Взаимное расположение графиков линейных функций 7. Взаимное расположение графиков линейных функций

На данном уроке мы вспомним все, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.

Тема: Линейная функция

Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций

Напомним, что линейной называется функция вида:

x - независимая переменная, аргумент;

у - зависимая переменная, функция;

k и m - некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.

Рассмотрим пример:

Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр - это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный - убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.

Таблица для второй функции;

Таблица для третьей функции;

Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.

Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:

и

Если но то заданные прямые параллельны.

Если и то заданные прямые совпадают.

Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают - то система будет иметь бесчисленное множество решений.

Рассмотрим задачи.

Пример 2 - определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.

Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.

Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.

Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:

Пример 3 - найти графически точку пересечения прямых:

Обе функции имеют график - прямую линию.

Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.

Составим таблицы для построения графиков:

Таблица для второй функции;

Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)

Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию.

Описание материала: Предлагаю вам конспект урока математики для учащихся 7 класса по теме "Взаимное расположение графиков линейных функций". Данный материал будет полезен учителям математики среднего звена. В ходе урока преобладает групповая форма работы.

Конспект урока математики, 7 класс.

Тема урока : Взаимное расположение графиков линейных функций.

Тип урока: урок изучения новой темы.

Цель урока : Формирование понятия взаимного расположения графиков линейных функций и умения определять по внешнему виду функций их взаимное расположение.

Задачи:

1. Образовательная: закрепление, углубление и расширение знаний о свойствах линейной функции;

2. Развивающая: умение обобщать, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы;

3. Воспитательная: формирование ответственного отношения к учению, готовности и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию; сотрудничестве со сверстниками.

Оборудование: карточки для индивидуальной работы учащихся, компьютер с мультимедийным проектором, экран.

Структура и ход урока

I. Самоопределение к учебной деятельности

Над какой серьезной темой мы начали работать на предыдущих уроках?

Чему мы уже научились?

(У каждого ученика на столе лежит лист самооценки и вариант индивидуальных заданий на карточке).

Ребята, не забывайте оценивать себя на разных этапах урока, а если выпала свободная минутка, выполняйте задания по индивидуальной карточке.

II. Актуализация знаний и фиксация затруднений.

Класс делится на две группы. Первая группа работает с учителем устно, а другая работает по индивидуальным карточкам.

Устная работа.

Задание 1. Найти: у(-1), у(0), у(-1,2), если у=5х+6

Задание 2. При каком значении аргумента значение функции у=3х-4 равно 5?

Задание 3. График какой функции изображен на рисунке?

Задание 3. Какая из прямых является графиком функции у=-5х?

Задание 4. Возрастает или убывает функция?

Укажи наибольшее и наименьшее значение функции на [ -2;1]

При каких значениях х функция принимает положительные (отрицательные) значения?

"Ученики" первой группы оценивают себя в листе самоконтроля.

Вторая группа работает по индивидуальным карточкам.

Карточка 1. Найдите точку, принадлежащую графику функции у=0,5х+2,75, абсцисса и ордината которой - противоположные числа.

Карточка 2. Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и точку М(-2,5; 4). Найдите точку пересечения этого графика с прямой 3х-2у-16=0.

Результат оценивает учитель.

III. Изучение нового материала.

Класс делится на 6 групп. Каждая группа получает задание: в одной системе координат построить графики линейных функций и определить зависимость расположения графиков от коэффициентов k и m.

1) у=2х; у=2х-4; у=2х+3;

2) у=-3х; у=-3х+2; у=-3х-1;

3) у=7х-3; у=½·14х-3; у=7х-1,5·2;

4) у=х+3; у=2х-1; у=-2х-2;

5) у=2х+3; у=х+3; у=-х+3;

6) у=0,5х+8; у=½·х+8;у=0,5х+3,2:0,4.

Представитель каждой группы выходит к доске и изображает графики функций на подготовленной одной из 6 координатных плоскостях. Формулирует правило выведенное группой. Проводится обсуждение, составляется таблица выведенной закономерности. Оценивание работы на данном этапе.

Линейные функции у=k1x+m1 y=k2x+m2

IV. Первичное закрепление.

Решение № 10.4(а,б), 10.6(а,б), 10.8(а,б), 10.16(а,б) по учебнику А.Г.Мордковича.

Задание выполняемое по группам.

При каких значениях параметра а графики данных функций:

1) выполняют 1, 2, 3, 6 группы пересекаются

а) у=2ах+3, у=5х-2;

б) у=(2а-1)х, у=(4а+3)х+2а;

2) выполняют 3, 4, 5, 6 группы параллельны

а) у=3ах+5, у=6х-2;

б) у=(3-а)х+1, у=(а-1)х+5;

3) выполняют 1, 2, 4, 5 группы совпадают

а) у=2ах+7, у=4х+7;

б) у=(5а-3)х+2а-1, у=2ах+5-4а.

После выполнения работы учащиеся проверяют свои ответы, исправляют допущенные ошибки, проводят анализ причин их возникновения. Оценивание работы.

V. Рефлексия деятельности на уроке.

Что узнали нового на уроке?

Наша цель достигнута?

Какие знания нам пригодились при выполнении заданий на уроке?

Как вы можете оценить свою работу?

Передай свое отношение к уроку используя "Сигналы эллипса". Оцените степень удовлетворенности собой, своей группой и общим содержанием выполненной работы, поставив соответствующие точки по десятибалльной системе на трех осях

V. Домашнее задание § 10, №10.2

Творческое задание по группам.

Где встречается линейная зависимость в

а) биологии (1 и 2 группы);

б) литературе (6 и 3 группы);

в) физике (4 и 5 группы)?

Литература : Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Учебник и задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович.- 13-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2009.

На уроке испрользуются разные методы обучения:

Частично-поисковый;

Проверка по образцу;

Частично-исследовательский;

Частично-проблемный.

Поэтому я думаю многие могут взять мой материал за основу для своего урока.

Просмотр содержимого документа
«Конспект открытого урока алгебра 7 класс по теме "Взаимное расположение графиков линейных функций"»

ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА

СТРУКТУРА УРОКА:

Организационный момент (1 мин).

Актуализация опорных знаний (6 мин)

Формулировка темы. Постановка учебных задач (1 мин)

Изучение нового материала (15 мин)

Физкультминутка (2 мин)

Первичное закрепление (10 мин)

Рефлексия (2 мин)

Домашнее задание (1 мин)

Итог урока (2 мин)

Необходимое техническое оборудование : ноутбук, мультимедийный проектор, компьютеры для учащихся

Структура и ход урока :

Приложение №1:

Приложение №2:

>>Математика: Взаимное расположение графиков линейных функций

Взаимное расположение графиков

линейных функций

Вернемся еще раз к графикам линейных функций у = 2х- - 4 и у = 2х + 6, представленным на рисунке 51. Мы уже отмечали (в § 30), что эти две прямые параллельны прямой у = 2х, а значит, параллельны друг другу. Признаком параллельности служит равенство угловых коэффициентов (k = 2 для всех трех прямых: и для у = 2х, и для у = 2х - 4, и для у = 2х + 6). Если же угловые коэффициенты различны, как, например, у линейных функций у = 2х и у - Зх + 1, то прямые, служащие их графиками, не параллельны, и тем более не совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще, справедлива следующая теорема.

Пример 1.

Р е ш е н и е. а) Для линейной функции у = 2х - 3 имеем:

Прямая I 1 , служащая графиком линейной функции у - 2х - 3, проведена на рисунке 53 через точки (0; - 3) и (2; 1).
Для линейной функции имеем:

Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

1. Выяснить зависимость расположения графиков линейных функций от значений k и b.
2. Формирование умений и навыков по внешнему виду определять взаимное расположение графиков линейных функций; уметь задавать формулами линейные функции, графики которых пересекаются или параллельны.
3. Развитие способностей наблюдать, анализировать, делать выводы.

Ход урока

1. Организационный момент.

На этом уроке мы продолжим говорить о линейной функции и о прямой пропорциональности. Выясним их взаимное расположение, зависящее от значений k и b. Научимся по внешнему виду, не выполняя построений определять взаимное расположение графиков линейных функций. Каждый на уроке обязательно получит оценку.

2. Актуализация знаний.

а) Устная работа

1. Какую функцию называют линейной?
2. Что является графиком линейной функции?
3. Сколько нужно отметить точек на координатной плоскости, чтобы построить прямую?
4. Как построить график линейной функции?
5. Какую функцию называют прямой пропорциональностью?
6. Что является графиком прямой пропорциональности?
7. Как его построить?
8. В каких координатных четвертях расположен график функции у = kх + b при k<0, k>0?
9. Как называется k?
10. Что зависит на графике от k?
11. Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плоскости?

б) В это время 2 человека работают по карточкам.

Карточка № 1.

1. Уравнение прямой имеет вид у = kх + b. Для функции у = 2 – 7х запиши чему равны k и b?
2. Построить в одной системе координат графики функций у = 5 – х и у = -х.

Карточка № 2.

1. Как называется функция у = 5х + 2?
2. Построить в одной системе координат графики функций у = х – 2 и у = х.

3. Проверка домашнего задания.

1) Найти координаты точки пересечения графиков линейных функций:

2) Построить в одной системе координат графики функций:

а) у = х + 2, у = х, у = х – 3
б) у = х + 2, у = -х + 2, у = 2

Работа устная по чертежам. Вывод записать в тетрадь.

1. k > 0 => Угол наклона прямой к оси Ох острый;
   k < 0 => Угол наклона прямой к оси Ох тупой;
   k = 0 => прямая параллельна оси Ох;
2. b => график пересекает ось Оу выше оси Ох;
   b => график пересекает ось Оу ниже оси Ох;
   b => график проходит через начало координат (прямая пропорциональность).
3. Даны функции заданные формулами: у = k 1 х + b 1 и у = k 2 х + b 2
   k 1 = k 2 , b 1 = b 2 => графики функций совпадают,
   k 1 = k 2 , b 1 ≠ b 2 => графики функций параллельны,
   k 1 ≠ k 2 => графики пересекаются,
   k 1 ≠ k 2, b 1 = b 2 => графики пересекаются в точке (0,b).

4. Закрепление. Устно.

1) Определить по графику знак углового коэффициента k и число b

k > 0,b = -1

k < 0,b = 2

2) Среди функций, заданных формулами:
у = х + 0,5 (1);
у = 1 + 0,5х (2);
у = 2х –5 (3);
у = -0,5х + 4 (4);
у = 5х = 1 (5);
у = 0,5х –2 (6) назовите те, которые:

а) параллельны графику функции у = 0,5х + 4
б) пересекаются с графиком функции у = 2х + 3
в) совпадают с графиком функции у = 4 – 0,5х

3) По внешнему виду определить: Правильно ли построен график? Ответ объяснить.

4) Составить функцию, график которой будет:

а) параллелен графику функции у = 35х – 42;
б) параллелен графику функции у = 35х – 42 и проходит через начало координат;
в) пересекается с графиком функции у = 35х – 42;
г) пересекается с графиком функции у = 35х – 42 в точке А(0, -42).

5) Составить формулы для функций, изображенных графиков:

В тетрадях.

1) Найти координаты точки пересечения графика у = 3х + 4 с осями координат:

2) График функции у = kх + 5 проходbт через точку М(-7; 12). Найдите k.

12 = -7k + 5
7k = -7
k = -1

3) График функции у = kх + b проходит через точку А(-3, 2) и параллелен прямой у = -4х. Найдите k и b. Напишите получившуюся формулу:

k = -4, х = -3, у = 2 2 = -3(-4) + b
2 = 12 + b
b = -10

у = -4х – 10

5. Тестирование.

Вариант 1.

а) у = 2х –1 и у = 2х + 3

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

б) у = 3х + 2 и у = 2х –3

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

в) у = 0,5х + и у =0,75 + х

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

а) у = 12х – 8 и у = ?х + 4 пересекались
б) у = 12х – 8 и у = ?х – 1 параллельны
в) у = 12х – 8 и у = ?х – ? перекались в точке (0; -8)

Вариант 2/

1. Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций:

а) у = 6х – 1 и у = 4х + 5

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

б) у = х – 0,5 и у = - + 0,6х

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

в) у = 0,5х + 2 и у = 0,5х – 4

А) пересекаются
Б) параллельны
В) совпадают

2. Подберите и вставьте вместо знака вопроса такое число, чтобы графики функций:

а) у = -27х + 1 и у = ?х – 9 пересекались
б) у = -27х + 1 и у = ?х + 4 параллельны
в у = -27х + 1 и у = ?х + ? перекались в точке (0; 1)

3.Составить функцию для графика, изображенного на рисунке:

6. Домашнее задание: № 335, 336, 346, 347/

7. Итог урока.(выставление оценок, рефлексия)