§ 1 Tamsayı ve kesirli rasyonel denklemler

Bu dersimizde rasyonel denklem gibi kavramlara bakacağız. rasyonel ifade, tamsayı ifadesi, kesirli ifade. Çözümü düşünelim rasyonel denklemler.

Rasyonel denklem, sol ve sağ tarafların rasyonel ifadeler olduğu bir denklemdir.

Rasyonel ifadeler şunlardır:

Kesirli.

Tamsayı ifadesi, sıfırdan farklı bir sayıya toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini kullanan sayılardan, değişkenlerden, tam sayı kuvvetlerinden oluşur.

Örneğin:

Kesirli ifadeler, bir değişkene veya değişkenli bir ifadeye bölünmeyi içerir. Örneğin:

Kesirli bir ifade, içinde yer alan değişkenlerin tüm değerleri için bir anlam ifade etmez. Örneğin, ifade

x = -9'da bu mantıklı değil çünkü x = -9'da payda sıfıra gidiyor.

Bu, rasyonel bir denklemin tam sayı veya kesirli olabileceği anlamına gelir.

Tam bir rasyonel denklem, sol ve sağ tarafların tam ifadeler olduğu rasyonel bir denklemdir.

Örneğin:

Kesirli rasyonel denklem, sol veya sağ tarafların kesirli ifadeler olduğu rasyonel bir denklemdir.

Örneğin:

§ 2 Bütün bir rasyonel denklemin çözümü

Bütün bir rasyonel denklemin çözümünü düşünelim.

Örneğin:

Denklemin her iki tarafını da içerdiği kesirlerin paydalarının en küçük ortak paydasıyla çarpalım.

Bunun için:

1. 2, 3, 6 numaralı paydaların ortak paydasını bulun. 6'ya eşittir;

2. Her kesir için ek bir faktör bulun. Bunu yapmak için ortak payda 6'yı her bir paydaya bölün.

kesir için ek faktör

kesir için ek faktör

3. Kesirlerin paylarını karşılık gelen ek faktörlerle çarpın. Böylece denklemi elde ederiz

verilen denkleme eşdeğerdir

Soldaki parantezleri açalım, sağ kısmı sola kaydıralım, terimin işaretini ters yöne çevirelim.

Polinomun benzer terimlerini getirelim ve

Denklemin doğrusal olduğunu görüyoruz.

Bunu çözdükten sonra x = 0,5 olduğunu buluruz.

§ 3 Kesirli rasyonel denklemin çözümü

Kesirli bir rasyonel denklem çözmeyi düşünelim.

Örneğin:

1. Denklemin her iki tarafını, içerdiği rasyonel kesirlerin paydalarının en küçük ortak paydasıyla çarpın.

x + 7 ve x - 1 paydalarının ortak paydasını bulalım.

(x + 7)(x - 1) çarpımlarına eşittir.

2. Her rasyonel kesir için ek bir faktör bulalım.

Bunu yapmak için ortak paydayı (x + 7)(x - 1) her bir paydaya bölün. Kesirler için ek faktör

x - 1'e eşit,

kesir için ek faktör

x+7'ye eşittir.

3. Kesirlerin paylarını karşılık gelen ek faktörlerle çarpın.

Bu denkleme eşdeğer olan (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) denklemini elde ederiz.

4.Binom'u sol ve sağdaki binom ile çarpın ve aşağıdaki denklemi elde edin

5. Tersine aktarırken her terimin işaretini değiştirerek sağ tarafı sola hareket ettiriyoruz:

6. Polinomun benzer terimlerini sunalım:

7. Her iki taraf da -1'e bölünebilir. Aldık ikinci dereceden denklem:

8. Çözdükten sonra kökleri bulacağız

Denklemden beri.

sol ve sağ taraflar kesirli ifadelerdir ve kesirli ifadelerde değişkenlerin bazı değerleri için payda sıfır olabiliyor o zaman x1 ve x2 bulunca ortak paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmek gerekir .

x = -27'de ortak payda (x + 7)(x - 1) kaybolmaz; x = -1'de ortak payda da kaybolmaz sıfıra eşit.

Dolayısıyla hem -27 hem de -1 kökleri denklemin kökleridir.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözerken, kabul edilebilir değerlerin aralığını hemen belirtmek daha iyidir. Ortak paydanın sıfıra gittiği değerleri ortadan kaldırın.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmenin başka bir örneğini ele alalım.

Örneğin denklemi çözelim

Kesirin paydasını denklemin sağ tarafına çarpanlara ayırıyoruz

Denklemi elde ederiz

Paydaların (x - 5), x, x(x - 5) ortak paydasını bulalım.

Bu x(x - 5) ifadesi olacaktır.

Şimdi denklemin kabul edilebilir değerlerinin aralığını bulalım

Bunu yapmak için ortak paydayı sıfır x(x - 5) = 0'a eşitliyoruz.

Çözerek x = 0 veya x = 5'te ortak paydanın sıfıra gittiğini bulduğumuz bir denklem elde ederiz.

Bu, x = 0 veya x = 5'in denklemimizin kökleri olamayacağı anlamına gelir.

Artık ek çarpanlar bulunabilir.

Rasyonel kesirler için ek faktör

kesir için ek faktör

(x - 5) olacak,

ve kesrin ek faktörü

Payları karşılık gelen ek faktörlerle çarpıyoruz.

x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5) denklemini elde ederiz.

Sol ve sağdaki parantezleri açalım, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Aktarılan terimlerin işaretini değiştirerek terimleri sağdan sola taşıyalım:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ve benzer terimleri getirdikten sonra ikinci dereceden x2 - 3x - 10 = 0 denklemi elde ediyoruz. Çözdükten sonra x1 = -2 köklerini buluyoruz; x2 = 5.

Ancak x = 5'te x(x - 5) ortak paydasının sıfıra gittiğini zaten öğrenmiştik. Bu nedenle denklemimizin kökü

x = -2 olacaktır.

§ 4 Kısa özet ders

Hatırlanması gereken önemli:

Kesirli rasyonel denklemleri çözerken aşağıdakileri yapın:

1. Denklemde yer alan kesirlerin ortak paydasını bulun. Ayrıca, eğer kesirlerin paydaları çarpanlarına ayrılabiliyorsa, bunları çarpanlarına ayırın ve ardından ortak paydayı bulun.

2. Denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarpın: ek faktörleri bulun, payları ek faktörlerle çarpın.

3. Ortaya çıkan denklemin tamamını çözün.

4. Ortak paydayı ortadan kaldıranları köklerinden eleyin.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Telyakovsky S.A. tarafından düzenlenmiştir. Cebir: ders kitabı. 8. sınıf için. Genel Eğitim kurumlar. - M.: Eğitim, 2013.
2. Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf: İki bölüm halinde. Bölüm 1: Ders Kitabı. genel eğitim için kurumlar. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Cebirde ders gelişmeleri: 8. sınıf - M.: VAKO, 2010.
4. Cebir 8. sınıf: Yu.N.'nin ders kitabına dayalı ders planları. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neşkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. TL Afanasyeva, Los Angeles Tapilina. -Volgograd: Öğretmen, 2005.

8. sınıf “Kesirli rasyonel denklemlerin çözümü” cebir üzerine ders-atölye

Dersin Hedefleri:

eğitici – konu materyalinin tekrarı, genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi; grafik kültürünün geliştirilmesi; bilgi ve beceri kazanımının kontrolü.

gelişimsel - matematiksel ve genel bakış açısının geliştirilmesi, dikkat, karşılaştırma, sınıflandırma, analiz ve kendi kendine analiz becerilerinin geliştirilmesi.

eğitici - matematiğe, onun tarihine ve uygulamalarına ilgiyi teşvik etmek; Faaliyetleri ve genel kültürü teşvik etmek.

Ekipman: multimedya projektörü, sunum, PC, “Tarihsel Rapor”, destekleyici notlar-görevler, tahtada grafikli boş tablolar.

Motivasyon - oryantasyon aşaması

Bilgiyi güncelleme

Tahtada önerilen görevlerden tekrarlamanıza izin verenleri seçin:

a) değişkenin kabul edilebilir değerleri;

b) binomun tam karesinin belirlenmesi;

c) orantı grafiğinin koordinat sistemindeki konumu;

d) fonksiyon grafiğinin dikey ve yatay asimptotları;

e) kesirli rasyonel denklemleri çözmenin yolları (çocuklar onları isimlendirdiğinde tahtaya yazmanın yolları):

1) grafik;

2) orantıyı kullanmak - oranın temel özelliğine göre;

3) kesirin sıfıra eşit olması koşuluyla denklemin dönüştürülmesi;

4) paydaları aynı olan kesirlerin eşitliği koşulu.

Slayttaki görevler (sözlü çalışma)

1. Bu kesir değişkenin hangi değerlerinde mevcut?

a) b)
?

2. Faktör

a) 16x 2 +8xy+y 2 b) x 2 -6x+9

3. Fonksiyon grafiklerinin koordinat sistemindeki yeri nedir ve nasıl belirlenir?

A)
B)

4. Denklemi çözün

A)
B)

5. Resme ve denkleme dayanarak bir problem oluşturun:

6. Denklemleri çözüm yöntemlerine göre sınıflandırın

a) x 2 – 11x + 30 = 0;

B). 8x2 - 7x = 0;

V). x2 - 4 = 0;

G). x(4x + 9) = 0.;

D)
;

e)
;

Ve)
;

II. Ana sahne

a) Eğitim görevleri (tahtada 5 kişi, geri kalanı defterde, ön kontrol)

Tahtadaki “sessiz” kontrol ile iki seçeneğe karar verin (grafikler hazırlayın).

b) Ömer Hayyam hakkında tarihi materyal. (Ek 3)

Görev. Denklemi çözün.

Karar x

, Nerede
,

c) Seviyeye göre 3 seçenekte öz kontrol unsurları içeren gruplar halinde farklılaştırılmış çalışma.

Bir matematik öğretmeni rolünü oynamanızı ve size önerilen denklemlerin çözümlerini düzeltmenizi öneririm, görev herkes için farklıdır. İlerleme durumunuzu ders notlarına işaretlemeyi unutmayın.

Tahtada çözüm yoluyla kendi kendine test (3 öğrenci) - her gruptan 1 kişi ayrılır

III.FİZİKSEL DAKİKA

Sınıf duvarına yerleştirilen geometrik şekillerin kullanıldığı göz egzersizleri.

Amaç: Görsel aktiviteyi genişletmek, dersteki yorgunluğu gidermek.

Whatman kağıdına çeşitli renkli şekiller (kare, daire, eşkenar dörtgen vb.) tasvir edilmiş, kesilip ofisteki duvara yerleştirilmiştir.

Fiziksel egzersiz sırasında öğretmen tarafından çocuğa bakışlarını sırayla bir figürden diğerine (bağımsız olarak) veya şeklin adına (renk) göre hareket ettirme görevi verilir. Egzersiz oturarak veya ayakta yapılabilir.

Alıştırmalar: “8”, “sonsuzluk işareti”, “geometrik alıştırmalar”.

Amaç: görsel gerginliği gidermek.

Görev 1: Tahtaya bir sayı çizmek için göz hareketlerinizi kullanın 8 .

Görev 2: Tahtaya bir sonsuzluk işareti çizmek için göz hareketlerinizi kullanın. ∞ .

Bu alıştırma şiirsel talimatlar şeklinde çeşitlendirilebilir:

Gözlerinizle bir üçgen çizin.
Şimdi onu ters çevirin.
Ve yine çevreyi yönlendirmek için gözlerinizi kullanın.
Dikey olarak sekiz rakamı çizin.
Başını çevirme
Sadece gözlerine dikkat et
Suyun çizgilerini takip ediyorsunuz.
Ve bir kenara koyun.
Şimdi yatay olarak izle
Ve ortada durursun.
Gözlerinizi sıkıca kapatın, tembel olmayın.
Sonunda gözlerimizi açıyoruz.
Şarj işlemi sona erdi. Tebrikler

IV.YARATICI ikili çalışma: Problemin koşulunu çizin, problem için denklem yapın:

V. Öğrenilenlerin pekiştirilmesi

A) 695 Sayılı (a) - Ayrıntılı açıklamayla birlikte kurulda

B) Test şeklinde bağımsız çalışma (2 seçenek). Slayttaki tuşa göre kontrol edin.

Testin anahtarı:

VI.Ödev: Sayı 690 (güçlü - hepsi, zayıf - 1 sütun, problem kurma, denklemi ve resme göre bunu kimin çözebileceği) TEST ÇALIŞMASINA HAZIRLANIN

Bir sonraki EJ dersi için 4 test seçeneğinin bulunduğunu lütfen unutmayın.

Destekleyici taslaktaki cümleleri tamamlayın:

Bugün sınıfta ben...

Farkettim ki...

Ben istiyorum…

Şuna ikna oldum...

VIII.DEĞERLENDİRME

DEĞERLENDİRME BELGESİ

IX.Ek olarak:

İlginç görev süresi: Dünya ekvator boyunca bir şeritle çevrelenmişti. Daha sonra bu şerit 1 m kadar uzatılarak tekrar ekvator çevresine eşit şekilde dağıtıldı. Bir kedi boşluğa sığar mı? /Ekvatorun uzunluğu, fizik referans kitabında Dünya'nın yarıçapı/.

Çözüm. Dünyanın yarıçapı R cm olsun, ekvatorunu sıkan çemberin uzunluğu C = 2 P R cm olsun, çemberin uzunluğu 1 m = 100 cm artırıldığında yeni çemberin uzunluğu şu şekilde olur: C 1 = 2 P R + 100 cm veya
C 1 = 2 P R 1 cm, burada R 1 cm, yeni kasnağın yarıçapının uzunluğudur. Burada ekvatorun her bölümündeki boşluğun aynı olduğu ve R 1 - R'ye eşit olduğu varsayılmaktadır; karekök formüllerine bakınız. denklemler; becerilerde ustalık çözümler akılcı denklemler ... Ders-atölye. Açık ders ...

Belediye eğitim kurumu

Ortalama Kapsamlı okul №21

Rasyonel denklemler.

(8. sınıf)

Matematik öğretmeni:

Kvasnitskaya I.V.

Kovrov,

2010-2011

Ders: Rasyonel denklemler.

Hedef: Rasyonel denklemleri çözme becerilerinin oluşturulması.

Görevler:- “Rasyonel denklem” kavramının oluşumu;

Rasyonel denklemleri çeşitli şekillerde çözme becerilerinin oluşturulması;

Cebirsel kesirleri dönüştürme becerilerini geliştirmek;

Cebirsel kesirlerin dönüştürülmesinde kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması becerisinin geliştirilmesi;

Zihinsel sayma becerilerini geliştirmek;

Zihinsel operasyonların gelişimi;

Yetkili matematiksel konuşma ve doğruluk geliştirmek;

İşbirliği ve karşılıklı yardımın geliştirilmesi.

Ders planı:

1. Eğitim faaliyetleri için kendi kaderini tayin etme.

2. Bilgiyi güncellemek ve faaliyetteki zorlukları düzeltmek.

3. Zorluğun nedenini belirlemek ve etkinlik için hedefler belirlemek.

4. Zorluktan çıkış projesinin yapılması.

5. Dış konuşmada birincil konsolidasyon.

6. Standarda göre kendi kendine test ile bağımsız çalışma.

7. Bilgi sistemine dahil olma ve tekrarlama.

8. Dersteki etkinliklerin yansıması.

9. Ödev.

Dersler sırasında.

Ekipman, tanıtım malzemesi:

1) bilgiyi güncelleme görevleri

№ 1 · ·

№2
+
:
-

№ 3
-2x=
+

№ 4
=0.

2) Denklemleri çözmek için algoritma

1) Kesirleri soldaki ortak paydaya indirgeyin ve doğru parçalar denklemler

2) Kuralları kullanın:

a) kesir sıfıra eşittir;

b) orantı özellikleri;

c) kesirlerin eşitliği.

3) Rasyonel denklemleri çözmek için algoritma

4) Dış konuşmada birincil konsolidasyon görevi

-
=
,

-
=,

+
=, | ·3(2x-1)(2x+1)

(2x+1)(3x-1)+3=3(2x-1)x,

6x 2 -2x+3x-1+3=6x 2 -3x,

5) görevi çiftler halinde tamamlama örneği

№ 250(b)

=
,

O.D.Z.: x≠2,

2- O.D.Z'ye dahil değildir.

Cevap. kök yok

6) bağımsız çalışmanın kendi kendini test etme standardı

+
=0,

O.D.Z.: t≠1,6; t≠,

=0,

=0,

46t+46=0,

t=1- O.D.Z'ye dahildir.

Cevap. 1.

Dersler sırasında

1. Eğitim faaliyetleri için kendi kaderini tayin etme

- Merhaba! Önceki derslerde hangi konuyu işlemiştik? (Rasyonel ifadelerin dönüştürülmesi.)

– Geçmiş derslerde çok şey öğrendiniz ve bu bilgi bugün yeni bir “keşif” yapmanıza yardımcı olacak.

2. Bilgilerin güncellenmesi ve faaliyetlerdeki zorlukların kaydedilmesi

Sahnenin amacı:

1) yeni materyalin algılanması için gerekli ve yeterli olan eğitim içeriğini güncellemek: cebirsel kesirlerle işlemler;

2) yeni materyalin algılanması için gerekli ve yeterli zihinsel işlemlerin güncellenmesi: karşılaştırma, analiz, genelleme;

3) tekrarlanan tüm kavramları ve algoritmaları diyagramlar ve semboller biçiminde kaydedin;

4) kişisel olarak gösteren bir aktivitedeki bireysel zorluğu kaydedin önemli seviye Yetersiz mevcut bilgi: rasyonel bir denklemi çözün.

2. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

1. Tahtada: ··

İfadenin değeri hangi değişkenlerin değerlerine bağlı değildir? Tüm geçerli değişken değerlerini sağlayın.

2. Tahtada: +:-

Prosedürü belirtin. Birinci kesrin paydasındaki binom değerini çarpanlara ayırmak için hangi kısaltılmış çarpma formülünü kullanıyorsunuz? Not defterinizde 1. adımı tamamlayın. (Kapalı tahtada 1 öğrenci bulunmaktadır.)

Peki cevap neydi? Herkes bu cevabı aldı mı? Bundan sonra hangi eylemi gerçekleştirmelisiniz? Cebirsel kesirleri aynı anda toplamak ve çıkarmak mümkün mü? Bu sonucu etkiler mi?

Lütfen 2. adımı tamamlayın, cevabınızı tahtadaki cevapla kontrol edin. ( Çiftler halinde çalışın).

3. Gruplara atama. Denklemi çözün: -2x=+

Bunu çözmek için hangi algoritmayı kullandınız? ( formüle etmek tahtaya yayınlayın. Dikkate almak çeşitli yollarçözümler)

4. - Denklemi çözün: =0. Bu denklemin öncekinden farkı nedir? (paydada değişken). Bunu çözmenin bir yolunu biliyor musun? (HAYIR).

3. Zorluğun nedenini belirlemek ve aktivite için hedefler belirlemek

Sahnenin amacı:

1) iletişimsel etkileşimi organize edin; ayırt edici özelliköğrenme aktivitelerinde zorluk yaratan bir görev;

2) dersin amacı ve konusu üzerinde anlaşın.

3. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

Bu denklemin sol tarafı nedir? Bu denklemin sağ tarafı nedir? Bu tür denklemlere ne denir? (Rasyonel denklem)

Ders. Hedef. ( Öğrenciler kendilerini formüle ederler.)

Peki hangi denkleme rasyonel denir? ( öğrenciler formüle eder) Ders kitabındaki tanımla karşılaştırın.

4. Zorluktan çıkış projesinin yapılması

Sahnenin amacı:

1) belirlenen zorluğun nedenini ortadan kaldıran yeni bir eylem yöntemi oluşturmak için iletişimsel etkileşimi organize etmek;

2) düzeltmek yeni yol sembolik, sözlü biçimde ve bir algoritma kullanarak eylemler.

4. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

Verilen denklemi çözmede neden zorluk yaşandığını düşünüyorsunuz? (Nasıl çözeceğimizi bilmiyoruz.)

Ne gibi önerileriniz vardı? (Bir kesrin sıfıra eşit olması özelliğini kullanın: (x-9) sıfıra eşit olamaz, dolayısıyla (2x-10) 0'a eşittir ve buradan x=5'i buluruz.)

Grup ödevi. Denklemi çözün : =
-

Hangi çözüm algoritmasını kullandınız? (Dersin başında olduğu gibi).

Bu rasyonel denklemi çözmenin dersin başında çözülenden bir farkı var mı? (Evet, kesrin paydasının sıfıra eşit olamayacağını, yani değişkenin izin verilen değerlerinin aralığını bulmayı unutmamak gerekir.)

Rasyonel denklemlerin çözümü için algoritmaya bu özellik eklenmeli mi? (Kesinlikle.)

-

1) Paydayı çarpanlara ayırın.

2) Değişkenin izin verilen değerlerinin aralığını bulun.

3) Denklemin sol ve sağ taraflarındaki kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

4) Kuralları kullanın:

a) kesir sıfıra eşittir;

b) orantı özellikleri;

c) kesirlerin eşitliği.

6. Standarda göre kendi kendine test ile bağımsız çalışma

Sahnenin amacı:

Çözümünüzü bir kendi kendine test standardı ile karşılaştırarak yeni eğitim içeriğini standart koşullar altında uygulama yeteneğinizi test edin.

6. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

İşler standarda göre kontrol edilir. Hatalar düzeltilir, analiz edilir ve nedenleri belirlenir.

7. Bilgi sistemine dahil olma ve tekrarlama

Sahnenin amacı:

Yeni içeriği daha önce çalışılanlarla birlikte kullanma becerilerini eğitin: bir denklem sistemi kullanarak problem çözme;

7. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

241. (Sözlü)

8. Dersteki etkinliklerin yansıması

Sahnenin amacı:

1) derste öğrenilen yeni içeriği kaydedin;

2) dersteki kendi faaliyetlerinizi değerlendirin;

3) dersin sonucunun alınmasına yardımcı olan sınıf arkadaşlarına teşekkür edin;

4) çözülmemiş zorlukları gelecekteki eğitim faaliyetlerine yönelik talimatlar olarak kaydedin;

5) ödevinizi tartışın ve yazın.

8. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

– Derste yeni ne öğrendiniz?

– Yeni bilgiyi “keşfetmek” için ne kullanıldı?

– Çalışmanızı sınıfta analiz edin.

Ev ödevi

Bu ders rasyonel denklemlerin çözümüne bakacaktır. Rasyonel denklemlerin yardımıyla sadece matematik ders kitabının sayfalarında değil, hayatta da ortaya çıkan bir takım problemler çözülür. Ancak rasyonel bir denklemi çözmek için yine de onu doğru şekilde oluşturabilmeniz gerekir. Bu nedenle, bu derste sadece rasyonel denklemleri çözme örneklerine değil, aynı zamanda karşılık gelen rasyonel denklemlerin ortaya çıkmasına yol açan problemin matematiksel modelleme örneklerine de bakacağız.

Ders:Cebirsel kesirler. Cebirsel kesirlerde aritmetik işlemler

Ders:Rasyonel denklemleri çözme

Önceki derste fark ettiğiniz gibi rasyonel denklemleri çözmenin temeli, rasyonel ifadeleri dönüştürme tekniğidir. Rasyonel bir denklemin çözümüne ilişkin bir örneği ele alalım.

örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Öncelikle denklemin sağ tarafında olduğu gibi her iki kesrin paylarında da çift sayıların olmasına dikkat edelim. Yani her iki tarafı da 'ye bölerek denklemi basitleştirebilirsiniz. Bu adım isteğe bağlıdır, ancak daha basit denklemçözmek ne kadar kolaysa ve denklemde görünen sayılar ne kadar küçükse, çözerken aritmetik hesaplamalar o kadar kolay olur.

Azalmanın bir sonucu olarak şunu elde ederiz:

Şimdi denklemin tüm terimlerini sağa doğru sola kaydırıyoruz ve sonra sol tarafta elde edilen kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Bir kesrin ancak ve ancak payının eşit olması ve paydasının eşit olmaması durumunda eşit olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla denklemimiz aşağıdaki sisteme dönüşür:

Şimdi bir tanesini daha hatırlayalım önemli gerçek: Bir çarpım ancak ve ancak faktörlerinden en az birinin eşit olması ve geri kalan faktörlerin mevcut olması durumunda eşittir. Ve sistemimiz şuna dönüşüyor:

.

Elde edilen her iki kök de paydaları tanımlı olduğundan bu denklemin çözümüdür.

Düşündüğümüz denklem böyle bir problem için bir modeldir:

Sorun 1

Tekne nehir boyunca ve nehre karşı giderek harcadı. Nehrin akıntı hızı ise teknenin kendi hızı nedir?

Çözüm:

Bu sorunun çözümü matematiksel modelleme yöntemi kullanılarak gerçekleştirilecek ve bu yöntemin 3 aşamasını öne çıkaracağız.

Aşama 1. Matematiksel bir modelin hazırlanması

Teknenin kendi hızını belirtelim (bu, problem çözmede standart bir tekniktir) kelime problemleri- problem ifadesinde sorulan miktarı belirlemek için bilinmeyeni kullanın). Daha sonra:

Nehir boyunca ilerleyen teknenin hızı;

Nehrin akışına karşı hareket eden bir teknenin hızı.

Bu durumda: formülünü kullanarak teknenin nehir akışı boyunca hareket zamanının şu şekilde ifade edildiğini, teknenin nehrin akışına karşı hareket zamanının ise - olduğunu buluruz. O zaman teknenin toplam hareket süresi eşittir ve buradan denklemi elde ederiz:

- bu problemin matematiksel modelidir.

Aşama 2. Matematiksel modelle çalışma

Bu durumda matematiksel modelle çalışmak, örnek 1'de zaten yaptığımız bu rasyonel denklemi çözmekten ibarettir. Bu durumda denklemin köklerini elde ettik: .

Aşama 3. Görev sorusunun yanıtlanması

Gerçek şu ki, matematiksel bir model matematikseldir çünkü soyutlanmıştır. gerçek hayat. Bunu özellikle ele alırsak bu görev O halde matematiksel model herhangi bir köke sahip olabilen bir denklemdir. Ancak bilinmeyen miktar teknenin hızını gösterir, dolayısıyla örneğin negatif olamaz. Veya: Nehrin akıntı hızından daha az olamaz, aksi takdirde tekne akıntıya karşı yüzemez. Ve bu tür kısıtlamalar çeşitli görevlerde mevcut olabilir. Bu nedenle bir cevabı yazmadan önce cevabın makul olup olmadığını değerlendirmek gerekir.

Bu durumda teknenin bu hızda akıntıya karşı yüzmesi mümkün olmayacağından bunun uygun olmadığı açıktır. Bu nedenle yanıt olarak yalnızca tek bir değer kullanılacaktır: .

Cevap:

Doğrudan rasyonel denklemleri çözmenin birkaç örneğine bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Tüm terimleri sola taşıyalım ve sonra kesirleri ortak bir paydaya getirelim.

Cevap: .

Örnek 3

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bu denklemde sağ taraf zaten içeriyor, dolayısıyla sol tarafa herhangi bir şey taşımaya gerek yok. Hemen sol taraftaki kesirleri ortak paydaya indirgeyelim:

Bir kesrin eşit olduğu gerçeğini ancak ve ancak payının eşit olması ve paydasının eşit olmaması durumunda tekrar kullanalım. Buradan bu denklemin sisteme eşdeğer olduğu sonucu çıkar:

Değiştirme verilen değer paydaya eşit olmadığından emin oluruz. Bu, bu değişken değerinin cevap olduğu anlamına gelir.

Cevap: .

Örnek 4

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bu denklemi çözme şeması kesinlikle öncekilerle aynıdır:

Cevap: .

Çeşitli problemler genellikle rasyonel denklemlerin çözümüne indirgenir. Böyle bir örneğe bakalım.

Sorun 2

Kesirler arasındaki farkın eşit olduğu bir değer var mı?

İkinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini zaten öğrendik. Şimdi çalışılan yöntemleri rasyonel denklemlere genişletelim.

Rasyonel ifade nedir? Bu kavramla zaten karşılaştık. Rasyonel ifadeler sayılar, değişkenler, bunların güçleri ve matematiksel işlem sembollerinden oluşan ifadelerdir.

Buna göre rasyonel denklemler aşağıdaki formdaki denklemlerdir: burada - rasyonel ifadeler.

Daha önce yalnızca doğrusal denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemleri ele alıyorduk. Şimdi ikinci dereceden denklemlere indirgenebilecek rasyonel denklemlere bakalım.

örnek 1

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Bir kesir ancak ve ancak payı 0'a eşitse ve paydası 0'a eşit değilse 0'a eşittir.

Aşağıdaki sistemi elde ediyoruz:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir. Çözmeden önce tüm katsayılarını 3'e bölelim. Bunu elde ederiz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

2 hiçbir zaman 0'a eşit olmadığından iki koşulun karşılanması gerekir: . Yukarıda elde edilen denklemin köklerinin hiçbiri, ikinci eşitsizliği çözerken elde edilen değişkenin geçersiz değerleriyle çakışmadığı için her ikisi de bu denklemin çözümüdür.

Cevap:.

Öyleyse rasyonel denklemleri çözmek için bir algoritma formüle edelim:

1. Tüm terimleri, sağ taraf 0 olacak şekilde sol tarafa taşıyın.

2. Sol tarafı dönüştürün ve basitleştirin, tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin.

3. Ortaya çıkan kesri aşağıdaki algoritmayı kullanarak 0'a eşitleyin: .

4. Birinci denklemde elde edilen kökleri yazın ve cevapta ikinci eşitsizliği sağlayın.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek 2

Denklemi çözün: .

Çözüm

En başta tüm terimleri şuraya taşıyalım: Sol Taraf 0 sağda kalacak şekilde şunu elde ederiz:

Şimdi denklemin sol tarafını ortak bir paydaya getirelim:

Bu denklem sisteme eşdeğerdir:

Sistemin ilk denklemi ikinci dereceden bir denklemdir.

Bu denklemin katsayıları: . Diskriminantı hesaplıyoruz:

İki kök elde ediyoruz: ; .

Şimdi ikinci eşitsizliği çözelim: Faktörlerden hiçbiri 0'a eşit değilse, faktörlerin çarpımı 0'a eşit değildir.

İki koşulun karşılanması gerekir: . İlk denklemin iki kökünden yalnızca birinin uygun olduğunu bulduk - 3.

Cevap:.

Bu dersimizde rasyonel ifadenin ne olduğunu hatırladık ve ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen rasyonel denklemlerin nasıl çözüleceğini öğrendik.

Bir sonraki derste rasyonel denklemlere gerçek durumların modelleri olarak bakacağız ve ayrıca hareket problemlerine bakacağız.

Kaynakça

1. Bashmakov M.I. Cebir, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. ve diğerleri Cebir, 8. 5. baskı. - M.: Eğitim, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir, 8. sınıf. için öğretici Eğitim Kurumları. - M.: Eğitim, 2006.

1. Pedagojik Fikirler Festivali" Herkese açık ders" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Ev ödevi