşegenleri ABDC bir noktada kesişmek M ve onu ikiye bölelim, böylece dörtgen ABDC- paralelkenar.

Not. Bu derste "dik üçgende medyan" konulu geometri problemlerine teorik materyaller ve çözümler sunulmaktadır. Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Kurs neredeyse kesinlikle desteklenecektir.

Bir dik üçgenin medyanının özellikleri

Medyanın belirlenmesi

• Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktaya göre açının tepe noktasından itibaren 2:1 oranında iki parçaya bölünür. Kesiştikleri noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir (problemlerde nispeten nadiren bu noktayı belirtmek için "merkez noktası" terimi kullanılır),
• Medyan bir üçgeni eşit büyüklükte iki üçgene böler.
• Bir üçgen üç kenarortay ile altı eşit üçgene bölünür.
• Üçgenin büyük tarafı küçük ortancaya karşılık gelir.

Çözüm için önerilen geometri problemleri temel olarak aşağıdakileri kullanır: bir dik üçgenin medyanının özellikleri.

• Bir dik üçgenin kenarlarına bırakılan kenarortayların karelerinin toplamı, hipotenüse bırakılan kenarortayların beş karesine eşittir (Formül 1)
• Medyan bir dik üçgenin hipotenüsüne düştü hipotenüsün yarısına eşit(Formül 2)
• Bir dik üçgenin hipotenüsünün medyanı etrafında çevrelenen dairenin yarıçapına eşit verilen dik üçgen (Formül 2)
• Hipotenüse düşen medyan bacakların kareleri toplamının karekökünün yarısına eşit(Formül 3)
• Hipotenüse indirilen medyan, bacağın uzunluğunun bacağın karşısındaki dar açının iki sinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 4)
• Hipotenüse indirilen medyan, bacağın uzunluğunun bacağa bitişik dar açının iki kosinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 4)
• Bir dik üçgenin kenarlarının karelerinin toplamı, kenarortayı hipotenüse bırakılan sekiz kareye eşittir (Formül 5)

Formüllerdeki gösterim:

a, b- bir dik üçgenin bacakları

C- bir dik üçgenin hipotenüsü

Bir üçgeni ABC olarak gösterirsek

MÖ = A

(yani a,b,c kenarları- karşılık gelen açıların zıttıdır)

M A- a bacağına çekilen orta refüj

M B- b bacağına çekilen orta refüj

M C - bir dik üçgenin medyanı, hipotenüse çizilir

α (alfa)- a tarafının karşısındaki CAB açısı

Dik üçgende medyanla ilgili problem

Bacaklara çizilen bir dik üçgenin kenarortayları sırasıyla 3 cm ve 4 cm'ye eşittir. Üçgenin hipotenüsünü bulun

Çözüm

Sorunu çözmeye başlamadan önce, bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun üzerine indirilen kenarortay oranına dikkat edelim. Bunu yapmak için 2, 4, 5 formüllerine dönelim dik üçgende medyanın özellikleri. Bu formüller, hipotenüs ve medyanın 1'e 2 olarak düşürülen oranını açıkça göstermektedir. Bu nedenle, gelecekteki hesaplamaların kolaylığı için (çözümün doğruluğunu hiçbir şekilde etkilemeyecek, ancak daha fazla hale getirecektir) Uygunsa), AC ve BC bacaklarının uzunluklarını x ve y değişkenleriyle 2x ve 2y (x ve y değil) olarak gösteririz.

Hadi düşünelim dik üçgen ADC. Problemin koşullarına göre C açısı diktir, AC kenarı ABC üçgeniyle ortaktır ve medyanın özelliklerine göre CD kenarı BC'nin yarısına eşittir. O zaman Pisagor teoremine göre

AC 2 + CD 2 = AD 2

AC = 2x, CD = y olduğundan (medyen bacağı iki eşit parçaya böldüğü için), o zaman
4x2 + y2 = 9

Eş zamanlı olarak EBC dik üçgenini düşünün. Ayrıca problemin koşullarına göre bir C dik açısı vardır, BC kenarı orijinal ABC üçgeninin BC kenarı ile ortaktır ve EC kenarı medyanın özelliği gereği orijinal üçgenin AC kenarının yarısına eşittir. ABC.
Pisagor teoremine göre:
EC 2 + BC 2 = BE 2

EC = x olduğundan (medyan bacağı ikiye böler), BC = 2y, o zaman
x 2 + 4y 2 = 16

ABC, EBC ve ADC üçgenleri ortak kenarlarla bağlı olduğundan, elde edilen her iki denklem de birbiriyle ilişkilidir.
Ortaya çıkan denklem sistemini çözelim.
4x2 + y2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16