Единичные отрезки на координатном луче. Координатная прямая (числовая прямая), координатный луч

Координата точки – это ее «адрес» на числовом луче, а числовой луч – это «город», в котором живут числа и любое число можно отыскать по адресу.

Больше уроков на сайте

Вспомним, что такое – натуральный ряд. Это – все числа, которые можно использовать для счета предметов, стоящие строго по порядку, друг за другом, то есть, в ряд. Начинается этот ряд чисел с 1 и продолжается до бесконечности с равными промежутками между соседними числами. Прибавим 1 – и получим следующее число, еще 1 – и снова следующее. И, какое бы число из этого ряда мы ни взяли, на 1 справа и на 1 слева от него есть соседние натуральные числа. Исключение составляет только число 1: следующее за ним натуральное число есть, а предыдущего – нет. 1 – самое маленькое натуральное число.

Есть одна геометрическая фигура, которая имеет очень много общего с натуральным рядом. Глядя на тему урока, записанную на доске, нетрудно догадаться, что эта фигура – луч. И в самом деле, начало луч имеет, а вот конца – нет. И можно было бы продолжать и продолжать его, да вот только тетрадь или доска попросту закончатся, и некуда больше продолжать.

Использовав эти сходные свойства, соотнесем вместе натуральный ряд чисел и геометрическую фигуру – луч.

Не случайно в начале луча оставлено пустое место: рядом с натуральными числами должно быть записано и хорошо знакомое тебе число 0. Теперь каждое натуральное число, встречающееся в натуральном ряду, имеет на луче двух соседей – меньшего и большего. Совершив от нуля всего один шаг +1, можно получить число 1, а сделав следующий шаг +1 – число 2 … Шагая так далее, мы можем поочередно получить все натуральные числа. Вот в таком виде луч, представленный на доске, называется координатный луч. Можно сказать и проще – числовым лучом. На нем есть наименьшее число – число 0, которое называется началом отсчета , каждое последующее число отстоит от предыдущего на одинаковое расстояние, а наибольшего числа нет, как нет конца ни у луча, ни у натурального ряда. Подчеркну еще раз, что расстояние между началом отсчета и следующим за ним числом 1 таково же, как и между любыми другими двумя соседними числами числового луча. Это расстояние называется единичным отрезком . Чтобы отметить на таком луче любое число, нужно отложить от начала отсчета ровно столько же единичных отрезков.

Например, чтобы отметить на луче число 5, откладываем от начала отсчета 5 единичных отрезков. Чтобы отметить на луче число 14, откладываем от нуля 14 единичных отрезков.

Как ты можешь видеть в этих примерах, на разных чертежах единичные отрезки могут быть разными(), но на одном луче все единичные отрезки() равны между собой(). (возможно, на картинках будет смена слайдов, подтверждающая паузы)

Как тебе известно, на геометрических чертежах принято давать названия точкам заглавными буквами латинского алфавита. Применим это правило к чертежу на доске. Каждый координатный луч имеет начальную точку, на числовом луче этой точке соответствует число 0, а называть эту точку принято буквой О. Кроме того, отметим несколько точек в местах, соответствующих каким-то числам этого луча. Теперь каждая точка луча имеет свой определенный адрес. А(3), … (5-6 точек на обоих лучах) . Число, соответствующее точке на луче (так называемый адрес точки), называется координатой точки. А сам луч – координатным лучом. Координатный луч, или числовой – смысл от этого не меняется.

Выполним задание – отметим на числовом луче точки по их координатам. Советую тебе выполнять это задание самостоятельно в тетради. М(3), Т(10), У(7).

Для этого сначала построим координатный луч. То есть –луч, начало которого — точка О(0). Теперь нужно выбрать единичный отрезок. Его надо именно выбрать так, чтобы все требуемые точки поместились на чертеже. Наибольшая координата сейчас 10. Если разместить начало луча в 1-2 клетках от левого края страницы, то его можно будет продлить более, чем на 10см. Тогда возьмем единичный отрезок 1см, отметим его на луче, и на 10см от начала луча отстоит число 10. Этому числу соответствует точка Т. (…)

А вот если нужно отметить на координатном луче точку Н (15), потребуется выбрать другой единичный отрезок. Ведь так, как в предыдущем примере, уже не получится, потому что в тетради не поместится луч требуемой видимой длины. Можно выбрать единичный отрезок длиной в 1 клетку, и от нуля до требуемой точки отсчитать 15 клеток.

Единичный отрезок. ? Единичный отрезок может иметь разную длину. Например, нам надо построить координатный луч с единичным отрезком равным две клетки. Для этого необходимо: построить луч (по правилам, которые рассматривались выше) отсчитать от точки О две клетки отметить точку и дать ей координату 1 расстояние от 0 до 1, равное двум клеткам и есть единичный отрезок. О. 0. 1. Ниже координатный луч с единичным отрезком равным пяти клеткам. О. 0. 1.

Математика 5 класс

«Математика 5 класс «Обыкновенные дроби»» - Вычитание дробей. Приведение дробей. Разность дробей. Круг. Дроби с одинаковыми знаменателями. Доли. Сравните дроби. Сложение дробей. Что такое дробь. Больший знаменатель. Правило деления дробей. Дробь. Часть круга. Сложите дроби. Число. Найдите произведение. Урок. Произведение. Рассмотренный пример. Арбуз. Найдите разность. Неравные дроби. Обыкновенные дроби. Деление дробей. Умножение дробей.

«Задания на решение уравнений» - Уравнения. Включим светофор. Испытание для Ивана-царевича. Разминка. Самостоятельная работа. Сколько Маша уплатила за покупку. Проверка домашнего задания. Игра «Волшебное число». Ответьте на вопросы. Комариная семья. Испытание. Физкультминутка.

«Путешествие по математике» - Какое треугольное число изображает равносторонний треугольник. Туристы хотят осмотреть густонаселённые части материка. За завтраком съели 3/8 торта, а за обедом – 5/8 торта. Парусник проходит 1 милю за 10 мин. Задачи великого лоцмана. Остров «словесности». Путешествие по морю знаний. Чтобы построить корабль, необходимо распилить брёвна. Остров Лукоморье. Дракон. Берег «золотых рук». Остановка «Кудыкины горы».

««Упрощение выражений» 5 класс» - Упростите выражения. Вынесите общий множитель за скобки. Распределительный закон. Какие выражения можно упростить. Как преобразовать выражение. Упрощение выражений. Задача. Решение уравнений. Слагаемые, у которых буквенная часть одинаковая, называются подобными. Найдите значения выражений удобным способом. Подчеркните подобные слагаемые. Определите, что пропущено в данных выражениях.

««Проценты» 5 класс» - Процентом называется сотая часть числа. Решите задачу. Процентное отношение чисел. Проверяем. Нахождение числа по его процентам. Найдите. Нахождение процентов от процентов. Увеличьте число 56 на 20%. Запишите проценты в виде десятичной дроби. Целое всегда принимаем за единицу или 100%. Проценты. Обозначение. Как представить проценты в виде десятичной дроби. Нужно умножить эту дробь на 100. Как записать десятичную дробь с помощью процентов.

«Треугольники и их виды» - Творческая работа. Вид треугольника. Треугольники. Первичная актуализация. Разгадать ребус. Геометрический период. Треугольники можно разделить на группы в зависимости от углов. Треугольник и его элементы. Вершины. Сколько прямых можно провести через две точки. Две равные стороны. Треугольники вокруг нас.

Данная статья посвящена разбору таких понятий, как координатный луч и координатная прямая. Мы остановимся на каждом понятии и подробно рассмотрим примеры. Благодаря этой статье вы сможете освежить свои знания или ознакомиться с темой без помощи преподавателя.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того, чтобы определить понятие координатного луча, следует иметь представление о том, что такое луч.

Определение 1

Луч - это геометрическая фигура, которая имеет начало отсчета координатного луча и направление движения. Прямую обычно изображают горизонтально, указывая направление направо.

На примере мы видим, что O является началом луча.

Пример 1

Координатный луч изображается по той же схеме, но существенно отличается. Мы ставим точку отсчета и отмеряем единичный отрезок.

Пример 2

Определение 2

Единичный отрезок - это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Пример 3

От конца единичного отрезка нужно отложить несколько штрихов и сделать разметку.

Благодаря манипуляциям, которые мы проделали с лучом, он стал координатным. Подпишите штрихи натуральными числами в последовательности от 1 - например, 2 , 3 , 4 , 5 ...

Пример 4

Определение 3

– это шкала, которая может длиться до бесконечности.

Зачастую его изображают лучом с началом в точке O , и откладывают единственный единичный отрезок. Пример указан на рисунке.

Пример 5

Мы в любом случае сможем продолжить шкалу до того числа, которое нам необходимо. Вы можете записывать числа как удобно – под лучом или над ним.

Пример 6

Для отображений координат луча могут использоваться как заглавные, как и строчные буквы.

Принцип изображения координатной прямой практически не отличается от изображения луча. Все просто - прочертите луч и дополните до прямой, придав положительное направление, которое указывается стрелочкой.

Пример 7

Проведите луч в противоположную сторону, дополнив его до прямой

Пример 8

Отложите единичные отрезки по примеру, указанному выше

С левой стороны запишите натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ... с противоположным знаком. Обратите внимание на пример.

Пример 9

Вы можете отметить только начало отсчета и единичные отрезки. Смотрите на примере, как это будет выглядеть.

Пример 10

Определение 4

– это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0 , единичным отрезком и заданным направлением движения.

Соответствие между точками координатной прямой и действительными числами

Координатная прямая может содержать множество точек. Они напрямую связаны с действительными числами. Это можно определить, как взаимно однозначное соответствие.

Определение 5

Каждой точке на координатной прямой соответствует единственное действительное число, а каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой.

Для того, чтобы лучше понять правило, следует отметить точку на координатной прямой и посмотреть, какое натуральное число соответствует отметке. Если эта точка совпадает с началом отсчета, она будет отмечена нулем. Если точка не совпадает с началом отсчета, мы откладываем нужное количество единичных отрезков до тех пор, пока не достигнем указанной отметки. Число, записанное под ней, и будет соответствовать данной точке. На примере, указанном внизу, мы покажем вам это правило наглядно.

Пример 11

Если мы не можем найти точку, откладывая единичные отрезки, следует отмечать также точки, составляющие одну десятую, сотую или тысячную долю единичного отрезка. На примере можно подробно рассмотреть данное правило.

Отложив несколько подобных отрезков, мы сможем получить не только целое, но и дробное число – как положительное, так и отрицательное.

Отмеченные отрезки помогут нам отыскать на координатной прямой необходимую точку. Это могут быть как целые, так и дробные числа. Однако на прямой существуют точки, которые очень сложно найти с помощью единичных отрезков. Этим точкам соответствуют десятичные дроби. Для того, чтобы искать подобную точку, придётся откладывать единичный отрезок, десятую, сотую, тысячную, десятитысячную и другие его доли. Одной точке координатной прямой отвечает иррациональное число π (= 3 , 141592 . . .) .

Множество действительных чисел включается в себя все числа, которые можно записать в виде дроби. Это позволяет выявить правило.

Определение 6

Каждой точке координатной прямой соответствует конкретное действительное число. Разные точки определяют разные действительные числа.

Это соответствие однозначно –каждой точке соответствует определенное действительное число. Но это работает также и в обратном направлении. Мы также можем указать определенную точку на координатной прямой, которая будет относиться конкретному действительному числу. Если число не является целым, то нам необходимо отметить несколько единичных отрезков, а также десятых, сотых долей в заданном направлении. Например, числу 400350 отвечает точка на координатной прямой, в которую из начала отсчета можно попасть, отложив в положительном направлении 400 единичных отрезков, 3 отрезка, составляющих десятую долю единичного, и 5 отрезков – тысячную долю.

Тема: Координатный луч. Шкала.

Тип урока : урок изучения нового материала.

Цели:

предметные

научить приводить примеры приборов со шкалами, определять цену деления шкалы, читать показания некоторых приборов (термометр, спидометр, часы…), строить шкалы с помощью выбранного единичного отрезка, находить на координатном луче точку с заданной координатой, определять координату точки;

личностные

проявлять интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения;

метапредметные

формировать умение использовать приобретенные знания в практической деятельности, развивать компетентность в области использования ИКТ

Организационная структура урока

Организационный этап.

Устный счет

а) Вычисли устно

б)

в) Продолжить числовой ряд 6 ; 7 ; 9 ; 13 ; 21 ; ?

3. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Что вы видите на рисунке?

Чем отличаются эти лучи?

Как вы думаете, какая сегодня тема урока?

4.Актуализация знаний

А где в жизни вы встречали шкалу и координатный луч?

Продемонстрировать учащимся приборы (амперметр, вольтметр) . Обратить внимание, что форма шкалы может быть различной (отрезок или дуга) . Это подготовит учащихся к знакомству с транспортиром.

5. Изучение нового материала

Составление конспекта по теме (вместе с учащимися)

Что такое координатный луч?

Как можно определить положение точки на координатном луче?

Каким может быть единичный отрезок?

Опр. Координатный луч- это отрезок, на котором отмечены:

начало отсчета

единичный отрезок

направление

Точка А имеет координату 4 записываем А (4)

Обратить внимание что, единичный отрезок может быть различным. Выполнить задания по готовым чертежам с разными единичными отрезками.

6. Физминутка.

(Ученики повторяют движения за учителем)

Раз – подняться, подтянуться,

Два – согнуться, разогнуться,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре – руки шире.

Пять – руками помахать,

Шесть – за парты сесть опять.

7. Первичное закрепление нового материала.

Фронтальная работа № 113, №115, № 117 из учебника

В рабочей тетради №1 индивидуально № 41, №42, №43.

8. Итоги урока вопросы 1-4 , с.36

9. Домашнее задание.

Параграф 5, вопросы 1-4, № 114, № 116.

Творческое задание (по группам) : сделать презентацию « Координатный луч»

Какие слайды должны быть в презентации на ваш взгляд?

Определение координатного луча

Из истории открытия

Применение координатного луча в математике

Применение координатного луча в жизни

Вывод

10. Рефлексия. « Светофор»

Учащиеся поднимают цветные кружки, которые сделаны заранее.

Зеленый кружок - на уроке было всё понятно, было интересно, с заданиями справился самостоятельно.

Оранжевый кружок - на уроке мне было почти всё понятно, но не всё удалось выполнить самостоятельно.

Красный кружок - на уроке мне было трудно, при выполнении заданий требовалась помощь.

Луч это прямая, ограниченная с одной стороны. Это определение лучше усвоится, если выучить свойства луча:

• Имеет начало, но не имеет конца
• Имеет направление
• Бесконечен, т.е. не имеет размера.

Правильное обозначение луча спорный вопрос. Наиболее правильный вариант это две точки, например ОА. Причем первой точкой обозначают начало луча. Но также обозначают отрезки и прямые, поэтому чаще пишут луч с началом в точке О.

Рис. 1. Луч.

Углы

Углы – это единственные фигуры, состоящие из лучей. Что такое угол?

Это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, начало которых лежит в одной точке. В фигурах углы состоят из отрезков, а не из лучей.

Может случиться ситуация, когда оде стороны угла будут совпадать, тогда говорят, что величина угла равна 0 градусов. Может получиться и так, что обе стороны угла образуют прямую, тогда говорят, что угол равен 180 градусам. Такой угол называют развернутым, а лучи основным и дополнительным.

Величина угла отражает поворот одного луча относительно другого.

Координатные лучи

Еще одно применение лучей это различные системы координат. В математике 5 класса первой темой идет изучение координатной прямой. Это два луча с углом поворота в 180 градусов. Начало лучей обозначается за нулевую точку или начало отчета. Влево от начала отчета откладываются отрицательные координаты, в право-положительные. Другое название координатной прямой: числовой луч.

Рис. 2. Координатный луч.

С помощью координатного луча удобно сравнивать дроби и таким образом решать неравенство.

С помощью координатных лучей создается и координатная плоскость. Так называемая декартова система координат состоит из двух координатных прямых или 4 лучей. Подобная система позволяет определять положение точки на плоскости, вычерчивать графики функций и графически решать разного рода уравнения.

Помимо декартовой системы существует полярная система координат. В полярной системе используются понятия угла и координатной прямой. Координатная прямая определяет положение точки, а угол степень ее подъема над осью.

Полярная система координат одна из самых древних в истории человечества. Так сложилось, что именно пользуясь этой системой, древние мореплаватели покоряли неизвестные просторы нашего мира. Декартова система появилась гораздо позднее. Но она более удобна для ориентации на местности. Декартову систему проще использовать как в разделах математики, так и других дисциплинах: физике, теплотехнике, гидравлике и программировании.

Декартовая система четырьмя лучами делиться на 4 четверти, положение точки в каждой из которых определяется знаком координат. Координаты подразделяют на абсциссы и ординаты. Проще говоря на х и у. Например точка (3, 4) имеет две положительные координаты, а значит она будет находиться в первой четверти. Обе отрицательные координаты соответствуют третьей четверти, положительный у при отрицательном х это вторая четверть, а отрицательный у при положительном х - четвертая.

Чтобы построить точку в декартовых системах координат необходимо от деления числового луча, соответствующего координате, поднять перпендикуляр. Координаты две, значит и перпендикуляров будет два. Точка их пересечения и будет искомой точкой.

Числовая прямая – это луч, с нанесенными на него числами или интервалами чисел. Числовую прямую используют для сравнения дробей, рисунков к задаче и нахождения ОДЗ функции. Последнее встречается чаще всего.

Фигурной скобкой на прямой обозначается область, в которую не могут попадать корни. После решения уравнения, найденные корни наносятся на числовую прямую. Попавшие в фигурную скобку недопустимых значений корни исключаются из решения.