Not. Bu derste "dik üçgende medyan" konulu geometri problemlerine teorik materyaller ve çözümler sunulmaktadır. Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Kurs neredeyse kesinlikle desteklenecektir.

Bir dik üçgenin medyanının özellikleri

Medyanın belirlenmesi

• Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktaya göre açının tepe noktasından itibaren 2:1 oranında iki parçaya bölünür. Kesiştikleri noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir (problemlerde nispeten nadiren bu noktayı belirtmek için "merkez noktası" terimi kullanılır),
• Medyan bir üçgeni eşit büyüklükte iki üçgene böler.
• Bir üçgen üç kenarortay ile altı eşit üçgene bölünür.
• Üçgenin büyük tarafı küçük ortancaya karşılık gelir.

Çözüm için önerilen geometri problemleri temel olarak aşağıdakileri kullanır: bir dik üçgenin medyanının özellikleri.

• Bir dik üçgenin kenarlarına bırakılan kenarortayların karelerinin toplamı, hipotenüse bırakılan kenarortayların beş karesine eşittir (Formül 1)
• Medyan bir dik üçgenin hipotenüsüne düştü hipotenüsün yarısına eşit(Formül 2)
• Bir dik üçgenin hipotenüsünün medyanı etrafında çevrelenen dairenin yarıçapına eşit verilen dik üçgen (Formül 2)
• Hipotenüse düşen medyan bacakların kareleri toplamının karekökünün yarısına eşit(Formül 3)
• Hipotenüse indirilen medyan, bacağın uzunluğunun bacağın karşısındaki dar açının iki sinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 4)
• Hipotenüse indirilen medyan, bacağın uzunluğunun bacağa bitişik dar açının iki kosinüsüne bölünmesine eşittir (Formül 4)
• Bir dik üçgenin kenarlarının karelerinin toplamı, kenarortayı hipotenüse bırakılan sekiz kareye eşittir (Formül 5)

Formüllerdeki gösterim:

a, b- bir dik üçgenin bacakları

C- bir dik üçgenin hipotenüsü

Bir üçgeni ABC olarak gösterirsek

MÖ = A

(yani a,b,c kenarları- karşılık gelen açıların zıttıdır)

M A- a bacağına çekilen orta refüj

M B- b bacağına çekilen orta refüj

M C - bir dik üçgenin medyanı, hipotenüse çizilir

α (alfa)- a tarafının karşısındaki CAB açısı

Dik üçgende medyanla ilgili problem

Bacaklara çizilen bir dik üçgenin kenarortayları sırasıyla 3 cm ve 4 cm'ye eşittir. Üçgenin hipotenüsünü bulun

Çözüm

Sorunu çözmeye başlamadan önce, bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunun üzerine indirilen kenarortay oranına dikkat edelim. Bunu yapmak için 2, 4, 5 formüllerine dönelim dik üçgende medyanın özellikleri. Bu formüller, hipotenüs ve medyanın 1'e 2 olarak düşürülen oranını açıkça göstermektedir. Bu nedenle, gelecekteki hesaplamaların kolaylığı için (çözümün doğruluğunu hiçbir şekilde etkilemeyecek, ancak daha fazla hale getirecektir) Uygunsa), AC ve BC bacaklarının uzunluklarını x ve y değişkenleriyle 2x ve 2y (x ve y değil) olarak gösteririz.

ADC dik üçgenini düşünün. Problemin koşullarına göre C açısı diktir, AC kenarı ABC üçgeniyle ortaktır ve medyanın özelliklerine göre CD kenarı BC'nin yarısına eşittir. O zaman Pisagor teoremine göre

AC 2 + CD 2 = AD 2

AC = 2x, CD = y olduğundan (medyen bacağı iki eşit parçaya böldüğü için), o zaman
4x2 + y2 = 9

Eş zamanlı olarak EBC dik üçgenini düşünün. Ayrıca problemin koşullarına göre bir C dik açısı vardır, BC kenarı orijinal ABC üçgeninin BC kenarı ile ortaktır ve EC kenarı medyanın özelliği gereği orijinal üçgenin AC kenarının yarısına eşittir. ABC.
Pisagor teoremine göre:
EC 2 + BC 2 = BE 2

EC = x olduğundan (medyan bacağı ikiye böler), BC = 2y, o zaman
x 2 + 4y 2 = 16

ABC, EBC ve ADC üçgenleri ortak kenarlarla bağlı olduğundan, elde edilen her iki denklem de birbiriyle ilişkilidir.
Ortaya çıkan denklem sistemini çözelim.
4x2 + y2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

1. Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

2. Üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her biri köşeden sayılarak 2:1 oranında bölünür. Bu noktaya denir ağırlık merkeziüçgen.

3. Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Üçgen açıortayların özellikleri

1. Bir açının açıortayı, bu açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir.

2. Bir üçgenin iç açısının açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler: .

3. Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, bu üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir.

Üçgen yüksekliklerinin özellikleri

1. Bir dik üçgende tepe noktasından çizilen yükseklik dik açı, onu orijinaline benzer iki üçgene böler.

2. Dar bir üçgende, iki yüksekliği benzer olanları kesiyor üçgenler.

Bir üçgenin dik açıortaylarının özellikleri

1. Bir doğru parçasına dik açıortayın her noktası, bu doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersi de doğrudur: Bir parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik açıortay üzerinde yer alır.

2. Üçgenin kenarlarına çizilen dik açıortayların kesişme noktası, bu üçgenin çevrelediği dairenin merkezidir.

Bir üçgenin orta çizgisinin özelliği

Bir üçgenin orta çizgisi kenarlarından birine paraleldir ve o kenarın yarısına eşittir.

Üçgenlerin benzerliği

İki üçgen benzer aşağıdakilerden biri doğruysa aşağıdaki koşullar, isminde benzerlik işaretleri:

· bir üçgenin iki açısı diğer üçgenin iki açısına eşittir;

· bir üçgenin iki kenarı diğer üçgenin iki kenarıyla orantılıdır ve bu kenarların oluşturduğu açılar eşittir;

· Bir üçgenin üç kenarı diğer üçgenin üç kenarıyla sırasıyla orantılıdır.

Benzer üçgenlerde karşılık gelen çizgiler (yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar vb.) orantılıdır.

Sinüs teoremi

Kosinüs teoremi

bir 2= b2+ c2- 2M.Öçünkü

Üçgen alan formülleri

1. Serbest Üçgen

a, b, c - taraflar; - kenarlar arasındaki açı A Ve B; - yarı çevre; R- sınırlı daire yarıçapı; R- yazılı dairenin yarıçapı; S- kare; ha bir -çizilen yükseklik taraf A.

S = ah bir

S = mutlak günah

S = halkla ilişkiler

2. Sağ üçgen

a, b - bacaklar; C- hipotenüs; h c - yan tarafa çekilen yükseklik C.

S = ch c S = ab

3. Eşkenar üçgen

Dörtgenler

Paralelkenarın özellikleri

· karşıt taraflar eşittir;

· zıt açılar eşittir;

· köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür;

· bir tarafa bitişik açıların toplamı 180°'dir;

Köşegenlerin karelerinin toplamı tüm kenarların karelerinin toplamına eşittir:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Bir dörtgen aşağıdaki durumlarda bir paralelkenardır:

1. Karşılıklı iki kenarı eşit ve paraleldir.

2. Karşılıklı taraflar çiftler halinde eşittir.

3. Karşıt açılar çiftler halinde eşittir.

4. Köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Yamuğun özellikleri

· orta çizgisi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir;

· yamuk ikizkenar ise köşegenleri eşittir ve tabandaki açıları eşittir;

· yamuk ikizkenar ise, o zaman onun etrafında bir daire tanımlanabilir;

· Tabanların toplamı kenarların toplamına eşitse içine bir daire yazılabilir.

Dikdörtgen Özellikleri

Köşegenler eşittir.

Bir paralelkenar aşağıdaki durumlarda bir dikdörtgendir:

1. Açılarından biri düzdür.

2. Köşegenleri eşittir.

Eşkenar dörtgenin özellikleri

· bir paralelkenarın tüm özellikleri;

Köşegenler diktir;

Köşegenler, açılarının ortaortaylarıdır.

1. Bir paralelkenar aşağıdaki durumlarda eşkenar dörtgendir:

2. Bitişik iki kenarı eşittir.

3. Köşegenleri diktir.

4. Köşegenlerden biri açısının açıortayıdır.

Bir karenin özellikleri

· Meydanın tüm köşeleri doğru;

· Bir karenin köşegenleri eşittir, birbirine diktir, kesişme noktası karenin köşelerini ikiye böler ve ikiye böler.

Bir dikdörtgen, eşkenar dörtgenin herhangi bir özelliğine sahipse bir karedir.

Temel formüller

1. Herhangi bir dışbükey dörtgen
gün 1,d 2 - köşegenler; - aralarındaki açı; S- kare.

S = d 1 D 2 günah

Medyan, bir üçgenin tepe noktasından karşı kenarın ortasına çizilen, yani kesişme noktasında onu ikiye bölen bir parçadır. Medyanın çıktığı tepe noktasının karşısındaki kenarla kesiştiği noktaya taban denir. Üçgenin her medyanı kesişme noktası adı verilen bir noktadan geçer. Uzunluğunun formülü çeşitli şekillerde ifade edilebilir.

Medyanın uzunluğunu ifade etmek için formüller

• Geometri problemlerinde öğrenciler genellikle bir üçgenin kenarortayı gibi bir parçayla uğraşmak zorunda kalırlar. Uzunluğunun formülü kenarlar cinsinden ifade edilir:

burada a, b ve c kenarlardır. Ayrıca c medyanın düştüğü taraftır. En basit formül bu şekilde görünüyor. Bazen yardımcı hesaplamalar için bir üçgenin medyanlarına ihtiyaç duyulur. Başka formüller de var.

• Hesaplama sırasında bir üçgenin iki tarafı ve aralarında bulunan belirli bir α açısı biliniyorsa, o zaman üçgenin ortancasının üçüncü tarafa indirilen uzunluğu aşağıdaki gibi ifade edilecektir.

Temel özellikler

• Tüm medyanların ortak bir O kesişme noktası vardır ve tepe noktasından sayılırsa ikiye bir oranında ona bölünür. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.
• Medyan, üçgeni alanları eşit olan iki parçaya böler. Bu tür üçgenlere eşit alan denir.
• Tüm kenarortayları çizerseniz, üçgen 6 eşit rakama bölünecek ve bunlar da üçgen olacaktır.
• Bir üçgenin üç kenarı da eşitse, kenarortayların her biri aynı zamanda bir yükseklik ve bir açıortay olacaktır, yani çizildiği kenara dik olacak ve çıktığı açıyı ikiye bölecektir.
• Bir ikizkenar üçgende, hiçbir eşit olmayan kenarın karşısındaki tepe noktasından çizilen kenarortay aynı zamanda yükseklik ve açıortay olacaktır. Diğer köşelerden düşen medyanlar eşittir. Bu aynı zamanda ikizkenarlar için gerekli ve yeterli bir koşuldur.
• Bir üçgen normal bir piramidin tabanı ise, o zaman yükseklik azaltılır bu temel, tüm orta refüjlerin kesişme noktasına yansıtılır.

• Bir dik üçgende en uzun kenara çizilen kenarortay uzunluğunun yarısına eşittir.
• Üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası O olsun. Aşağıdaki formül herhangi bir M noktası için geçerli olacaktır.

• Bir üçgenin medyanının başka bir özelliği daha vardır. Kenarların karelerinden uzunluğunun karesinin formülü aşağıda sunulmuştur.

Medyanın çizildiği kenarların özellikleri

• Medyanların kesiştiği herhangi iki noktayı bırakıldıkları kenarlarla birleştirirsek, ortaya çıkan bölüm şu şekilde olacaktır: orta çizgiüçgendir ve üçgenin ortak noktaları olmayan tarafının yarısını oluşturur.
• Bir üçgende yüksekliklerin ve kenarortayların tabanları ile üçgenin köşelerini yüksekliklerin kesişme noktasına bağlayan bölümlerin orta noktaları aynı daire üzerinde bulunur.

Sonuç olarak en önemli parçalardan birinin üçgenin medyanı olduğunu söylemek mantıklı olacaktır. Formülü diğer kenarlarının uzunluklarını bulmak için kullanılabilir.

Üçgen, üç tarafı olan bir çokgen veya üç bağlantılı kapalı bir kesik çizgi veya aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayı birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir (bkz. Şekil 1).

Abc üçgeninin temel elemanları

Zirveler – A, B ve C noktaları;

Partiler – köşeleri birbirine bağlayan a = BC, b = AC ve c = AB segmentleri;

Açılar – α, β, γ üç kenar çiftinden oluşur. Açılar genellikle köşelerle aynı şekilde A, B ve C harfleriyle gösterilir.

Bir üçgenin kenarlarının oluşturduğu ve onun iç alanında kalan açıya iç açı, komşu olana ise üçgenin komşu açısı denir (2, s. 534).

Bir üçgenin yükseklikleri, kenarortayları, açıortayları ve orta çizgileri

Üçgenin ana elemanlarına ek olarak ilginç özelliklere sahip diğer parçalar da dikkate alınır: yükseklikler, kenarortaylar, açıortaylar ve orta çizgiler.

Yükseklik

Üçgen yükseklikleri- bunlar üçgenin köşelerinden zıt taraflara bırakılan dikmelerdir.

Yüksekliği çizmek için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) üçgenin kenarlarından birini içeren düz bir çizgi çizin (eğer yükseklik geniş bir üçgende dar açının tepe noktasından çiziliyorsa);

2) Çizilen çizginin karşısındaki tepe noktasından, noktadan bu çizgiye 90 derecelik bir açı yaparak bir parça çizin.

Üçgenin kenarını yüksekliğin kestiği noktaya denir yükseklik tabanı (bkz. Şekil 2).

Üçgen yüksekliklerinin özellikleri

Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından çizilen yükseklik, onu orijinal üçgene benzer iki üçgene böler.

Dar bir üçgende, iki yüksekliği benzer üçgenleri ondan keser.

Üçgen dar ise, yüksekliklerin tüm tabanları üçgenin kenarlarına aittir ve geniş bir üçgende iki yükseklik kenarların devamına düşer.

Dar bir üçgende üç yükseklik bir noktada kesişir ve bu noktaya denir. diklik merkezi üçgen.

Medyan

Medyanlar(Latince mediana'dan - “orta”) - bunlar üçgenin köşelerini karşı tarafların orta noktalarına bağlayan bölümlerdir (bkz. Şekil 3).

Medyanı oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) kenarın ortasını bulun;

2) Üçgenin kenarının ortasındaki noktayı karşı köşeye bir doğru parçasıyla bağlayın.

Üçgen kenarortaylarının özellikleri

Medyan bir üçgeni eşit alanlı iki üçgene böler.

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her biri köşeden sayılarak 2:1 oranında bölünür. Bu noktaya denir ağırlık merkezi üçgen.

Üçgenin tamamı kenarortaylarıyla altı eşit üçgene bölünmüştür.

Açıortay

Bisektörler(Latince bis - iki kez ve seko - kesimden gelir), bir üçgenin içine alınmış ve açılarını ikiye bölen düz çizgi parçalarıdır (bkz. Şekil 4).

Bir açıortay oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1) açının tepe noktasından çıkan ve onu iki eşit parçaya (açının açıortayı) bölen bir ışın oluşturun;

2) üçgenin açısının açıortayının karşı tarafla kesişme noktasını bulun;

3) üçgenin tepe noktasını karşı taraftaki kesişme noktasına bağlayan bir doğru parçası seçin.

Üçgen açıortayların özellikleri

Bir üçgende bir açının açıortayı, karşı kenarı bitişik iki kenarın oranına eşit bir oranda böler.

Üçgenin iç açılarının açıortayları bir noktada kesişir. Bu noktaya yazılı dairenin merkezi denir.

İç ve dış açıların açıortayları birbirine diktir.

Bir üçgende bir dış açının açıortayı karşı kenarın uzantısıyla kesişiyorsa ADBD=ACBC olur.

Üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları bir noktada kesişir. Bu nokta, bu üçgenin üç dış çemberinden birinin merkezidir.

Bir üçgenin iki iç ve bir dış açısının açıortaylarının tabanları, eğer dış açının açıortayı üçgenin karşı kenarına paralel değilse aynı düz çizgi üzerinde bulunur.

Bir üçgenin dış açılarının açıortayları karşı kenarlara paralel değilse tabanları aynı düz çizgi üzerindedir.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.