Ortaya çıkan ifadeleri parantez içinde yerine koyalım. Açılış parantezleri: kurallar ve örnekler (7. sınıf)

Bu yazımızda parantez açmak gibi matematik dersinde bu kadar önemli bir konunun temel kurallarına detaylı bir şekilde bakacağız. Kullanıldığı denklemleri doğru çözebilmek için parantez açma kurallarını bilmeniz gerekir.

Ekleme sırasında parantezlerin doğru şekilde açılması

Başında “+” işareti bulunan parantezleri genişletin

Bu en basit durumdur çünkü parantezlerin önünde ekleme işareti varsa parantez açıldığında içlerindeki işaretler değişmez. Örnek:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Başında "-" işareti bulunan parantezlerin genişletilmesi

Bu durumda, tüm terimleri parantez olmadan yeniden yazmanız gerekir, ancak aynı zamanda içlerindeki tüm işaretleri de zıt işaretlerle değiştirmeniz gerekir. İşaretler yalnızca önünde "-" işareti bulunan parantezlerdeki terimler için değişir. Örnek:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Çarpma işleminde parantez nasıl açılır

Parantezlerden önce çarpan numarası var

Bu durumda her terimi bir faktörle çarpmanız ve işaretleri değiştirmeden parantezleri açmanız gerekir. Çarpanın “-” işareti varsa çarpma sırasında terimlerin işaretleri ters çevrilir. Örnek:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Aralarında çarpım işareti bulunan iki parantez nasıl açılır?

Bu durumda, ilk parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpmanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir. Örnek:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Bir karede parantez nasıl açılır

İki terimin toplamı veya farkının karesi alınırsa parantezler aşağıdaki formüle göre açılmalıdır:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Parantez içinde eksi olması durumunda formül değişmez. Örnek:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Parantezleri başka bir dereceye kadar genişletme

Terimlerin toplamı veya farkı örneğin 3. veya 4. kuvvete yükseltilirse, o zaman parantezin kuvvetini "karelere" bölmeniz yeterlidir. Aynı faktörlerin kuvvetleri eklenir ve bölme sırasında bölenin kuvveti, bölenin kuvvetinden çıkarılır. Örnek:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 parantez nasıl açılır

3 parantezin aynı anda çarpıldığı denklemler vardır. Bu durumda önce ilk iki parantez içindeki terimleri birbiriyle çarpmanız, ardından bu çarpımın toplamını üçüncü parantezdeki terimlerle çarpmanız gerekir. Örnek:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Parantez açmaya ilişkin bu kurallar hem doğrusal hem de trigonometrik denklemlerin çözümüne eşit şekilde uygulanır.

Şimdi parantez içindeki ifadenin bir sayı veya ifadeyle çarpıldığı ifadelerde parantez açma işlemine geçeceğiz. Önünde eksi işareti bulunan parantezleri açmak için bir kural formüle edelim: Parantez ve eksi işareti atlanır ve parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri karşıtlarıyla değiştirilir.

İfade dönüşümlerinden biri parantezlerin genişletilmesidir. Sayısal, değişmez ve değişken ifadeler, eylemlerin sırasını belirtebilen, negatif bir sayı vb. içerebilen parantezler kullanılarak yazılabilir. Yukarıda anlatılan ifadelerde sayı ve değişkenler yerine herhangi bir ifadenin olabileceğini varsayalım.

Parantez açarken çözüm yazmanın özelliklerine ilişkin bir noktaya daha dikkat edelim. Bir önceki paragrafta açma parantezi denilen konuyu ele almıştık. Bunu yapmak için, şimdi inceleyeceğimiz parantez açma kuralları vardır. Bu kural, pozitif sayıların genellikle parantezsiz yazılması gerçeğinden kaynaklanmaktadır; bu durumda parantezlere gerek yoktur. (−3,7)−(−2)+4+(−9) ifadesi parantezsiz −3,7+2+4−9 şeklinde yazılabilir.

Son olarak kuralın üçüncü kısmı, negatif sayıların ifadede sola yazılmasının (negatif sayıların yazılması için parantezlerle ilgili bölümde bahsettiğimiz) özelliklerinden kaynaklanmaktadır. Bir sayı, eksi işareti ve birkaç çift parantezden oluşan ifadelerle karşılaşabilirsiniz. İçten dışa doğru hareket ederek parantezleri açarsanız, çözüm şu şekilde olacaktır: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Parantez nasıl açılır?

Açıklaması şöyle: −(−2 x) +2 x'tir ve bu ifade ilk sırada geldiği için +2 x 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 şeklinde yazılabilir. /x ve −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Parantez açmaya ilişkin yazılı kuralın ilk kısmı, doğrudan negatif sayıları çarpma kuralından gelir. İkinci kısmı sayıları çarpma kuralının bir sonucudur. farklı işaretler. Farklı işaretli iki sayının çarpımlarında ve bölümlerinde parantez açma örneklerine geçelim.

Açılış parantezleri: kurallar, örnekler, çözümler.

Yukarıdaki kural, bu eylemlerin tüm zincirini hesaba katar ve parantez açma sürecini önemli ölçüde hızlandırır. Aynı kural, toplam ve fark olmayan, çarpım ve kısmi ifadelerden oluşan ifadelerde eksi işaretiyle parantez açmanıza olanak tanır.

Bu kuralın uygulanmasına ilişkin örneklere bakalım. İlgili kuralı verelim. Yukarıda, parantezsiz sırasıyla −a ve a olarak yazılan −(a) ve −(−a) biçimindeki ifadelerle karşılaştık. Örneğin, −(3)=3 ve. Bunlar belirtilen kuralın özel durumlarıdır. Şimdi toplamları veya farkları içerdiklerinde parantez açma örneklerine bakalım. Bu kuralın kullanımına ilişkin örnekler gösterelim. (b1+b2) ifadesini b olarak gösterelim, ardından parantez içindeki ifadeyi önceki paragraftaki ifadeyle çarpma kuralını kullanırsak, (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) elde ederiz. ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Tümevarım yoluyla, bu ifade her parantez içindeki keyfi sayıda terime genişletilebilir. Önceki paragraflardaki kuralları kullanarak elde edilen ifadedeki parantezleri açmaya devam ediyoruz, sonunda 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· elde ediyoruz. 2·x·y3.

Matematikte kural parantezlerin önünde (+) ve (-) varsa parantez açmaktır.

Bu ifade üç faktörün (2+4), 3 ve (5+7·8) çarpımıdır. Parantezleri sırayla açmanız gerekecektir. Şimdi bir parantezi bir sayıyla çarpma kuralını kullanırsak, ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) elde ederiz. Tabanları parantez içinde yazılan bazı ifadelerden oluşan, doğal üslü dereceler, birkaç parantezin çarpımı olarak düşünülebilir.

Örneğin (a+b+c)2 ifadesini dönüştürelim. İlk önce bunu iki parantez (a+b+c)·(a+b+c)'nin çarpımı olarak yazıyoruz, şimdi bir parantezi bir parantezle çarpıyoruz, a·a+a·b+a·c+ elde ediyoruz b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Ayrıca iki sayının toplamlarını ve farklarını doğal kuvvete yükseltmek için Newton'un binom formülünü kullanmanın tavsiye edildiğini de söyleyeceğiz. Örneğin, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Önce bölmeyi çarpma ile değiştirmek ve ardından bir çarpımdaki parantezleri açmak için karşılık gelen kuralı kullanmak daha az uygun değildir.

Örnekleri kullanarak parantez açma sırasını anlamak kalır. (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7) ifadesini alalım. Bu sonuçları orijinal ifadede yerine koyarız: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7). Geriye kalan tek şey parantezleri açmayı bitirmek, sonuç olarak −5+3·2:4+6·7 elde ederiz. Bu, eşitliğin sol tarafından sağa doğru gidildiğinde parantezlerin açılmasının meydana geldiği anlamına gelir.

Her üç örnekte de sadece parantezleri kaldırdık. Öncelikle 889'a 445'i ekleyin. Bu işlem zihinsel olarak yapılabilir ancak çok kolay değildir. Parantezleri açalım ve değiştirilen prosedürün hesaplamaları önemli ölçüde kolaylaştıracağını görelim.

Parantezleri başka bir dereceye kadar genişletme

Örnek ve kuralın açıklanması. Bir örneğe bakalım: . Bir ifadenin değerini, 2 ile 5'i toplayıp ardından elde edilen sayıyı ters işaretle alarak bulabilirsiniz. Parantez içinde iki değil üç veya daha fazla terim olması durumunda kural değişmez. Yorum. İşaretler yalnızca terimlerin önünde ters çevrilir. Parantezleri açmak için bu durumda dağılma özelliğini hatırlamamız gerekiyor.

Parantez içindeki tek sayılar için

Hatanız işaretlerde değil, kesirlerin yanlış işlenmesinde mi? 6. sınıfta pozitif ve negatif sayıları öğrendik. Örnekleri ve denklemleri nasıl çözeceğiz?

Parantez içinde ne kadar var? Bu ifadeler hakkında neler söyleyebilirsiniz? Elbette birinci ve ikinci örneklerin sonucu aynı yani aralarına eşittir işareti koyabiliriz: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Parantezleri ne yaptık?

Parantez açma kurallarını içeren 6. slaytın gösterimi. Böylece parantez açma kuralları örnekleri çözmemize ve ifadeleri basitleştirmemize yardımcı olacaktır. Daha sonra öğrencilerden çiftler halinde çalışmaları istenir: Parantez içeren ifadeyi parantezsiz karşılık gelen ifadeye bağlamak için okları kullanmaları gerekir.

Slayt 11 Sunny City'ye vardıklarında Znayka ve Dunno hangisinin denklemi doğru çözdüğünü tartıştılar. Daha sonra öğrenciler parantez açma kurallarını kullanarak denklemi kendi başlarına çözerler. Denklemleri çözme” Ders hedefleri: eğitici (konuyla ilgili bilginin pekiştirilmesi: “Parantezlerin açılması.

Ders konusu: “Parantez açma. Bu durumda, ilk parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpmanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir. İlk olarak, bir parantez içine alınan ilk iki faktör alınır ve bu parantezlerin içinde parantezler zaten bilinen kurallardan birine göre açılır.

rawalan.freezeet.ru

Açılış parantezleri: kurallar ve örnekler (7. sınıf)

Parantezlerin ana işlevi, değerleri hesaplarken eylemlerin sırasını değiştirmektir. sayısal ifadeler . Örneğin\(5·3+7\) sayısal ifadesinde önce çarpma, sonra toplama hesaplanır: \(5·3+7 =15+7=22\). Ancak \(5·(3+7)\) ifadesinde önce parantez içindeki toplama işlemi, sonra da çarpma işlemi hesaplanır: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Ancak eğer ilgilenirsek cebirsel ifade kapsamak değişken- örneğin şöyle: \(2(x-3)\) - o zaman parantez içindeki değeri hesaplamak imkansızdır, değişken yol üzerindedir. Dolayısıyla bu durumda parantezler uygun kurallar kullanılarak "açılır".

Parantez açma kuralları

Parantez önünde bir artı işareti varsa, parantez basitçe kaldırılır, içindeki ifade değişmeden kalır. Başka bir deyişle:

Burada şunu açıklığa kavuşturmak gerekir ki matematikte notasyonları kısaltmak için, artı işareti ifadede ilk sırada görünüyorsa yazmamak gelenekseldir. Örneğin, yedi ve üç gibi iki pozitif sayıyı toplarsak, yedinin de pozitif bir sayı olmasına rağmen \(+7+3\) değil, yalnızca \(7+3\) yazarız. . Benzer şekilde, örneğin \((5+x)\) ifadesini görürseniz şunu bilin: parantezden önce yazılmayan bir artı var.

Örnek . Parantezi açın ve benzer terimleri verin: \((x-11)+(2+3x)\).
Çözüm : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Parantezin önünde bir eksi işareti varsa, parantez kaldırıldığında içindeki ifadenin her bir üyesi işaretini zıt yönde değiştirir:

Burada a parantez içindeyken bir artı işareti olduğunu (sadece yazmadılar) ve parantez çıkarıldıktan sonra bu artının eksiye dönüştüğünü açıklığa kavuşturmak gerekir.

Örnek : \(2x-(-7+x)\) ifadesini basitleştirin.
Çözüm : parantez içinde iki terim vardır: \(-7\) ve \(x\) ve parantezden önce bir eksi vardır. Bu, işaretlerin değişeceği ve yedinin artık artı, x'in ise eksi olacağı anlamına gelir. Braketi açın ve benzer terimler sunuyoruz .

Örnek. Parantezi açın ve benzer terimleri \(5-(3x+2)+(2+3x)\) verin.
Çözüm : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Braketin önünde bir faktör varsa, braketin her bir elemanı bununla çarpılır, yani:

Örnek. Parantezleri genişletin \(5(3-x)\).
Çözüm : Parantez içinde \(3\) ve \(-x\) var ve köşeli parantezden önce beş var. Bu, parantezin her bir üyesinin \(5\) ile çarpıldığı anlamına gelir - size şunu hatırlatırım Matematikte bir sayı ile parantez arasındaki çarpma işareti girdilerin boyutunu küçültmek için yazılmaz..

Örnek. Parantezleri genişletin \(-2(-3x+5)\).
Çözüm : Önceki örnekte olduğu gibi parantez içindeki \(-3x\) ve \(5\) \(-2\) ile çarpılır.

Son durumu dikkate almaya devam ediyor.

Bir parantez bir parantezle çarpıldığında, birinci parantezdeki her terim ikincinin her terimiyle çarpılır:

Örnek. Parantezleri genişletin \((2-x)(3x-1)\).
Çözüm : Parantezlerden oluşan bir ürünümüz var ve yukarıdaki formül kullanılarak hemen genişletilebiliyor. Ancak kafamızın karışmaması için her şeyi adım adım yapalım.
Adım 1. İlk parantezi çıkarın ve her üyeyi ikinci parantezle çarpın:

Adım 2. Yukarıda açıklandığı gibi parantezlerin çarpımlarını ve çarpanları genişletin:
- Her şey sırayla...

Adım 3. Şimdi benzer terimleri çarpıyoruz ve sunuyoruz:

Tüm dönüşümleri bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, hemen çoğaltabilirsiniz. Ancak parantez açmayı yeni öğreniyorsanız, detaylı yazarsanız hata yapma şansınız daha az olacaktır.

Bölümün tamamına not. Aslında dört kuralın tümünü hatırlamanıza gerek yok, yalnızca birini hatırlamanız yeterli: \(c(a-b)=ca-cb\) . Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız \((a-b)=a-b\) kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak \(-(a-b)=-a+b\) kuralını elde ederiz. Eğer c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.

Parantez içinde parantez

Bazen pratikte diğer parantezlerin içine yerleştirilmiş parantezlerle ilgili sorunlar yaşanabilir. İşte böyle bir göreve bir örnek: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadesini basitleştirin.

Bu tür görevleri başarıyla çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- parantezlerin yuvalanmasını dikkatlice anlayın - hangisinin içinde olduğunu;
— parantezleri örneğin en içteki olandan başlayarak sırayla açın.

Braketlerden birini açarken önemlidir ifadenin geri kalanına dokunmayın, olduğu gibi yeniden yazıyorum.
Örnek olarak yukarıda yazılan göreve bakalım.

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Çözüm:

İç braketi (içerideki) açarak göreve başlayalım. Genişleterek, yalnızca onunla doğrudan ilgili olanla ilgileniyoruz - bu, braketin kendisi ve önündeki eksidir (yeşil renkle vurgulanmıştır). Geriye kalan her şeyi (vurgulanmamış) olduğu gibi yeniden yazıyoruz.

Matematik problemlerini çevrimiçi çözme

Cevrimici hesap makinesi.
Bir polinomun basitleştirilmesi.
Polinomların çarpımı.

Bu matematik programıyla bir polinomu basitleştirebilirsiniz.
Program çalışırken:
- polinomları çarpar
— tek terimlileri özetler (benzerlerini verir)
- parantezleri açar
- bir polinomun üssünü yükseltir

Polinom sadeleştirme programı sadece problemin cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı bir çözüm sunar; matematik ve/veya cebir bilginizi kontrol edebilmeniz için çözüm sürecini görüntüler.

Bu program öğrenciler için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bir saniye bekleyin.

Küçük bir teori.

Bir monom ve bir polinomun çarpımı. Polinom kavramı

Cebirde ele alınan çeşitli ifadeler arasında monomların toplamları önemli bir yer tutar. İşte bu tür ifadelere örnekler:

Monomiyallerin toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.

Tüm terimleri standart formdaki tek terimli formda temsil edelim:

Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:

Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.

Arka polinom derecesi standart bir biçimde üyelerinin yetkilerinden en yüksek olanı alır. Böylece, bir binom üçüncü dereceye, bir trinomial ise ikinci dereceye sahiptir.

Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:

Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).

Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Kapalı parantez, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:

Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.

Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.

Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, bir monom ile bir polinomun çarpımını bir polinoma dönüştürebilirsiniz (basitleştirebilirsiniz). Örneğin:

Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.

Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.

Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.

Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her bir terimi ile diğerinin her bir teriminin çarpımının toplamına tamamen eşittir.

Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı

Cebirsel dönüşümlerde bazı ifadelerle diğerlerinden daha sık uğraşmanız gerekir. Belki de en yaygın ifadeler u'dur, yani toplamın karesi, farkın karesi ve kareler farkı. Bu ifadelerin adlarının eksik gibi göründüğünü fark etmişsinizdir, örneğin bu elbette sadece toplamın karesi değil, a ve b toplamının karesidir. Ancak a ve b toplamının karesi çok sık görülmez; kural olarak a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.

İfadeler kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir); aslında, polinomları çarparken böyle bir görevle zaten karşılaştınız:

Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.

- Toplamın karesi, kareler ve çift çarpımın toplamına eşittir.

— Farkın karesi, çift çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.

- Kareler farkı, fark ile toplamın çarpımına eşittir.

Bu üç kimlik, dönüşümlerde kişinin sol kısımlarını sağ taraftaki kısımlarla değiştirmesine ve sağ taraftaki kısımları da sol taraftaki kısımlarla değiştirmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.

Kitaplar (ders kitapları) Birleşik Devlet Sınavı özetleri ve OGE testleri Çevrimiçi oyunlar, bulmacalar Grafik fonksiyonları yazım sözlüğü Rus dili Gençlik argo sözlüğü Rus okulları kataloğu Rusya orta öğretim kurumları kataloğu Rus üniversiteleri kataloğu Sorun listesi GCD ve LCM bulma Bir polinomun basitleştirilmesi (polinomların çarpılması) Bir polinomun bir sütunla bir polinoma bölünmesi Sayısal kesirlerin hesaplanması Sayısal kesirlerin hesaplanması yüzdeler Karmaşık sayılar: toplam, fark, çarpım ve bölüm Sistemler 2 -X doğrusal denklemler iki değişkenli Çözüm ikinci dereceden denklem Bir binomun karesini ayırma ve ikinci dereceden bir trinomiyeli çarpanlarına ayırma Eşitsizlikleri çözme Eşitsizlik sistemlerini çözme İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini çizme Kesirli-doğrusal bir fonksiyonun grafiğini çizme Aritmetik ve geometrik ilerlemeleri çözme Trigonometrik, üstel, logaritmik denklemleri çözme Limitleri, türevleri, teğetleri hesaplama İntegral, antiderivatif Üçgenleri çözme Vektörlerle eylemlerin hesaplanması Doğrular ve düzlemlerle eylemlerin hesaplanması Alan geometrik şekiller Geometrik şekillerin çevresi Geometrik cisimlerin hacmi Geometrik cisimlerin yüzey alanı
Trafik Durumu Oluşturucu
Hava durumu - haberler - burçlar

www.mathsolution.ru

Genişleyen parantez

Cebirin temellerini incelemeye devam ediyoruz. Bu dersimizde ifadelerde parantezlerin nasıl genişletileceğini öğreneceğiz. Parantezleri genişletmek, parantezlerin ifadeden kaldırılması anlamına gelir.

Parantez açmak için yalnızca iki kuralı ezberlemeniz gerekir. Düzenli pratikle gözleriniz kapalı olarak parantezleri açabilir ve ezberlenmesi gereken kuralları güvenle unutabilirsiniz.

Parantez açmanın ilk kuralı

Aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun:

Bu ifadenin değeri 2 . Bu ifadedeki parantezleri açalım. Parantezleri genişletmek, ifadenin anlamını etkilemeden onlardan kurtulmak anlamına gelir. Yani parantezlerden kurtulduktan sonra ifadenin değeri 8+(−9+3) hala ikiye eşit olmalı.

Parantez açmanın ilk kuralı şudur:

Parantez açılırken parantezlerin önünde bir artı varsa bu artı parantezlerle birlikte atlanır.

Yani ifadede şunu görüyoruz 8+(−9+3) Parantezlerin önünde artı işareti bulunur. Bu artı parantezlerle birlikte atlanmalıdır. Yani parantezlerin önünde duran artı ile birlikte ortadan kaybolacaktır. Ve parantez içindekiler değişiklik yapılmadan yazılacaktır:

8−9+3 . Bu ifade eşittir 2 , önceki parantezli ifade gibi şuna eşitti: 2 .

8+(−9+3) Ve 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Örnek 2.İfadedeki parantezleri genişlet 3 + (−1 − 4)

Parantezlerin önünde bir artı vardır, bu da parantezlerle birlikte bu artının da atlandığı anlamına gelir. Parantez içindekiler değişmeden kalacaktır:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Örnek 3.İfadedeki parantezleri genişlet 2 + (−1)

Bu örnekte parantezlerin açılması, çıkarmanın toplamayla değiştirilmesinin bir tür ters işlemi haline geldi. Bu ne anlama geliyor?

İfadede 2−1 çıkarma meydana gelir, ancak toplama ile değiştirilebilir. Daha sonra ifadeyi elde ederiz 2+(−1) . Ama eğer ifadede 2+(−1) parantezleri açın, orijinali alırsınız 2−1 .

Bu nedenle parantez açmanın ilk kuralı, bazı dönüşümlerden sonra ifadeleri basitleştirmek için kullanılabilir. Yani parantezlerden kurtulun ve daha basit hale getirin.

Örneğin ifadeyi basitleştirelim 2a+a−5b+b .

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler verilebilir. Benzer terimleri azaltmak için benzer terimlerin katsayılarını toplayıp sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerektiğini hatırlayalım:

Bir ifade var 3a+(−4b). Bu ifadedeki parantezleri kaldıralım. Parantezlerin önünde bir artı var, bu yüzden parantezleri açarken ilk kuralı kullanıyoruz, yani parantezleri bu parantezlerden önce gelen artıyla birlikte atlıyoruz:

Yani ifade 2a+a−5b+b basitleştirir 3a−4b .

Bazı parantezleri açtıktan sonra yol boyunca başkalarıyla da karşılaşabilirsiniz. İlkine uyguladığımız kuralların aynısını onlara da uyguluyoruz. Örneğin aşağıdaki ifadede parantezleri genişletelim:

Parantezleri açmanız gereken iki yer var. Bu durumda, parantez açmanın ilk kuralı uygulanır; yani parantezlerin önündeki artı işaretiyle birlikte parantezlerin atlanması:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Örnek 3.İfadedeki parantezleri genişlet 6+(−3)+(−2)

Parantezlerin bulunduğu her iki yerde de önüne bir artı konur. Burada yine parantez açmanın ilk kuralı geçerlidir:

Bazen parantez içindeki ilk terim işaretsiz olarak yazılır. Örneğin, ifadede 1+(2+3−4) parantez içindeki ilk terim 2 işaretsiz yazılmıştır. Şu soru ortaya çıkıyor: Parantez ve parantezlerin önündeki artı çıkarıldıktan sonra ikisinin önünde hangi işaret görünecek? Cevap kendini gösteriyor - ikisinin önünde bir artı olacak.

Aslında parantez içinde bile ikisinin önünde artı var ama yazılmadığı için göremiyoruz. Pozitif sayıların tam gösteriminin şuna benzediğini söylemiştik: +1, +2, +3. Ancak geleneğe göre artılar yazılmaz, bu yüzden bize tanıdık gelen pozitif sayıları görürüz. 1, 2, 3 .

Bu nedenle ifadedeki parantezleri genişletmek için 1+(2+3−4) , her zamanki gibi, bu parantezlerin önündeki artı işaretiyle birlikte parantezleri çıkarmanız, ancak parantez içindeki ilk terimi artı işaretiyle yazmanız gerekir:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Örnek 4.İfadedeki parantezleri genişlet −5 + (2 − 3)

Parantezlerin önünde bir artı var, bu yüzden parantezleri açarken ilk kuralı uyguluyoruz, yani parantezleri bu parantezlerden önce gelen artı ile birlikte atlıyoruz. Ancak parantez içinde artı işaretiyle yazdığımız ilk terim:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Örnek 5.İfadedeki parantezleri genişlet (−5)

Parantezlerin önünde artı var ama önünde başka sayı veya ifade olmadığı için yazılmıyor. Görevimiz parantez açmanın ilk kuralını uygulayarak parantezleri kaldırmak yani bu artıyla birlikte parantezleri atlamak (görünmese bile)

Örnek 6.İfadedeki parantezleri genişlet 2a + (−6a + b)

Parantezlerin önünde bir artı vardır, bu da parantezlerle birlikte bu artının da atlandığı anlamına gelir. Parantez içindekiler değiştirilmeden yazılacaktır:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Örnek 7.İfadedeki parantezleri genişlet 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Bu ifadede parantezleri genişletmeniz gereken iki yer var. Her iki bölümde de parantezlerin önünde bir artı vardır, bu da bu artının parantezlerle birlikte atlandığı anlamına gelir. Parantez içindekiler değiştirilmeden yazılacaktır:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Parantez açmanın ikinci kuralı

Şimdi parantez açmanın ikinci kuralına bakalım. Parantezlerin önünde eksi olduğu durumlarda kullanılır.

Parantezlerden önce bir eksi varsa, bu eksi parantezlerle birlikte atlanır, ancak parantez içindeki terimler işaretlerini tersine değiştirir.

Örneğin aşağıdaki ifadede parantezleri genişletelim.

Parantezlerin önünde bir eksi olduğunu görüyoruz. Bu, ikinci genişletme kuralını uygulamanız gerektiği anlamına gelir; yani parantezleri ve bu parantezlerin önündeki eksi işaretini atlayın. Bu durumda parantez içindeki terimlerin işaretleri ters yönde değişecektir:

Parantezsiz bir ifademiz var 5+2+3 . Bu ifade 10'a eşittir, tıpkı önceki parantezli ifadenin 10'a eşit olması gibi.

Böylece ifadeler arasında 5−(−2−3) Ve 5+2+3 aynı değere eşit oldukları için eşittir işareti koyabilirsiniz:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Örnek 2.İfadedeki parantezleri genişlet 6 − (−2 − 5)

Parantezlerin önünde bir eksi var, bu yüzden parantezleri açarken ikinci kuralı uyguluyoruz, yani parantezleri ve bu parantezlerin önüne gelen eksiyi atlıyoruz. Bu durumda parantez içindeki terimleri zıt işaretlerle yazıyoruz:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Örnek 3.İfadedeki parantezleri genişlet 2 − (7 + 3)

Parantezlerin önünde bir eksi var, bu yüzden parantezleri açarken ikinci kuralı uyguluyoruz:

Örnek 4.İfadedeki parantezleri genişlet −(−3 + 4)

Örnek 5.İfadedeki parantezleri genişlet −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Parantezleri açmanız gereken iki yer var. İlk durumda parantez açmak için ikinci kuralı uygulamanız gerekir ve sıra ifadeye gelince +(−9−2) ilk kuralı uygulamanız gerekir:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Örnek 6.İfadedeki parantezleri genişlet −(−a − 1)

Örnek 7.İfadedeki parantezleri genişlet −(4a + 3)

Örnek 8.İfadedeki parantezleri genişlet A − (4b + 3) + 15

Örnek 9.İfadedeki parantezleri genişlet 2a + (3b - b) - (3c + 5)

Parantezleri açmanız gereken iki yer var. İlk durumda parantez açmak için ilk kuralı uygulamanız gerekir ve sıra ifadeye gelince −(3c+5) ikinci kuralı uygulamanız gerekir:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

Örnek 10.İfadedeki parantezleri genişlet −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Braketleri açmanız gereken üç yer var. Öncelikle parantez açmak için ikinci kuralı, ardından birinci kuralı ve sonra tekrar ikinci kuralı uygulamanız gerekir:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Braket açma mekanizması

Şimdi incelediğimiz parantez açma kuralları, çarpmanın dağılım yasasına dayanmaktadır:

Aslında parantez açma ortak faktörün parantez içindeki her terimle çarpılması işlemidir. Bu çarpma sonucunda parantezler kaybolur. Örneğin ifadedeki parantezleri genişletelim. 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Bu nedenle, bir sayıyı parantez içindeki bir ifadeyle çarpmanız (veya parantez içindeki bir ifadeyi bir sayıyla çarpmanız) gerekiyorsa, şunu söylemeniz gerekir: parantezleri açalım.

Peki çarpmanın dağılım yasasının daha önce incelediğimiz parantez açma kurallarıyla ilişkisi nedir?

Gerçek şu ki, herhangi bir parantezden önce ortak bir faktör var. Örnekte 3×(4+5) ortak faktör 3 . Ve örnekte a(b+c) ortak faktör bir değişkendir A.

Parantezlerden önce sayı veya değişken yoksa ortak çarpan şudur: 1 veya −1 parantezlerin önünde hangi işaretin olduğuna bağlı olarak. Parantezlerin önünde artı varsa ortak çarpan şudur: 1 . Parantezlerden önce eksi varsa ortak çarpan şudur: −1 .

Örneğin ifadedeki parantezleri genişletelim. −(3b−1). Parantezlerin önünde bir eksi işareti vardır, bu nedenle parantezleri açmak için ikinci kuralı kullanmanız gerekir, yani parantezlerin önündeki eksi işaretiyle birlikte parantezleri de atlayın. Ve parantez içindeki ifadeyi zıt işaretlerle yazın:

Parantezleri genişletme kuralını kullanarak parantezleri genişlettik. Ancak aynı parantezler çarpmanın dağıtım yasası kullanılarak açılabilir. Bunu yapmak için, önce parantezlerin önüne yazılmayan ortak faktör 1'i yazın:

Daha önce parantezlerin önünde duran eksi işareti bu birime işaret ediyordu. Artık çarpmanın dağıtım yasasını kullanarak parantezleri açabilirsiniz. Bu amaçla ortak faktör −1 parantez içindeki her terimi çarpmanız ve sonuçları eklemeniz gerekir.

Kolaylık olması açısından parantez içindeki farkı şu tutarla değiştiririz:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Geçen seferki gibi ifadeyi aldık −3b+1. Herkes bu sefer bu kadar basit bir örneği çözmek için daha fazla zaman harcandığını kabul edecektir. Bu nedenle parantez açmak için bu derste tartıştığımız hazır kuralları kullanmak daha akıllıca olacaktır:

Ancak bu kuralların nasıl çalıştığını bilmenin zararı olmaz.

Bu derste bir şeyi daha öğrendik özdeş dönüşüm. Parantezleri açmak, geneli parantezlerin dışına çıkarmak ve benzer terimleri getirmekle birlikte çözülmesi gereken problemlerin kapsamını biraz genişletebilirsiniz. Örneğin:

Burada iki eylem gerçekleştirmeniz gerekiyor - önce parantezleri açın ve ardından benzer terimleri getirin. Yani sırasıyla:

1) Braketleri açın:

2) Benzer terimleri sunuyoruz:

Ortaya çıkan ifadede −10b+(−1) parantezleri genişletebilirsiniz:

Örnek 2. Parantezleri açın ve aşağıdaki ifadeye benzer terimleri ekleyin:

1) Parantezleri açalım:

2) Benzer terimleri sunalım. Bu kez zamandan ve yerden tasarruf etmek için katsayıların ortak harf kısmıyla nasıl çarpıldığını yazmayacağız.

Örnek 3. Bir ifadeyi basitleştirme 8m+3m ve değerini bulun m=−4

1) Öncelikle ifadeyi basitleştirelim. İfadeyi basitleştirmek için 8m+3m, içindeki ortak çarpanı çıkarabilirsiniz M parantezlerin dışında:

2) İfadenin değerini bulun m(8+3) en m=−4. Bunu yapmak için ifadede m(8+3) değişken yerine M numarayı değiştir −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Parantezler sayısal, değişmez ve değişken ifadelerde eylemlerin gerçekleştirilme sırasını belirtmek için kullanılır. Parantezli bir ifadeden, parantezsiz aynı derecede eşit bir ifadeye geçmek uygundur. Bu tekniğe açma parantezleri denir.

Parantezleri genişletmek, parantezlerin ifadeden kaldırılması anlamına gelir.

Parantezleri açarken kararların kaydedilmesinin özellikleriyle ilgili bir nokta daha özel ilgiyi hak ediyor. Parantezli başlangıç ​​ifadesini ve parantez açıldıktan sonra elde edilen sonucu eşitlik olarak yazabiliriz. Örneğin ifade yerine parantezleri genişlettikten sonra
3−(5−7) 3−5+7 ifadesini elde ederiz. Bu ifadelerin her ikisini de 3−(5−7)=3−5+7 eşitliği olarak yazabiliriz.

Ve bir tane daha önemli nokta. Matematikte, gösterimleri kısaltmak için, bir ifadede veya parantez içinde ilk önce artı işareti görünüyorsa, artı işaretinin yazılmaması gelenekseldir. Örneğin, yedi ve üç gibi iki pozitif sayıyı toplarsak, yedinin de pozitif bir sayı olmasına rağmen +7+3 değil, yalnızca 7+3 yazarız. Benzer şekilde, örneğin (5+x) ifadesini görürseniz - parantezden önce yazılmayan bir artı olduğunu ve beşten önce bir artı +(+5+x) olduğunu bilin.

Toplama sırasında parantez açma kuralı

Parantez açılırken parantezlerin önünde bir artı varsa bu artı parantezlerle birlikte atlanır.

Örnek. 2+(7+3) ifadesinde parantezleri açın. Parantezlerin önünde artı var yani parantez içindeki sayıların önündeki işaretleri değiştirmiyoruz.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Çıkarma işleminde parantez açma kuralı

Parantezlerden önce bir eksi varsa, bu eksi parantezlerle birlikte atlanır, ancak parantez içindeki terimler işaretlerini tersine değiştirir. Parantez içindeki ilk terimden önce işaret gelmemesi + işareti anlamına gelir.

Örnek. 2 − (7 + 3) ifadesindeki parantezleri genişletin

Parantezlerin önünde eksi var yani parantez içindeki sayıların önündeki işaretleri değiştirmeniz gerekiyor. Parantez içinde 7 rakamının önünde herhangi bir işaret bulunmaz, bu yedinin pozitif olduğu anlamına gelir, önünde + işareti olduğu kabul edilir.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Parantezleri açarken, parantezlerin önündeki eksiyi ve parantezlerin kendisini 2 - (+ 7 + 3) örnekten çıkarırız ve parantez içindeki işaretleri zıt işaretlerle değiştiririz.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Çarpma işleminde parantezlerin genişletilmesi

Parantezlerin önünde çarpma işareti varsa, parantez içindeki her sayı parantez önündeki çarpanla çarpılır. Bu durumda bir eksiyi bir eksi ile çarpmak bir artı verir ve bir eksiyi bir artı ile çarpmak, tıpkı bir artıyı bir eksi ile çarpmak gibi, bir eksi verir.

Böylece çarpımlardaki parantezler çarpma işleminin dağılma özelliğine uygun olarak genişletilir.

Örnek. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Bir parantezi bir parantezle çarptığınızda, ilk parantez içindeki her terim ikinci parantez içindeki her terimle çarpılır.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Aslında kuralların hepsini hatırlamaya gerek yok, sadece birini hatırlamak yeterli: c(a−b)=ca−cb. Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız (a−b)=a−b kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak −(a−b)=−a+b kuralını elde ederiz. Eğer c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.

Bölme işleminde parantezlerin açılması

Parantezlerden sonra bölme işareti varsa, parantez içindeki her sayı, parantezden sonraki bölene bölünür ve bunun tersi de geçerlidir.

Örnek. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

İç içe parantezler nasıl genişletilir

Bir ifade iç içe geçmiş parantez içeriyorsa, bunlar dıştaki veya içteki parantezlerden başlayarak sırayla genişletilir.

Bu durumda, parantezlerden birini açarken kalan parantezlere dokunmamanız, onları olduğu gibi yeniden yazmanız önemlidir.

Örnek. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Parantezlerin ana işlevi, değerleri hesaplarken eylemlerin sırasını değiştirmektir. Örneğin\(5·3+7\) sayısal ifadesinde önce çarpma, sonra toplama hesaplanır: \(5·3+7 =15+7=22\). Ancak \(5·(3+7)\) ifadesinde önce parantez içindeki toplama işlemi, sonra da çarpma işlemi hesaplanır: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Örnek. Parantezi genişletin: \(-(4m+3)\).
Çözüm : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Örnek. Parantezi açın ve benzer terimleri \(5-(3x+2)+(2+3x)\) verin.
Çözüm : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Örnek. Parantezleri genişletin \(5(3-x)\).
Çözüm : Parantez içinde \(3\) ve \(-x\) var ve köşeli parantezden önce beş var. Bu, parantezin her bir üyesinin \(5\) ile çarpıldığı anlamına gelir - size şunu hatırlatırım Matematikte bir sayı ile parantez arasındaki çarpma işareti girdilerin boyutunu küçültmek için yazılmaz..

Örnek. Parantezleri genişletin \(-2(-3x+5)\).
Çözüm : Önceki örnekte olduğu gibi parantez içindeki \(-3x\) ve \(5\) \(-2\) ile çarpılır.

Örnek. İfadeyi basitleştirin: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Çözüm : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Son durumu dikkate almaya devam ediyor.

Bir parantez bir parantezle çarpıldığında, birinci parantezdeki her terim ikincinin her terimiyle çarpılır:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Örnek. Parantezleri genişletin \((2-x)(3x-1)\).
Çözüm : Parantezlerden oluşan bir ürünümüz var ve yukarıdaki formül kullanılarak hemen genişletilebiliyor. Ancak kafamızın karışmaması için her şeyi adım adım yapalım.
Adım 1. İlk parantezi kaldırın - terimlerinin her birini ikinci parantezle çarpın:

Adım 2. Yukarıda açıklandığı gibi parantezlerin çarpımlarını ve çarpanları genişletin:
- Her şey sırayla...

Sonra ikincisi.

Adım 3. Şimdi benzer terimleri çarpıyoruz ve sunuyoruz:

Tüm dönüşümleri bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, hemen çoğaltabilirsiniz. Ancak parantez açmayı yeni öğreniyorsanız, detaylı yazarsanız hata yapma şansınız daha az olacaktır.

Bölümün tamamına not. Aslında dört kuralın tümünü hatırlamanıza gerek yok, yalnızca birini hatırlamanız yeterli: \(c(a-b)=ca-cb\) . Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız \((a-b)=a-b\) kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak \(-(a-b)=-a+b\) kuralını elde ederiz. Eğer c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.

Parantez içinde parantez

Bazen pratikte diğer parantezlerin içine yerleştirilmiş parantezlerle ilgili sorunlar yaşanabilir. İşte böyle bir göreve bir örnek: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadesini basitleştirin.

Bu tür görevleri başarıyla çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:
- parantezlerin yuvalanmasını dikkatlice anlayın - hangisinin içinde olduğunu;
- parantezleri örneğin en içteki olandan başlayarak sırayla açın.

Braketlerden birini açarken önemlidir ifadenin geri kalanına dokunmayın, olduğu gibi yeniden yazıyorum.
Örnek olarak yukarıda yazılan göreve bakalım.

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Çözüm:

Örnek. Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\).
Çözüm :

Parantezleri genişletmek matematikte temel bir beceridir. Bu beceri olmadan 8. ve 9. sınıfta C'nin üzerinde not almanız mümkün değildir. Bu nedenle bu konuyu iyi anlamanızı tavsiye ederim.

Cebirde ele alınan çeşitli ifadeler arasında monomların toplamları önemli bir yer tutar. İşte bu tür ifadelere örnekler:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Monomiyallerin toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.

Örneğin, bir polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
basitleştirilebilir.

Tüm terimleri standart formdaki tek terimli formda temsil edelim:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.

Arka polinom derecesi standart bir biçimde üyelerinin yetkilerinden en yüksek olanı alır. Böylece, \(12a^2b - 7b\) binom üçüncü dereceye, \(2b^2 -7b + 6\) ise ikinci dereceye sahiptir.

Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).

Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Kapalı parantez, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:

Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.

Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.

Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, bir monom ile bir polinomun çarpımını bir polinoma dönüştürebilirsiniz (basitleştirebilirsiniz). Örneğin:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.

Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.

Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.

Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.

Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)

Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her bir terimi ile diğerinin her bir teriminin çarpımının toplamına tamamen eşittir.

Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.

Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.

Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı

Cebirsel dönüşümlerde bazı ifadelerle diğerlerinden daha sık uğraşmanız gerekir. Belki de en yaygın ifadeler \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ve \(a^2 - b^2 \), yani toplamın karesi, karelerin farkı ve farkı. Bu ifadelerin adlarının eksik göründüğünü fark ettiniz, örneğin \((a + b)^2 \) elbette sadece toplamın karesi değil, a ve b toplamının karesidir. . Ancak a ve b toplamının karesi çok sık görülmez; kural olarak a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifadeleri kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir); aslında, polinomları çarparken bu görevle zaten karşılaştınız:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - toplamın karesi, karelerin ve çift çarpımın toplamına eşittir.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farkın karesi, iki katı çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.

Bu üç kimlik, dönüşümlerde kişinin sol kısımlarını sağ taraftaki kısımlarla değiştirmesine ve sağ taraftaki kısımları da sol taraftaki kısımlarla değiştirmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.